Đề kiểm tra Hệ trục tọa độ trong không gian (có lời giải) - Đề 1

Question 1

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow a = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - \overrightarrow k $. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow a $ là:

Accepted Answer

$(3; 4; -1)$

Question 2

Trong không gian $Oxyz$, cho đoạn thẳng $AB$ có $A\left( {3\;;\;1\;;\; - 1} \right)$và $B\left( { - 1\;;\;5\;;\;7} \right)$**. **Tọa độ trung điểm $M$của $AB$là

Accepted Answer

$M\left( {1\;;\;3\;;\;3} \right)$.

Question 3

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Biết $A\left( {1;0;1} \right)$, $C'\left( {4;5; - 5} \right)$. Tìm tọa độ tâm $I$ của hình hộp.

Accepted Answer

$I\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{2}; - 2} \right)$.

Question 4

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = \left( {2; - 3;3} \right)$, $\vec b = \left( {0;2; - 1} \right)$, $\vec c = \left( {3; - 1;5} \right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec u = 2\vec a + 3\vec b - 2\vec c$.

Accepted Answer

$\left( { - 2;2; - 7} \right)$

Question 5

Cho tứ giác$ABCD$ biết $A\left( {0;\, - 2;\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,3;\, - 2} \right),\,\,C\left( {1;\,0;\,0} \right)$. Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Accepted Answer

$D\left( {0;\, - 5;\,3} \right)$.

Question 6

Trong không gian $Oxyz$ tìm tọa độ của điểm $A$ biết điểm $A$ nằm trên tia $Oy$ và $OA = 3$.

Accepted Answer

$A\left( {0;\,\,3;\,0} \right)$.

Question 7

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I\left( { - 5;0;5} \right)$ là trung điểm của đoạn $MN$, biết $M\left( {1; - 4;7} \right)$. Tìm tọa độ của điểm $N$.

Accepted Answer

$N\left( { - 11;4;3} \right)$.

Question 8

Cho các vectơ $\vec a = \left( {1;2;3} \right);\,\,\vec b = \left( { - 2;4;1} \right);\,\,\vec c = \left( { - 1;3;4} \right)$. Vectơ $\overrightarrow v = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c $ có tọa độ là

Accepted Answer

$\left( {{\rm{3}};{\rm{7;23}}} \right)$.

Question 9

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ có đỉnh $A\prime $ trùng với gốc $O$ và các đỉnh $D\prime ,B\prime ,A$ lần lượt thuộc các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ như hình vẽ. Giả sử đỉnh $C$ có toạ độ là $(2;3;4)$ đối với hệ toạ độ $Oxyz$. Khi đó toạ độ điểm $B$ là

![đối với hệ toạ độ $Oxyz$. Khi đó toạ độ điểm $B$ là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/2-1759300436.png)

Accepted Answer

$B\left( {0;3;4} \right)$.

Question 10

Cho hình hộp chữ nhật $OABC.O\prime B\prime C\prime $ có cạnh $OA = 4$, $OC = 6$, $OO\prime = 3$. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc toạ độ $O$; các điểm $A,C,O\prime $ lần lượt nằm trên các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$. Khi đó toạ độ điểm $B'$là

Accepted Answer

$B'(4;6;3)$.

Question 11

Cho điểm $M\left( {3; - 2;0} \right);N\left( {2;4;1} \right)$. Tọa độ của$\overrightarrow {MN} $ là:

Accepted Answer

$\left( { - 1;6;1} \right)$

Question 12

Một căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$với chiều rộng$AB = 4$, chiều dài $AD = 8$, chiều cao $AA' = 10$ được gắn vào hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ. Người ta muốn treo một bóng đèn ở tâm hình hộp. Tìm tọa độ vị trí điểm $M$ để treo bóng đèn.

Accepted Answer

$M\left( {2;4;5} \right)$.

