Đề kiểm tra Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có lời giải) - Đề 1

Question 1

**Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn*. ****Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.*

Trong các cặp số sau, cặp nào **không** là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 2 \le 0}\{2x - 3y + 2 > 0}\end{array}} \right.$ là

Accepted Answer

$\left( { - 1;1} \right)$

Question 2

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \ge 0}\{2(x - 1) + \frac{{3y}}{2} \le 4}\{x \ge 0}\end{array}} \right.$ là phần mặt phẳng chứa điểm

Accepted Answer

$(2;1)$

Question 3

Điểm nào sau đây **không** thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y - 1 > 0}\{5x - y + 4 < 0}\end{array}} \right.$?

Accepted Answer

$(0; 0)$

Question 4

Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 5y - 1 > 0}\{2x + y + 5 > 0}\{x + y + 1 < 0}\end{array}} \right.$?

Accepted Answer

$(0;-2)$

Question 5

Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - \frac{3}{2}y \ge 1\4x - 3y \le 2\end{array} \right.$có tập nghiệm $S$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

Accepted Answer

$S = \left\{ {\left( {x;y} \right)|4x - 3y = 2} \right\}$.

Question 6

Cho hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y < 5\,\,\,(1)\x + \frac{3}{2}y < 5\,\,\,(2)\end{array} \right.$. Gọi ${S_1}$ là tập nghiệm của bất phương trình (1), ${S_2}$ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và $S$ là tập nghiệm của hệ thì

Accepted Answer

${S_2} \subset {S_1}$.

Question 7

Miền được gạch chéo trong hình bên dưới biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?

![Miền được gạch chéo trong hình bên dưới biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây? (ảnh 1)](https://assets.nganla.com/migrated/2026/05/08/1778227633298131487.png)

Accepted Answer

$\left\{ \begin{array}{l}x > 0\y > 0\x + y < 2\end{array} \right.$

Question 8

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = y - x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\{2y - x \ge 4}\{x + y \le 5}\end{array}} \right.$ là

Accepted Answer

$\min F = 1$ tại $x = 2, y = 3$

Question 9

Giá trị nhỏ nhất của biết thức $F = y - x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y \le 2}\{x - y \le 2}\{5x + y \ge - 4}\end{array}} \right.$ là

Accepted Answer

$min F = -2$ khi $x = \frac{4}{3}, y = -\frac{2}{3}$.

Question 10

Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y \le 2\3x + 5y \le 15\x \ge 0\y \ge 0\end{array} \right.$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định **sai**?

Accepted Answer

Đường thẳng Δ: x + y = m có giao điểm với tứ giác ABCO khi và chỉ khi 0 ≤ m ≤ 17/4.

Question 11

Giá trị lớn nhất của biết thức $F\left( {x;y} \right) = x + 2y$ với điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 4}\{x \ge 0}\{x - y - 1 \le 0}\{x + 2y - 10 \le 0}\end{array}} \right.$ là

Accepted Answer

$10$.

Question 12

Một gia đình cần ít nhất $900$ đơn vị protein và $400$ đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa $800$ đơn vị protein và $200$đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa $600$đơn vị protein và $400$ đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất $1,6$ kg thịt bò và $1,1$ kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là $160$ nghìn đồng, một kg thịt lợn là $110$ nghìn đồng. Gọi $\,x$,$y$ lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm $\,x$,$y$ để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?

Accepted Answer

$x = 0,6$ và $y = 0,7$.

Question 13

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau đối với các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: a) $(1;0)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y > 0}\{y - 2x < 0}\{3x + 3y - 1 > 0}\end{array}} \right.$ b) $(-1;2)$ là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y > 0}\{y - 2x < 0}\{3x + 3y - 1 > 0}\end{array}} \right.$ c) $(2;-3)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y \ge 0}\{x + y < 0}\{x + 2y > 2}\end{array}} \right.$ d) $(2;-3)$ không là một nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y \ge 0}\{x + y < 0}\{x + 2y > 2}\end{array}} \right.$

Accepted Answer

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng a) Thay (x = 1,y = 0 ) vào hệ bất phương trình đã cho, ta được: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3.0 > 0} {0 - 2.1 < 0} {3.1 + 3.0 - 1 > 0} end{array}} right. ) (đúng), suy ra cặp số ((1;0) ) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. b) Thay (x = - 1,y = 2 ) vào hệ bất phương trình đã cho, ta được: ( left { { begin{array}{*{20}{l}} begin{array}{l} - 1 + 3.2 > 0 2 - 2( - 1) < 0 3( - 1) + 3.2 - 1 > 0 end{array} end{array}} right. )(sai) Suy ra cặp số (( - 1;2) ) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. c) Thay (x = 2,y = - 3 ) vào hệ bất phương trình, ta được: (đúng), Do vậy ((2; - 3) ) là một nghiệm của hệ bất phương trình. d) Thay (x = 2,y = - 3 ) vào hệ bất phương trình đã cho, ta được: (sai) Do vậy ((2; - 3) ) không là một nghiệm của hệ đã cho.

