Đề kiểm tra Hàm số liên tục (có lời giải) - Đề 1

Question 1

**Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn*. ****Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.*

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {a;b} \right]$. Tìm mệnh đề đúng.

Accepted Answer

Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Question 2

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Accepted Answer

Nếu $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm nằm trong $(a;b)$.

Question 3

Cho đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ sau:

![Chọn B Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm $x = 0$ nên nó liên tục tại điểm $x = 0$ nhưng không có đạo hàm tại điểm $x = 0$. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/screenshot-3675-1759756775.png)

Chọn mệnh đề đúng.

Accepted Answer

Hàm số $y = f\left( x \right)$liên tục tại điểm $x = 0$ nhưng không có đạo hàm tại điểm $x = 0$.

Question 4

Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại $x = 1$?

Accepted Answer

![Đồ thị D](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/5-1759756853.png)

Question 5

Cho hàm số $y = f(x) = \begin{cases} \frac{1-x^3}{1-x} & \text{khi } x < 1 \ 1 & \text{khi } x \ge 1 \end{cases}$. Hãy chọn kết luận đúng.

Accepted Answer

$y$ liên tục phải tại $x = 1$.

Question 6

Hàm số nào sau đây liên tục tại $x = 1$:

Accepted Answer

$f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x}$

Question 7

Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm ${x_0} = - 1$.

Accepted Answer

$y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$.

Question 8

Hàm số nào sau đây gián đoạn tại $x = 2$?

Accepted Answer

$y = \frac{{3x - 4}}{{x - 2}}$.

Question 9

Hàm số $y = \frac{x}{{x + 1}}$ gián đoạn tại điểm ${x_0}$ bằng?

Accepted Answer

$x_0 = -1$

Question 10

Cho hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{x - 3}}\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ne 3\ - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x = 3\end{array} \right.$. Mệnh đề nào sau đây **đúng**?

Accepted Answer

Hàm số liên tục và có đạo hàm tại ${x_0} = 3$.

Question 11

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2} & 	ext{khi } x 
eq 2 \ 4 & 	ext{khi } x = 2 \end{cases}$. Chọn mệnh đề đúng?

Accepted Answer

Hàm số liên tục tại $x = 2$.

Question 12

Cho hàm số f(x) = { sin(pi*x) khi |x| <= 1; x + 1 khi |x| > 1 }. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Accepted Answer

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Sai Ta có: ( mathop { lim } limits_{x to {1^ + }} left( {x + 1} right) = 2 ) và ( mathop { lim } limits_{x to {1^ - }} sin pi x = 0 ) ( Rightarrow mathop { lim } limits_{x to {1^ + }} f left( x right) ne mathop { lim } limits_{x to {1^ - }} f left( x right) ) do đó hàm số gián đoạn tại (x = 1 ). Tương tự: ( mathop { lim } limits_{x to {{ left( { - 1} right)}^ - }} left( {x + 1} right) = 0 ) và ( mathop { lim } limits_{x to {{ left( { - 1} right)}^ + }} sin pi x = 0 ) ( Rightarrow mathop { lim } limits_{x to {{ left( { - 1} right)}^ + }} f left( x right) = mathop { lim } limits_{x to {{ left( { - 1} right)}^ - }} f left( x right) ) ( = mathop { lim } limits_{x to - 1} f left( x right) ) ( = f left( { - 1} right) ) do đó hàm số liên tục tại (x = - 1 ). Với (x ne pm 1 ) thì hàm số liên tục trên tập xác định. Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng ( left( { - infty ;1} right) ) và ( left( {1; + infty } right) ).

Question 13

Cho các hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 2}\{4,5}&{{\rm{ khi }}x = 2}\end{array}} \right.$ và $g(x) = \frac{2}{{x - 1}}$. Xét tính liên tục của các hàm số tại ${x_0} = 2$.

Accepted Answer

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Ta có: (g(2) = frac{2}{{2 - 1}} = 2 ) và ( mathop { lim } limits_{x to 2} g(x) = mathop { lim } limits_{x to 2} frac{2}{{x - 1}} = 2 ); suy ra ( mathop { lim } limits_{x to 2} g(x) = g(2) ). Vậy hàm số (g(x) ) liên tục tại điểm ({x_0} = 2 ). Ta có: (f(2) = 4,5 ) và ( mathop { lim } limits_{x to 2} f(x) = mathop { lim } limits_{x to 2} frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = mathop { lim } limits_{x to 2} frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{x - 2}} = mathop { lim } limits_{x to 2} (x + 2) = 4 ). Suy ra ( mathop { lim } limits_{x to 2} f(x) ne f(2) ). Vậy hàm số (f(x) ) không liên tục tại điểm ({x_0} = 2 ).