Question 13

**PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.** Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai vec tơ $\overrightarrow a \left( {1;\,\, - 2;\,\,0} \right)$ và $\overrightarrow b \left( { - 2;\,\,3;\,\,1} \right)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 8$.

b) $\left| {\overrightarrow b } \right| = 14$.

c) $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1;\,\,1;\,\, - 1} \right)$.

d) $2\overrightarrow a = \left( {2;\,\, - 4;\,\,2} \right)$.

Accepted Answer

a) Đúng. ( overrightarrow a . overrightarrow b = 1.( - 2) + ( - 2).3 + 0.1 = - 8 ) b) Đúng ( left| { overrightarrow b } right| = sqrt {{{ left( { - 2} right)}^2} + {3^2} + 1} = 14 ) c) Sai. ( overrightarrow a + overrightarrow b = left( { - 1; , ,1; , ,1} right) ) d) Sai. (2 overrightarrow a = left( {2; , - 4; ,0} right) )

Question 14

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {0;\, - 2;\,1} \right);\,B\left( { - 2;\, - 2;\, - 1} \right);\,C\left( {3;\,1;\, - 2} \right)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Accepted Answer

a) Đúng. Hình chiếu của [A ] lên mặt phẳng ( left( {Oxz} right) ) là (A' left( {0;0;1} right) ). b) Đúng Ta có: ( overrightarrow {AC} = left( {3; ,3; , - 3} right) , , ,; overrightarrow {AB} = left( { - 2; ,0; , - 2} right) ). Khi đó [ overrightarrow {AC} . overrightarrow {AB} = 3. left( { - 2} right) + 3.0 + left( { - 3} right) ,. left( { - 2} right) = 0 , , Rightarrow AC bot AB ] c) Sai. Gỉa sử (D left( {x;y;z} right) ). Ta có: ( overrightarrow {BA} = left( {2; ,0; ,2} right) , , ,; , , , , overrightarrow {CD} = left( {x - 3; ,y - 1; ,z + 2} right) ) Để (ABCD ) là hình bình hành thì ( overrightarrow {BA} = overrightarrow {CD} ) ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}x - 3 = 2 y - 1 = 0 z + 2 = 2 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}x = 5 y = 1 z = 0 end{array} right. ) Vậy (D left( {5;1;0} right) ) d) Sai. Trọng tâm của tam giác [ABC ] là (G left( { frac{1}{3}; - 1; frac{{ - 2}}{3}} right) ).

Question 15

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đỉnh $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ và các đỉnh $B$; $C$; $D'$ có tọa độ lần lượt là $\left( {2\,;0\,;0} \right)$; $\left( {2\,;4\,;0} \right)$; $\left( {0\,;4\,;3} \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau

![Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đỉnh $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ và các đỉnh $B$; $C$; $D'$ c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/5-1759300684.png)

a) Tọa độ $D\left( {0\,;4\,;0} \right)$.

b) Tọa độ $C'\left( {2\,;3\,;4} \right)$.

c) Tọa độ của $\overrightarrow {AA'} = \left( {0\,;0\,;3} \right)$.

d) Tọa độ của $\overrightarrow {B'D} = \left( { - 2\,;4\,; - 3} \right)$.

Accepted Answer

Từ giả thiết, ta suy ra ( overrightarrow {AB} = 2 overrightarrow i ); ( overrightarrow {AD} = 4 overrightarrow j ) và ( overrightarrow {AA'} = 3 overrightarrow k ). a) Đúng. Tọa độ của (D left( {0 ,;4 ,;0} right) ). b) Sai. Tọa độ của (C' left( {2 ,;4 ,;3} right) ). c) Đúng. Tọa độ của (A' left( {0 ,;0 ,;3} right) ) nên ( overrightarrow {AA'} = left( {0 ,;0 ,;3} right) ). d) Đúng. Tọa độ của (B' left( {2 ,;0 ,;3} right) ) và (D left( {0 ,;4 ,;0} right) ) nên ( overrightarrow {B'D} = left( { - 2 ,;4 ,; - 3} right) ).

