Đề kiểm tra Phương trình lượng giác cơ bản (có lời giải) - Đề 1

Question 1

Tập nghiệm của phương trình sin x = -1 là

Accepted Answer

$\left\{ - \frac{\pi }{2} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$

Question 2

Nghiệm của phương trình lượng giác $\sin x = 5$ là

Accepted Answer

$x \in \emptyset $.

Question 3

Tính $\alpha $ biết $\cos \alpha = 1$:

Accepted Answer

$\alpha = k2\pi \;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Question 4

Giải phương trình $\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0$.

Accepted Answer

$x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Question 5

Phương trình $\tan x = \tan \varphi $, $\left( {\varphi \in \mathbb{R}} \right)$ có nghiệm là

Accepted Answer

$x = \varphi + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.** **

Question 6

Tất cả các nghiệm của phương trình $\cot x = \cot \alpha $là

Accepted Answer

$x = \alpha + k\pi $, $k \in \mathbb{Z}$.

Question 7

Mệnh đề nào sau đây đúng với mọi số nguyên $k$?

Accepted Answer

$\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $.

Question 8

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sin x - m = 2 có nghiệm.

Accepted Answer

D

Question 9

Phương trình $\sin 2x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\,\pi } \right)?$

Accepted Answer

2

Question 10

Phương trình $\sin 2x\, = \, - \frac{1}{2}$ có hai họ nghiệm có dạng $x = \alpha + k\pi $ và $x = \,\beta + k\pi $, $k \in \mathbb{Z}$$\left( { - \frac{\pi }{4} < \alpha < 0 < \beta < \frac{{3\pi }}{4}} \right)$. Khi đó: Tính ${\beta ^2} - {\alpha ^2}$?

Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{3}$

Question 11

Phương trình $\tan x\, = \sqrt 3 $có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( {0\,;\,\pi } \right)$?

Accepted Answer

1

Question 12

Tìm số nghiệm của phương trình $\tan x = \tan \frac{{3\pi }}{8}$ trên $\left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)$.** **

Accepted Answer

2

Question 13

Cho phương trình lượng giác $\sin 2x = - \frac{1}{2}$ (*). Xét các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng ( sin 2x = - frac{1}{2} Leftrightarrow sin 2x = sin frac{{ - pi }}{6} Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{2x = frac{{ - pi }}{6} + k2 pi } {2x = frac{{7 pi }}{6} + k2 pi } end{array}(k in mathbb{Z}) Rightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x = frac{{ - pi }}{{12}} + k pi } {x = frac{{7 pi }}{{12}} + k pi } end{array}(k in mathbb{Z})} right.} right. ). (0 < x < pi Rightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{0 < frac{{ - pi }}{{12}} + k pi < pi } {0 < frac{{7 pi }}{{12}} + k pi < pi } end{array}(k in mathbb{Z}) Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{k = 1} {k = 0} end{array}} right. Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x = frac{{11 pi }}{{12}}} {x = frac{{7 pi }}{{12}}} end{array}} right.} right. ).

Question 14

Cho phương trình $\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)$ (*), vậy:

a) Phương trình có nghiệm $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pi + k2\pi }\{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z}){\rm{.}}} \right.$

b) Trong khoảng $(0;\pi )$ phương trình có 2 nghiệm

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0;\pi )$ bằng $\frac{{7\pi }}{6}$

d) Trong khoảng $(0;\pi )$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{{5\pi }}{6}$

Accepted Answer

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Ta có: ( sin left( {2x - frac{ pi }{4}} right) = sin left( {x + frac{{3 pi }}{4}} right) Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{c}}{2x - frac{ pi }{4} = x + frac{{3 pi }}{4} + k2 pi } {2x - frac{ pi }{4} = frac{ pi }{4} - x + k2 pi } end{array}(k in mathbb{Z})} right. ). ( Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x = pi + k2 pi } {x = frac{ pi }{6} + k frac{{2 pi }}{3}} end{array}(k in mathbb{Z}){ rm{. V `i }}x in (0; pi ){ rm{ n ^e n }}x in left { { frac{ pi }{6}; frac{{5 pi }}{6}} right }} right.{ rm{. }} ) Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng ((0; pi ) ) là (x = frac{ pi }{6};x = frac{{5 pi }}{6} ).