Question 14

Cho các hệ bất phương trình sau: x−2y⩽05x−y⩾−4x+2y⩽5 , −x−y<4−x+2y>−2x+y<8x⩾−6y⩽6. Khi đó: a) Miền nghiệm của hệ bất phương trình x−2y⩽05x−y⩾−4x+2y⩽5 là tam giác. b) Điểm $M(1;1)$ thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình x−2y⩽05x−y⩾−4x+2y⩽5. c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình −x−y<4−x+2y>−2x+y<8x⩾−6y⩽6 là tứ giác. d) Điểm $O(0;0)$ không thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình −x−y<4−x+2y>−2x+y<8x⩾−6y⩽6.

Accepted Answer

Vẽ các đường thẳng ({d_1}:x - 2y = 0,{d_2}:5x - y = - 4 ), ({d_3}:x + 2y = 5 ). -Ta thấy điểm (M(1;1) ) thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình vì khi thay (x = 1,y = 1 ) vào hệ, ta có: (đúng) Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình (nửa mặt phẳng có bờ là các đường ({d_1},{d_2},{d_3} ) và không chứa điểm (M ) ). Khi đó, miền nghiệm của bất phương trình chính là miền của tam giác (ABC ) (kể cả ba cạnh của nó), trong đó (A left( { - frac{3}{{11}}; frac{{29}}{{11}}} right),B left( { frac{5}{2}; frac{5}{4}} right),C left( { - frac{8}{9}; - frac{4}{9}} right) ). - −x−y<4−x+2y>−2x+y<8x⩾−6y⩽6 Vẽ các đường thẳng ({d_1}: - x - y = 4,{d_2}: - x + 2y = - 2,{d_3}:x + y = 8,{d_4}:x = - 6,{d_5}:y = 6 ) -Ta có điểm (O(0;0) ) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình vì khi thay (x = 0,y = 0 ) vào hệ, ta được: (đúng) Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ (nửa mặt phẳng có bờ là các đường thẳng ({d_1},{d_2},{d_3},{d_4},{d_5} ) và không chứa điểm (O )). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình chính là miền của ngũ giác (ABCDE ) (không kể các cạnh (BC,CD,DE )) với [A left( { - 6;6} right),{ rm{ }}B left( { - 6;2} right),{ rm{ }}C left( { - 2; - 2} right),{ rm{ }}D left( {6;2} right),{ rm{ }}E left( {2;6} right){ rm{ }}. ]

Question 15

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau về miền nghiệm của hệ bất phương trình:

Accepted Answer

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng a) Thay (x = 1,y = 2 ) vào hệ bất phương trình, ta được: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3.2 - 6 > 0} {2.1 + 2 + 4 > 0} end{array}} right. ) (đúng), suy ra điểm (M(1;2) ) thuộc miền nghiệm của hệ đã cho. b) Thay (x = 1,y = 2 ) vào hệ bất phương trình, ta được : ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3.2 - 6 < 0} {2.1 + 2 - 4 < 0} end{array}} right. ) (sai), suy ra điểm (M(1;2) ) không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho. c) Thay (x = 0,y = 0 ) vào hệ bất phương trình, ta được: (đúng), do đó cặp số ((0;0) ) là một nghiệm của hệ đã cho. d) Thay (x = 1,y = 1 ) vào hệ bất phương trình, ta được: (đúng), do đó cặp số ((1;1) ) là một nghiệm của hệ đã cho.