Question 16

Trong không gian $Oxyz$, cho $M\left( {8\,;4\,;3} \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau

a) Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ là điểm $\left( {0\,;4\,;3} \right)$.

b) Hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oz$ là điểm $\left( {0\,;0\,;3} \right)$.

c) Hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $Oxz$ là điểm $\left( {8\,;0\,;3} \right)$.

d) $\overrightarrow {OM} = 8\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 3\overrightarrow k $.

Accepted Answer

a) Sai. Hình chiếu vuông góc của (M ) trên trục (Ox ) là điểm ( left( {8 ,;0 ,;0} right) ). b) Đúng. Hình chiếu vuông góc của (M ) trên trục (Oz ) là điểm ( left( {0 ,;0 ,;3} right) ). c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của (M ) trên mặt phẳng (Oxz ) là điểm ( left( {8 ,;0 ,;3} right) ). d) Đúng. Vì ( overrightarrow {OM} = left( {8 ,;4 ,;3} right) ) nên ( overrightarrow {OM} = 8 overrightarrow i + 4 overrightarrow j + 3 overrightarrow k ).

Question 17

**PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.** Thí sinh trả lời từ câu 17 đến câu 22.

Trong không gian $Oxyz$ cho hình hộp chữ nhật$ABCD.A'B'C'D'$ có đỉnh $A'$ trùng với gốc $O$ và các đỉnh $A',B',A$lần lượt thuộc các tia $Ox,Oy,Oz$. Giả sử đỉnh $C'$ có tọa độ là $\left( { - 3;4; - 6} \right)$ với hệ tọa độ$Oxyz$, hãy tìm tọa độ các đỉnh $D',B',A$đối với hệ tọa độ $Oxyz$đó.

![Trong không gian  $Oxyz$ cho hình hộp chữ nhật$ABCD.A'B'C'D'$ có đỉnh  $A'$ trùng với gốc $O$ và các đỉnh $A',B',A$lần lượt thu (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/6-1759300746.png)

Accepted Answer

Vì đỉnh (D' )thuộc tia (Ox )nên hai véc tơ ( overrightarrow {OD'} )và ( overrightarrow i )cùng phương, suy ra có số thực (m )sao cho ( overrightarrow {OD'} = m overrightarrow i . )Tương tự, có các số thực (n,p ) sao cho ( overrightarrow {OB'} = n overrightarrow j , overrightarrow {OA} = p overrightarrow k )và Theo quy tắc hình hộp, suy ra ( overrightarrow {OC} = overrightarrow {OD'} + overrightarrow {OB'} + overrightarrow {OA} = m overrightarrow i + n overrightarrow j + p overrightarrow k )và do đó điểm (C ) có tọa độ là ( left( {m;n;p} right) ) Mặt khác, đỉnh (C ) có tọa độ là ( left( { - 3;4; - 6} right) )nên tức là (m = - 3,n = 4,p = - 6, ) tức là ( overrightarrow {OD'} = - 3 overrightarrow i , overrightarrow {OB'} = 4 overrightarrow j , overrightarrow {OA} = - 6 overrightarrow k ) Từ đây suy ra (D' left( { - 3;0;0} right),B' left( {0;4;0} right) )và (A left( {0;0; - 6} right) )

Question 18

Trong không gian $Oxyz$ cho lăng trụ tam giác$ABC.A'B'C'$ có đỉnh $A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( { - 2;0;1} \right),A'\left( {3;2;2} \right)$ và $C'\left( {4;3; - 2} \right).$Tìm tọa độ các véc tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AA'} $ và tìm tọa độ các điểm $C$ và $B'.$

![Trong không gian $Oxyz$ cho lăng trụ tam giác$ABC.A'B'C'$ có đỉnh $A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( { - 2;0;1} \right),A'\left( {3;2;2} \right)$ và \(C' (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/7-1759300785.png)

