Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ (có lời giải) - Đề 1

Question 1

**Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn*. ****Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.*

Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ khác $\vec 0$. Xác định góc $\alpha $ giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ khi $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.$

Accepted Answer

$\alpha = {180^{\circ}}$

Question 2

Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ thỏa mãn $\left| {\vec a} \right| = 3,$ $\left| {\vec b} \right| = 2$ và $\vec a.\vec b = - 3.$ Xác định góc $\alpha $ giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b.$

Accepted Answer

$\alpha = {120^{\circ}}$

Question 3

Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a.$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} .$

Accepted Answer

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}$

Question 4

Cho $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow 0 $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Accepted Answer

$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$.

Question 5

Tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và có góc $\widehat B = {50^{\rm{o}}}$. Hệ thức nào sau đây là **sai**?

Accepted Answer

$\left( {\overrightarrow {AC} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CB} } \right) = {120^{\rm{o}}}$

Question 6

Cho hình vuông $ABCD$, tính ${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)$

Accepted Answer

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Question 7

Cho tam giác$ABC$ vuông cân tại $A$ có $BC = a\sqrt 2 $.Tính $\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} $

Accepted Answer

$\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = {a^2}$

Question 8

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \,\,\,$

Accepted Answer

$0$

Question 9

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $và $\vec b$. Biết $\left| {\vec a} \right|$ =2, $\left| {\vec b} \right|$= $\sqrt 3 $ và $\left( {\vec a,\vec b} \right) = {120^{\rm{o}}}$.Tính$\left| {\vec a + \vec b} \right|$

Accepted Answer

$\sqrt{7 - 2\sqrt{3}}$

Question 10

Cho hai điểm $B,C$ phân biệt. Tập hợp những điểm $M$thỏa mãn $\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = {\overrightarrow {CM} ^2}$ là :

Accepted Answer

Đường tròn đường kính BC.

Question 11

Cho ba điểm $A,B,C$ phân biệt. Tập hợp những điểm $M$ mà $\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} $là :

Accepted Answer

Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với$BC$**.**

Question 12

Cho hai điểm $A\left( {2,2} \right)$, $B\left( {5, - 2} \right)$. Tìm $M$ trên tia $Ox$ sao cho $\widehat {AMB{\rm{ }}} = {\rm{ }}{90^{\rm{o}}}$

Accepted Answer

$M\left( {1,0} \right)$ hay $M\left( {6,0} \right)$.** **

Question 13

**Phần**** 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. ***Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.*

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các vectơ $\vec a = ( - 2;3),\vec b = (4;1)$. Khi đó:

a) $\vec a(\vec a - \vec b) = 12$

b) $(\vec a + \vec b)(2\vec a - \vec b) = 4$

c) Vectơ $\vec c = m\vec i + \vec j$ vuông góc với $\vec a$ khi $m = \frac{3}{2}$

d) Tọa độ vectơ $\vec d$ sao cho $\vec a.\vec d = 4,\vec b.\vec d = - 2$ bằng $\left( { - \frac{5}{7};\frac{6}{7}} \right)$

Accepted Answer

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng a) Ta có: ( vec a - vec b = ( - 6;2) Rightarrow vec a( vec a - vec b) = - 2( - 6) + 3.2 = 18 ); ( vec a + vec b = (2;4),2 vec a - vec b = ( - 8;5) Rightarrow ( vec a + vec b)(2 vec a - vec b) = 2( - 8) + 4.5 = 4 ). b) Ta có: ( vec c = (m;1) ). Vì ( vec c bot vec a ) nên ( vec a cdot vec c = 0 Rightarrow - 2m + 3 cdot 1 = 0 Rightarrow m = frac{3}{2} ). c) Gọi ( vec d = (x;y) ). Ta có: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{ vec a cdot vec d = 4} { vec b cdot vec d = - 2} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x + 3y = 4} {4x + y = - 2} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = - frac{5}{7}} {y = frac{6}{7}} end{array}} right.} right.} right. ) Vậy ( vec d = left( { - frac{5}{7}; frac{6}{7}} right) ).

Question 14

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các vectơ $\vec a = (2;5),\vec b = (3; - 7)$, $\vec c = (1;1)$. Khi đó:

a) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 29$

b) $(\vec a,\vec b) = 15^\circ $

c) $(\vec a,\vec c) \approx 23,1986^\circ $

d) Để $\vec d = (4x + 1)\vec i + (x + 4)\vec j$ tạo với vectơ $\vec c$ một góc $45^\circ $ thì $x = - \frac{1}{4}.$

