Đề kiểm tra Tích của một vecto với một số (có lời giải) - Đề 1

Question 1

**Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn*. ****Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.*

Khẳng định nào **sai**?

Accepted Answer

$k\overrightarrow a $ và $\overrightarrow a $ cùng hướng khi $k < 0$

Question 2

Trên đường thẳng $MN$ lấy điểm $P$ sao cho $\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} $. Điểm $P$ được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:

![Chọn A \(\overrightarrow (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/1-1760185345.png)

Accepted Answer

Hình 3

Question 3

Cho ba điểm phân biệt $A,B,C$. Nếu $\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} $ thì đẳng thức nào dưới đây **đúng**?

Accepted Answer

$\overrightarrow {BC} = - 4\overrightarrow {AC} $

Question 4

Cho tam giác $ABC$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.Khẳng định nào sau đây đúng

Accepted Answer

$\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} $

Question 5

Cho hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ có trọng tâm lần lượt là *G* và $G'$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Accepted Answer

$\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'} $

Question 6

Cho 5 điểm *A, B C, D, E*. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Accepted Answer

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} $

Question 7

Cho $\Delta ABC$ và một điểm *M* tùy ý. Chọn hệ thức đúng?

Accepted Answer

$2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} $

Question 8

Cho hình chữ nhật *ABCD, I, K* lần lượt là trung điểm của *BC* và *C**D.*** Chọn đẳng thức đúng.

Accepted Answer

$\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {AK} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} $

Question 9

Cho hai điểm *A* và ***B******. ***Tìm điểm *I* sao cho $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 $.

Accepted Answer

Điểm *I* thuộc đoạn *AB* sao cho $IB = \frac{1}{3}AB$

Question 10

Cho đoạn thẳng *A**B.*** Hình nào sau đây biểu diễn điểm *I* sao cho $\overrightarrow {AI} = - \frac{3}{5}\overrightarrow {BA} $.

Accepted Answer

![Hình B](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/6-1760185692.png)

Question 11

Trên đường thẳng *MN* lấy điểm *P* sao cho $\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {MP} $. Hình vẽ nào sau đây xác định đúng vị trí điểm *M*.

Accepted Answer

![Hình C](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/11-1760185808.png)

Question 12

Cho đoạn thẳng *AB* và điểm *M* là một điểm trong đoạn *AB* sao cho $AM = \frac{1}{5}AB$. Tìm *k* để $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} $.

Accepted Answer

$k = - \frac{1}{4}$

Question 13

Cho hình bình hành $ABCD$ và các điểm $M, N, P$ thoả mãn $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AN} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {AP} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} $. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Ta có: ( overrightarrow {AN} = frac{1}{6} overrightarrow {AC} = frac{1}{6}( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} ) ). ( overrightarrow {MN} = overrightarrow {AN} - overrightarrow {AM} = frac{1}{6}( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} ) - frac{1}{2} overrightarrow {AB} = frac{{ - 1}}{3} overrightarrow {AB} + frac{1}{6} overrightarrow {AD} . ) ( overrightarrow {MP} = overrightarrow {AP} - overrightarrow {AM} = frac{1}{4} overrightarrow {AD} - frac{1}{2} overrightarrow {AB} ) Ta có: ( overrightarrow {MN} = frac{1}{6}( overrightarrow {AD} - 2 overrightarrow {AB} ) = frac{1}{6} cdot 4 cdot frac{1}{4}( overrightarrow {AD} - 2 overrightarrow {AB} ) = frac{2}{3} overrightarrow {MP} ). Suy ra ( overrightarrow {MN} , overrightarrow {MP} ) cùng phương. Vậy ba điểm (M,N,P ) thẳng hàng.

Question 14

Cho ngũ giác ABCDE. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn EA, AB, BC, CD. Gọi R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn MP, NQ. Khi đó, các khẳng định sau đúng hay sai?

Accepted Answer

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Ta có: ( overrightarrow {RS} = frac{1}{2}( overrightarrow {MN} + overrightarrow {PQ} ) = frac{1}{2} left( { frac{1}{2} overrightarrow {EB} + frac{1}{2} overrightarrow {BD} } right) = frac{1}{4}( overrightarrow {EB} + overrightarrow {BD} ) = frac{1}{4} overrightarrow {ED} . ) Vậy (RS//ED ) và (RS = frac{1}{4}ED ).