Accepted Answer

Ta có ( begin{array}{l} overrightarrow {AB} = left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} right) = left( { - 2 - 1;0 - left( { - 2} right);1 - 3} right) = left( { - 3;2; - 2} right), overrightarrow {AA'} = left( {{x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}} right) = left( {3 - 1;2 - left( { - 2} right);2 - 3} right) = left( {2;4; - 1} right). end{array} ) * Gọi tọa độ của điểm (B' )là ( left( {x;y;z} right) )thì ( overrightarrow {BB'} = left( {x + 2;y;z - 1} right) )vì (ABC.A'B'C' )là hình lăng trị nên (ABB'A' )là hình bình hành, suy ra ( overrightarrow {AA'} = overrightarrow {BB'} . ) Do đó ( left { begin{array}{l}x + 2 = 2 y = 4 z - 1 = - 1 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}x = 0 y = 4 z = 0 end{array} right. ). Vậy (B' left( {0;4;0} right). ) * Gọi tọa độ của điểm (C )là ( left( {{x_C};{y_C};{z_C}} right) )thì ( overrightarrow {CC'} = left( {4 - {x_C};3 - {y_C}; - 2 - {z_C}} right) )vì (ABC.A'B'C' ) là hình lăng trị nên (ACC'A' ) là hình bình hành, suy ra ( overrightarrow {AA'} = overrightarrow {CC'} . ) Do đó ( left { begin{array}{l}4 - {x_C} = 2 3 - {y_C} = 4 - 2 - {z_C} = - 1 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}{x_C} = - 2 {y_C} = - 1 {z_C} = - 1 end{array} right. ). Vậy (C' left( { - 2; - 1; - 1} right). )

Question 19

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có $A\left( {0;0;0} \right),B\left( {2;0;0} \right);D\left( {0;2;0} \right);A'\left( {0;0;2} \right)$***.*** Tìm tọa độ điểm $C'$

![Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có $A\left( {0;0;0} \right),B\left( {2;0;0} \right);D\left( {0;2;0} \right);A'\left( {0;0;2} \right)$. Tìm tọa độ điểm $C'$ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/8-1759300824.png)

Accepted Answer

Đáp số: (C' left( {2;2;2} right) ). Ta có: (A left( {0;0;0} right),B left( {2;0;0} right);D left( {0;2;0} right);A' left( {0;0;2} right) ) ( Rightarrow C left( {2;2;0} right);B' left( {2;0;2} right);D' left( {0;2;2} right);C' left( {2;2;2} right). )

Question 20

Gạch ống là một sản phẩm được tạo hình thành từ đất sét và nước, được kết hợp lại ới nhau theo một công thức chung hợp lý mới có thể tạo ra hỗ hợp dẻo quoánh, sau đó chúng được đổ vào khuôn, rồi đem phơi hoặc sất khô và cuối cùng là đưa vào lò nung. Một viên gạch hình hộp chữ nhật có kích thước dài $20cm$,rộng $8cm$. Bên trong có bốn lỗ hình trụ bằng nhau có đường kính $2,5cm.$

![Gạch ống là một sản phẩm được tạo hình thành từ đất sét và nước, được kết hợp lại ới nhau theo một công thức chung hợp lý mới có thể tạo ra hỗ hợp dẻo quoánh, sau đó chúng được đổ vào khuôn, rồi đem phơi hoặc sất khô và cuối cùng là đưa vào lò nung. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/9-1759300863.png)

Tính thể tích đất sét để làm một viên gạch. (Lấy $\pi = 3,14$).

Accepted Answer

Đáp số: (887,5 ) Thể tích viên gạch không tính bốn lỗ hình trụ là: ({V_1} = 8.8.20 = 1280(c{m^2}) ) Thể tích bốn lỗ hình trụ là: ({V_2} = 4. pi .{ left( { frac{{2,5}}{2}} right)^2}.20 = 392.5(c{m^2}) ) Thể tích viên gạch viên gạch là: ({V_1} - {V_2} = 1280 - 392.5 = 887.5(c{m^2}). )

Đề kiểm tra Hệ trục tọa độ trong không gian (có lời giải) - Đề 1

Xem trước câu hỏi