Accepted Answer

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng a) Ta có: ( cos ( vec a, vec b) = frac{{ vec a cdot vec b}}{{| vec a| cdot | vec b|}} = frac{{2.3 + 5( - 7)}}{{ sqrt {{2^2} + {5^2}} cdot sqrt {{3^2} + {{( - 7)}^2}} }} = - frac{{ sqrt 2 }}{2} Rightarrow ( vec a, vec b) = 135^ circ ); ( cos ( vec a, vec c) = frac{{ vec a cdot overrightarrow c }}{{| vec a| cdot | overrightarrow c |}} = frac{{2.1 + 5.1}}{{ sqrt {{2^2} + {5^2}} cdot sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = frac{{7 sqrt {58} }}{{58}} Rightarrow ( vec a, vec c) approx 23,1986^ circ ). b) Ta có: ( vec d = (4x + 1;x + 4) ) tạo với ( vec c ) một góc (45^ circ ) nên: ( cos ( vec d, vec c) = frac{{ vec d cdot vec c}}{{| vec d| cdot | vec c|}} = frac{{4x + 1 + x + 4}}{{ sqrt 2 cdot sqrt {{{(4x + 1)}^2} + {{(x + 4)}^2}} }} = cos 45^ circ ) ( ) ( Leftrightarrow frac{{5x + 5}}{{ sqrt 2 cdot sqrt {17{x^2} + 16x + 17} }} = frac{{ sqrt 2 }}{2} Leftrightarrow 5x + 5 = sqrt {17{x^2} + 16x + 17} ) ( Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{x ge - 1} {17{x^2} + 16x + 17 = 25{x^2} + 50x + 25} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{x ge - 1} {8{x^2} + 34x + 8 = 0} end{array} Leftrightarrow x = - frac{1}{4}.} right.} right. )

Question 15

Cho hình chữ nhật $ABCD,AB = 4a,AD = 3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ACM$ (Hình).

![Cho hình chữ nhật $ABCD,AB = 4a,AD = (ảnh 1)](https://assets.nganla.com/migrated/2026/05/08/1778227738683445783.png)

a) \(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - 3\overrightarrow {BC} $

b) $\overrightarrow {BG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .$

c) $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0$

d) $\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {CM} = - {a^2}.$

Accepted Answer

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Sai Ta có: ( overrightarrow {CM} = overrightarrow {BM} - overrightarrow {BC} = frac{1}{2} overrightarrow {BA} - overrightarrow {BC} ). Vì (G ) là trọng tâm của tam giác (ACM ) nên (3 overrightarrow {BG} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {BM} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {BA} + frac{1}{2} overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} = frac{3}{2} overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} Rightarrow overrightarrow {BG} = frac{1}{2} overrightarrow {BA} + frac{1}{3} overrightarrow {BC} . ) Vì (ABCD ) là hình chữ nhật nên (BC = AD = 3a, overrightarrow {BC} cdot overrightarrow {BA} = 0 ). Ta có: ( overrightarrow {BG} cdot overrightarrow {CM} = left( { frac{1}{2} overrightarrow {BA} + frac{1}{3} overrightarrow {BC} } right) cdot left( { frac{1}{2} overrightarrow {BA} - overrightarrow {BC} } right) = frac{1}{4}{ overrightarrow {BA} ^2} - frac{1}{3} overrightarrow {BA} cdot overrightarrow {BC} - frac{1}{3}{ overrightarrow {BC} ^2} ) ( = frac{1}{4}{(4a)^2} - frac{1}{3} cdot 4a cdot 3a - frac{1}{3}{(3a)^2} = - 3{a^2}. )

Question 16

Cho hai vectơ $\vec a, \vec b$ với $|\vec a|=3, |\vec b|=4$ và góc giữa hai vectơ là $150^\circ$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Ta có: a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅cos(a→,b→)=3⋅4⋅cos150°=−63 ( begin{array}{l}( vec a + vec b) cdot ( vec a - vec b) = {{ vec a}^2} - {{ vec b}^2} = | vec a{|^2} - | vec b{|^2} = {3^2} - {4^2} = - 7. begin{array}{*{20}{l}}{(3 vec a + vec b) cdot ( vec a - 2 vec b)}&{ = 3{{ vec a}^2} - 5 vec a cdot vec b - 2{{ vec b}^2} = 3| vec a{|^2} - 5 vec a cdot vec b - 2| vec b{|^2}} {}&{ = 3 cdot {3^2} - 5( - 6 sqrt 3 ) - 2 cdot {4^2} = - 5 + 30 sqrt 3 .} end{array} end{array} )

Question 17

Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = 8a, đáy nhỏ CD = 4a, đường cao AD = 6a. Gọi I là trung điểm của AD. Tính giá trị của biểu thức (vecto IA + vecto IB) . vecto ID theo a.

Accepted Answer

-18a^2

Question 18

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = a, AC = 2\sqrt{3}a$ và $AM$ là đường trung tuyến. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AM}$.

Accepted Answer

a^2/2

Question 19

Cho $A(1;2)$ và $B( - 1;3)$. Cho điểm $P(0,b)$. Tính $\cos APB$ theo tung độ của $P$.

Accepted Answer

Vì (P ) thuộc trục tung nên (P(0,b) ). Khi đó ( overrightarrow {PA} = (1;2 - b) ) và ( overrightarrow {PB} = ( - 1;3 - b) ). ( overrightarrow {PA} cdot overrightarrow {PB} = 1.( - 1) + (2 - b)(3 - b) = {b^2} - 5b + 5 ) ( cos APB = frac{{ overrightarrow {PA} cdot overrightarrow {PB} }}{{| overrightarrow {PA} | cdot | overrightarrow {PB} |}} = frac{{{b^2} - 5b + 5}}{{ sqrt {{{(b - 2)}^2} + 1} cdot sqrt {{{(b - 3)}^2} + 1} }} ).

Question 20

Cho tam giác $ABC$, trung tuyến $AM$. Khi đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = A{M^2} - kB{C^2}.$ Vậy $k = ?$

Accepted Answer

1/4

Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ (có lời giải) - Đề 1

Xem trước câu hỏi