Question 16

Một gia đình cần ít nhất $900\;g$ chất protein và $400\;g$ chất lipit trong thức ăn mỗi ngày. Biết rằng thịt bò chứa $80\% $ protein và $20\% $ lipit. Thịt lợn chứa $60\% $ protein và $40\% $ lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là $1600\;g$ thịt bò, $1100\;g$ thịt lợn, giá tiền $1\;kg$ thịt bò là 45000 đồng, $1\;kg$ thịt lợn là 35000 đồng. Giả sử gia đình mua $x$ kg thịt bò và $y$ kg thịt lợn. Khi đó:

a) 0⩽x⩽1,60⩽y⩽1,14x+3y⩾4,5x+2y⩾2 là hệ bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán

b) Miền nghiệm của hệ trên là miền của tam giác

c) Gọi $T$ (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho $x$ (kilogam) thịt bò và $y$ (kilogam) thịt lợn. Khi đó, chi phí để mua $x(\;kg)$ thịt bò và $y(\;kg)$ thịt lợn là: $T = 35x + 45y$ (nghìn đồng).

d) Gia đình đó mua $0,6\;kg$ thịt bò và $0,7\;kg$ thịt lợn thì chi phí là ít nhất.

Accepted Answer

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng a) Giả sử gia đình đó mua (x( ;kg) ) thịt bò và (y( ;kg) ) thịt lợn. Điều kiện: (0 le x le 1,6;0 le y le 1,1 ). Khi đó lượng protein có được là (80 % x + 60 % y ) và lượng lipit có được là (20 % x + 40 % y ). Vì gia đình đó cần ít nhất (0,9 ;kg ) protein và (0,4 ;kg ) lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là: (80 % x + 60 % y ge 0,9{ rm{ ;}} , ,20 % x + 40 % y ge 0,4.{ rm{ }} ) Ta có hệ bất phương trình: 0⩽x⩽1,60⩽y⩽1,14x+3y⩾4,5x+2y⩾2. b) Miền nghiệm của hệ trên là miền của tứ giác lồi (ABCD ) (kể cả biên) được mô tả ở hình bên. c) Chi phí để mua (x( ;kg) ) thịt bò và (y( ;kg) ) thịt lợn là: (T = 45x + 35y ) (nghìn đồng). d) Ta đã biết (T ) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh tứ giác (ABCD ) trong đó (A(0,3;1,1),B(1,6;1,1),C(1,6;0,2),D(0,6;0,7) ). Xét (A(0,3;1,1) ), ta có (T = 45.0,3 + 35.1,1 = 52 ); xét (B(1,6;1,1) ), ta có (T = 45.1,6 + 35.1,1 = 110,5 ); xét (C(1,6;0,2) ), ta có (T = 45.1,6 + 35.0,2 = 79 ); xét (D(0,6;0,7) ), ta có (T = 45.0,6 + 35.0,7 = 51,5 ). So sánh các giá trị trên, ta thấy được (T ) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 51,5 (nghìn đồng), khi đó ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,6} {y = 0,7} end{array}} right. ) (tức là gia đình đó mua (0,6 ;kg ) thịt bò và (0,7 ;kg ) thịt lợn thì chi phí là ít nhất).

Question 17

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $m \le - x + y$ với mọi cặp số $(x;y)$ thoả mãn hệ bất phương trình sau:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} - 2x + y \le 2\ - x + 2y \le 4\x + y \le 5\y \ge 0\end{array}} \right.$

Accepted Answer

m \le -5

Question 18

Cho hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x + y \ge 5\x - 2y \le 2\{\rm{ }}y \le 3.\end{array}\end{array}} \right.\left( {II} \right)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $2x - 5y + m \ge 0$ nghiệm đúng với mọi cặp số $(x;y)$ thoả mãn hệ bất phương trình (II).

Accepted Answer

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là miền tam giác (ABC ) với (A(4;1) ), (B(8;3),C(2;3) ) (Hình). Ta có: (2x - 5y + m ge 0 Leftrightarrow m ge - 2x + 5y ). Đặt (F = - 2x + 5y ). Tính giá trị của (F = - 2x + 5y ) tại các cặp số ((x;y) ) là toạ độ của các đỉnh tam giác (ABC ) rồi so sánh các giá trị đó, ta được (F ) đạt giá trị lớn nhất bằng 11 tại (x = 2,y = 3 ). Để bất phương trình (2x - 5y + m ge 0 ) nghiệm đúng với mọi (x,y ) thoả mãn hệ bất phương trình đã cho thì (m ge { mathop{ rm Max} nolimits} F ) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đó hay (m ge 11 ).