Question 15

Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Do (M ) và (N ) là trung điểm của (AB,CD ) nên ta có các đẳng thúc: ( overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} = vec 0, quad overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} = vec 0{ rm{. }} ) Ta lại có ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{ overrightarrow {MN} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {CN} } { overrightarrow {MN} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {BD} + overrightarrow {DN} } end{array}} right. ) Cộng hai đẳng thức trên vế theo vế, ta chứng minh được (2 overrightarrow {MN} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} ).

Question 16

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi D là điểm đối xứng của B qua G, M là trung điểm của BC. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Ta có: ( overrightarrow {AG} = frac{2}{3} overrightarrow {AM} = frac{2}{3} cdot frac{1}{2}( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} ) = frac{1}{3} overrightarrow {AB} + frac{1}{3} overrightarrow {AC} ). Ta có: ( overrightarrow {CD} = overrightarrow {CB} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {AB} - overrightarrow {AC} + frac{4}{3} overrightarrow {BN} ) Ta có: ( overrightarrow {MD} = overrightarrow {MG} + overrightarrow {GD} = - frac{1}{3} overrightarrow {AM} + frac{2}{3} overrightarrow {BN} = - frac{1}{3} cdot frac{1}{2}( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} ) + frac{2}{3}( overrightarrow {BA} + overrightarrow {AN} ) ) ( = - frac{1}{6} overrightarrow {AB} - frac{1}{6} overrightarrow {AC} - frac{2}{3} overrightarrow {AB} + frac{2}{3} cdot frac{1}{2} overrightarrow {AC} = - frac{5}{6} overrightarrow {AB} + frac{1}{6} overrightarrow {AC} { rm{. }} )

Question 17

Cho tam giác ABC vuông tại B có góc A = 30 độ, AB = a. Gọi I là trung điểm của AC. Tính độ dài của vectơ tổng v = vectơ BA + vectơ BC.

Accepted Answer

a*sqrt(3)/3 * 2

Question 18

Cho tam giác ABC vuông tại B có góc A = 30 độ, AB = a. Gọi I là trung điểm của AC. Tính độ dài của vectơ tổng v = |AB + AC|.

Accepted Answer

a*sqrt(7)/2

Question 19

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,CD$ và $IJ = \frac{5}{4}$.

Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,AC$. Tính $|\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CI} |$?

Accepted Answer

Ta có: (2 overrightarrow {AM} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} ) (1), (2 overrightarrow {BN} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} ) (2), (2 overrightarrow {CI} = overrightarrow {CA} + overrightarrow {CB} ) (3). Cộng theo vế (1), (2), (3): (2( overrightarrow {AM} + overrightarrow {BN} + overrightarrow {CI} ) = ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {BA} ) + ( overrightarrow {AC} + overrightarrow {CA} ) + ( overrightarrow {BC} + overrightarrow {CB} ) = vec 0{ rm{. }} ) Suy ra: ( overrightarrow {AM} + overrightarrow {BN} + overrightarrow {CI} = vec 0 ). Do vậy (| overrightarrow {AM} + overrightarrow {BN} + overrightarrow {CI} | = 0 ).

Question 20

Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Điểm $N$ thỏa mãn $\overrightarrow {MN} = 4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} $. Đường thẳng $MN$ luôn qua một điểm cố định. Khi đó điểm cố định đó là điểm nào?

Accepted Answer

Ta có: ( overrightarrow {MN} = 4 overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} Leftrightarrow overrightarrow {MN} = 3 overrightarrow {MA} + ( overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} ) ) ( Leftrightarrow overrightarrow {MN} = 3 overrightarrow {MA} + 3 overrightarrow {MG} Leftrightarrow overrightarrow {MN} = 3( overrightarrow {MA} + overrightarrow {MG} ) Leftrightarrow overrightarrow {MN} = 6 overrightarrow {MI} ) (với (I ) là trung điểm (AG )). Vậy hai vectơ ( overrightarrow {MN} , overrightarrow {MI} ) cùng phương nên ba điểm (M,N,I ) thẳng hàng. Do đó đường thẳng (MN ) luôn qua điểm (I ) cố định.

Đề kiểm tra Tích của một vecto với một số (có lời giải) - Đề 1

Xem trước câu hỏi