Question 15

Cho phương trình lượng giác $2\sin x = \sqrt 2 $, khi đó:

a) Phương trình tương đương $\sin x = \sin \frac{\pi }{4}$

b) Phương trình có nghiệm là: $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$.

c) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng $\frac{\pi }{4}$

d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ là hai nghiệm

Accepted Answer

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Ta có: (2 sin x = sqrt 2 Leftrightarrow sin x = frac{{ sqrt 2 }}{2} Leftrightarrow sin x = sin frac{ pi }{4} ) ( Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x = frac{ pi }{4} + k2 pi } {x = pi - frac{ pi }{4} + k2 pi } end{array}(k in mathbb{Z}) Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x = frac{ pi }{4} + k2 pi } {x = frac{{3 pi }}{4} + k2 pi } end{array}(k in mathbb{Z}).} right.} right. ) Vậy phương trình có nghiệm là: (x = frac{ pi }{4} + k2 pi ;x = frac{{3 pi }}{4} + k2 pi (k in mathbb{Z}) ). Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng ( frac{ pi }{4} ) Số nghiệm của phương trình trong khoảng ( left( { - frac{ pi }{2}; frac{ pi }{2}} right) ) là một nghiệm

Question 16

Cho hai đồ thị hàm số $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ và $y = \sin x$. Xét các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: ( sin left( {x + frac{ pi }{4}} right) = sin x Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{x + frac{ pi }{4} = x + k2 pi } {x + frac{ pi }{4} = pi - x + k2 pi } end{array}(k in mathbb{Z}) Leftrightarrow x = frac{{3 pi }}{8} + k pi (k in mathbb{Z}).} right. ) Vì (x in [0;2 pi ] Rightarrow x in left { { frac{{3 pi }}{8}; frac{{11 pi }}{8}} right } ). Với (x = frac{{3 pi }}{8} Rightarrow y = sin frac{{3 pi }}{8} approx 0,92 ) với (x = frac{{11 pi }}{8} Rightarrow y = sin frac{{11 pi }}{8} approx - 0,92 ). Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: ( left( { frac{{3 pi }}{8}; sin frac{{3 pi }}{8}} right), left( { frac{{11 pi }}{8}; sin frac{{11 pi }}{8}} right) ).

Question 17

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác: cos(x + 30°) + 1 = 0.

Accepted Answer

x = 150° + k360° (k ∈ ℤ)

Question 18

Tìm nghiệm phương trình lượng giác$\cot 3x = \cot (\pi - x)$;

Accepted Answer

Điều kiện: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{ sin 3x ne 0} { sin ( pi - x) ne 0} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{x ne k frac{ pi }{3}} {x ne pi - l pi } end{array}(k,l in mathbb{Z})} right.} right. ). Ta có: ( cot 3x = cot ( pi - x) Leftrightarrow 3x = pi - x + k pi (k in mathbb{Z}) Leftrightarrow x = frac{ pi }{4} + k frac{ pi }{4}(k in mathbb{Z}) ). Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm phương trình là: (x = pm frac{ pi }{4} + k pi ,x = frac{ pi }{2} + k pi (k in mathbb{Z}). )

Question 19

Tìm $m$ để các phương trình lượng giác sau có nghiệm: $2\sin 3x = m - 1$.

Accepted Answer

(2 sin 3x = m - 1 Leftrightarrow sin 3x = frac{{m - 1}}{2} ). Điều kiện có nghiệm: ( - 1 le frac{{m - 1}}{2} le 1 Leftrightarrow - 1 le m le 3 ).

Question 20

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\sin x - m = 1$ có nghiệm.

Accepted Answer

$m \in [-2; 0]$

Đề kiểm tra Phương trình lượng giác cơ bản (có lời giải) - Đề 1

Xem trước câu hỏi