Question 19

Trong một cuộc thi pha chế đồ uống gồm hai loại là $A$ và $B$, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa $24\;g$ hương liệu, 9 cốc nước lọc và $210\;g$ đường. Để pha chế 1 cốc đồ uống loại $A$ cần 1 cốc nước lọc, $30\;g$ đường và $1\;g$ hương liệu. Để pha chế 1 cốc đồ uống loại $B$ cần 1 cốc nước lọc, $10\;g$ đường và $4\;g$ hương liệu. Mỗi cốc đồ uống loại $A$ nhận được 6 điểm thương, mỗi cốc đồ uống loại $B$ nhận được 8 điểm thưởng. Để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế bao nhiêu cốc đồ uống mỗi loại?

Accepted Answer

Gọi (x,y ) lần lượt là số cốc đồ uống loại (A ), loại (B ) mà đội chơi cần pha chế với (x ge 0,y ge 0 ). Số cốc nước cần dùng là: (x + y ) (cốc). Lượng đường cần dùng là: (30x + 10y( ;g) ). Lượng hương liệu cần dùng là: (x + 4y( ;g) ). Theo giả thiết, ta có: ( left { { begin{array}{*{20}{l}} begin{array}{l}x ge 0 y ge 0 x + y le 9 30x + 10y le 210 x + 4y le 24 end{array} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}} begin{array}{l}x ge 0 y ge 0 x + y le 9 3x + y le 21 x + 4y le 24 end{array} end{array}} right.} right. left( {III} right) ) Số điểm thường nhận được là: (F = 6x + 8y ). Ta tìm giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (III). Miền nghiệm của hệ bất phương trình (III) là miền ngũ giác (OABCD ) với (O left( {0;0} right), ,A left( {7;0} right), ,B left( {6;3} right), ,C left( {4;5} right), ,D left( {0;6} right) )(hình). Tính giá trị của (F = 6x + 8y ) tại các cặp số ( left( {x;y} right) ) là tọa độ của các đỉnh ngũ giác (OABCD ) rồi so sánh các giá trị đó, ta được (F ) đạt giá trị lớn nhất bằng (64 ) tại (x = 4;y = 5 ). Vậy để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế 4 cốc đồ uống loại (A ), 5 cốc đồ uống loại (B ).

Question 20

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi ki-lô-gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi ki-lô-gam thịt lợn (heo) chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là $1,6\;kg$ thịt bò và $1,1\;kg$ thịt lợn; giá $1\;kg$ thịt bò là 200000 đồng, $1\;kg$ thịt lợn là 160000 đồng. Hỏi gia đình đó cần mua bao nhiêu ki-lô-gam thịt mỗi loại để đảm bảo cung cấp đủ lượng protein, lipit cho gia đình và có chi phí là ít nhất?

Accepted Answer

Gọi (x,y ) lần lượt là số ki-lô-gam thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua trong một ngày với (0 le x le 1,6,0 le y le 1,1 ). Số đơn vị protein gia đình có là: (800x + 600y ). Số đơn vị lipit gia đình có là: (200x + 400y ). Theo bài ra, ta có: ( left { { begin{array}{*{20}{l}} begin{array}{l}0 le x le 1,6 0 le y le 1,1 800x + 600y ge 900 200x + 400y ge 400 end{array} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}} begin{array}{l}0 le x le 1,6 0 le y le 1,1 8x + 6y ge 9 x + 2y ge 2 end{array} end{array}} right.} right. left( {IV} right) ) Số tiền gia đình đã dùng để mua thịt bò và thịt lợn là: [T = 200000{ rm{ }}x + 160000{ rm{ }}y ](đồng). Bài toán đưa về tìm (x,y ) là nghiệm của hệ bất phương trình (IV) để (T = 200000x + 160000y ) đạt giá trị nhỏ nhất. Trước hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (IV). Miền nghiệm của hệ bất phương trình (IV) là miền tứ giác (ABCD ) với (A(0,3;1,1),B(0,6;0,7),C(1,6;0,2) ), (D(1,6;1,1) )(hình) Tính giá trị của (T ) tại các cặp số ((x;y) ) là tọa độ của các đỉnh tứ giác (ABCD ) rồi so sánh các giá trị đó, ta được (T ) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 232000 đồng tại (x = 0,6;y = 0,7 ) Vậy để đảm bảo cung cấp đủ lượng protein, lipit cho gia đình và có chi phí là ít nhất thì gia đình đó cần mua thêm (0,6kg ) thịt bò và (0,7kg )thịt lợn

Đề kiểm tra Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có lời giải) - Đề 1

Xem trước câu hỏi