Question 14

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó:

Accepted Answer

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng a) Vì (f(x) = {x^3} - {x^2} + 8x ) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên ( mathbb{R} ). b) Vì (f(x) = frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 3x}} ) là hàm phân thức có tập xác định (( - infty ;0) cup (0;3) cup (3; + infty ) ) nên hàm số liên tục trên các khoảng (( - infty ;0),(0;3),(3; + infty ) ). c) Tập xác định của hàm số (f(x) = frac{{ sin x + 1}}{{x + 1}} ) là (( - infty ; - 1) cup ( - 1; + infty ) ). Trên các khoảng đó, hàm lượng giác (y = sin x + 1 ) (tử thức) và hàm số đa thức (y = x + 1 ) (mẫu thức) đều liên tục. Do vậy hàm (f(x) ) liên tục trên các khoảng (( - infty ; - 1),( - 1; + infty ) ). d) Tập xác định của hàm số (f(x) = sqrt {x - 2} ) là ([2; + infty ) ). Với mỗi ({x_0} ) tuỳ ý thuộc ((2; + infty ) ), ta luôn có (f left( {{x_0}} right) = mathop { lim } limits_{x to {x_0}} f(x) = sqrt {{x_0} - 2} ); vì vậy hàm số liên tục trên khoảng ((2; + infty ) ). (1) Mặt khác: (f(2) = 0 ) và ( mathop { lim } limits_{x to {2^ + }} f(x) = 0 ) nên (f(2) = mathop { lim } limits_{x to {2^ + }} f(x) ); suy ra hàm số liên tục tại điểm (x = 2 ). (2) Từ (1) và (2) suy ra hàm số (f(x) ) liên tục trên nửa khoảng ([2; + infty ) ).

Question 15

Cho các hàm số sau: $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \frac{x}{2}{\rm{ khi }}x \le 1}\{\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}{\rm{ khi }}x > 1}\end{array}} \right.$, $g(x) = {x^2} - 3x + 1$ và $h(x) = \sin \frac{{\pi x}}{4}$. Xét tính liên tục của các hàm số tại các điểm đã cho:

Accepted Answer

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Ta có: (f(1) = - frac{1}{2} ) và ( mathop { lim } limits_{x to {1^ - }} f(x) = mathop { lim } limits_{x to {1^ - }} frac{{ - x}}{2} = - frac{1}{2} ), ( mathop { lim } limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop { lim } limits_{x to {1^ + }} frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = mathop { lim } limits_{x to {1^ + }} frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = mathop { lim } limits_{x to {1^ + }} frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - frac{1}{2}{ rm{. }} ) Vậy (f(1) = mathop { lim } limits_{x to 1} f(x) = - frac{1}{2} ) nên hàm số (f(x) ) liên tục tại điểm ({x_0} = 1 ). Ta có: (g(1) = - 1 ) và ( mathop { lim } limits_{x to 1} g(x) = {1^2} - 3 cdot 1 + 1 = - 1 ) nên (g(1) = mathop { lim } limits_{x to 1} g(x) ). Vậy hàm số (g(x) ) liên tục tại điểm ({x_0} = 1 ). Ta có: (h(2) = sin frac{{2 pi }}{4} = 1 ) và ( mathop { lim } limits_{x to 2} h(x) = sin frac{{2 pi }}{4} = 1 ) nên (h(2) = mathop { lim } limits_{x to 2} h(x) ). Vậy hàm số (h(x) ) liên tục tại điểm ({x_0} = 2 ).

Question 16

**Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. ***Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.*

Tìm giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2{\rm{ n\~O u }}x \le 1}\{mx + 1{\rm{ n\~O u }}x > 1}\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 1$.

Accepted Answer

Ta có (f(1) = 3, quad mathop { lim } limits_{x to {1^ - }} f(x) = 3 ) và ( mathop { lim } limits_{x to {1^ + }} f(x) = m + 1 ). Vậy hàm số đã cho liên tục tại (x = 1 ) khi và chỉ khi (m + 1 = 3 ) hay (m = 2 ).

Question 17

Tìm các khoảng trên đó hàm số $f(x) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} - 1}}$ liên tục.

Accepted Answer

Tập xác định của hàm số (f(x) ) là (( - infty ; - 1) cup ( - 1;1) cup (1; + infty ) ). Trên các khoảng này hàm số (f(x) ) là thương của hai hàm liên tục, trong đó mẫu thức ({x^2} - 1 ne 0 ). Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (( - infty ; - 1),( - 1;1) ), ((1; + infty ) ).

Question 18

Chứng tỏ rằng phương trình $2{x^5} + a\left( {{x^2} - 1} \right) + 1 = 0$ luôn có nghiệm với mọi số thực $a$.

Accepted Answer

Xét hàm số (f(x) = 2{x^5} + a left( {{x^2} - 1} right) + 1 ). Ta có (f(1) = 3 > 0,f( - 1) = - 1 < 0 ). Do (f(x) ) là hàm đa thức nên nó liên tục trên ([ - 1;1] ). Do đó, theo tính chất của hàm liên tục, tồn tại ít nhất một điểm (c in [ - 1;1] ) sao cho (f(c) = 0 ). Nói cách khác, (x = c ) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Question 19

Cho hàm số $g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ trừ điểm $x = 0$. Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \frac{g(x)}{x}$ tại $x = 1$.

Accepted Answer

Hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Đề kiểm tra Hàm số liên tục (có lời giải) - Đề 1

Xem trước câu hỏi