Đề kiểm tra Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 có đáp án - Đề 1

Question 1

**Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn**

*Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.*

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $O$ là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Accepted Answer

$\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)$.

Question 2

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ khác $\overrightarrow 0 $. Xác định góc $\alpha $ giữa hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ khi $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.$

Accepted Answer

$\alpha = 180^\circ $

Question 3

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow {AB} $ và$\overrightarrow {EG} $?

Accepted Answer

$45^\circ $.

Question 4

Trong không gian Oxyz, cho biểu diễn của vectơ $\overrightarrow a $ qua các vectơ đơn vị là $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + \overrightarrow k - 3\overrightarrow j $. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow a $ là:

Accepted Answer

$\left( {2;\, - 3;\,1} \right)$.

Question 5

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {2;1;3} \right)$ và điểm $B\left( {4; - 3;1} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là

Accepted Answer

$\left( {3; - 1;2} \right)$.

Question 6

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai véc-tơ $\overrightarrow a = \left( { - 1;3;2} \right)$, $\overrightarrow b = \left( { - 3; - 1;2} \right)$. Tính $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b $.

Accepted Answer

$4$

Question 7

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $1$, có tâm $O$. Gọi $I$ là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$ và $M$ là điểm thuộc đoạn $OI$ sao cho $MO = \frac{1}{2}MI$. Gắn hệ trục tọa độ $A'xyz$ như hình vẽ.

![Toạ độ điểm $M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{4}} \right)$. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/4-1758976905.png)

a) Toạ độ điểm $M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{4}} \right)$.

b) Toạ độ các điểm $A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$, $B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)$, $D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)$ và $A\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)$.

c) Trong không gian giả sử điểm $P,Q$ sao cho $\overrightarrow {A'P} = \overrightarrow {A'B'} + 2\overrightarrow {A'D'} - 2\overrightarrow {A'A} $; $\overrightarrow {A'Q} = \frac{8}{3}\overrightarrow {A'B'} + \frac{4}{3}\overrightarrow {A'D'} + \frac{8}{3}\overrightarrow {A'A} $ và $J\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A'PQ$, khi đó $a - b + c = 0$.

d) Trong không gian có đúng 2 điểm $N$ sao cho $N$ không trùng với các điểm $A$, $B'$, $D'$ và $\widehat {ANB'} = \widehat {B'ND'} = \widehat {D'NA} = 90^\circ $.

Accepted Answer

a) Sai. Ta có: (A' left( {0 ,; ,0 ,; ,0} right) ,, ,B' left( {1 ,; ,0 ,; ,0} right) ,, ,D' left( {0 ,; ,1 ,; ,0} right) ). Suy ra: (I left( { frac{1}{2} ,; , frac{1}{2} ,; ,0} right) ). Mặt khác ta có (O left( { frac{1}{2} ,; , frac{1}{2} ,; , frac{1}{2}} right) ). Ta có ( overrightarrow {OM} = frac{1}{3} overrightarrow {OI} Leftrightarrow overrightarrow {OM} = left( {0 ,; ,0 ,; , - frac{1}{6}} right) ). Vậy (M left( { frac{1}{2} ,; , frac{1}{2} ,; , frac{1}{3}} right) ). b) Đúng. Toạ độ các điểm (A' left( {0 ,; ,0 ,; ,0} right) ,, ,B' left( {1 ,; ,0 ,; ,0} right) ,, ,D' left( {0 ,; ,1 ,; ,0} right) ) và (A left( {0 ,; ,0 ,; ,1} right) ). c) Đúng. Ta có ( overrightarrow {A'P} = overrightarrow {A'B'} + 2 overrightarrow {A'D'} - 2 overrightarrow {A'A} Rightarrow P left( {1 ,; ,2 ,; , - 2} right) ); ( overrightarrow {A'Q} = frac{8}{3} overrightarrow {A'B'} + frac{4}{3} overrightarrow {A'D'} + frac{8}{3} overrightarrow {A'A} Rightarrow Q left( { frac{8}{3}; frac{4}{3}; frac{8}{3}} right) ). Suy ra: (A'P = 3 ,, ,A'Q = 4,PQ = 5 ). (J ) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác (A'PQ ). Suy ra (PQ. overrightarrow {JA'} + A'P. overrightarrow {JQ} + A'Q. overrightarrow {JP} = overrightarrow 0 ) ( Leftrightarrow 5 overrightarrow {JA'} + 3 overrightarrow {JQ} + 4 overrightarrow {JP} = overrightarrow 0 Rightarrow J left( {1;1;0} right) ). Vậy (a - b + c = 1 - 1 + 0 = 0 ). d) Đúng. Giả sử: (N left( {a;b;c} right) ). Ta có [ widehat {ANB'} = widehat {B'ND'} = widehat {D'NA} = 90^ circ Rightarrow left { begin{array}{l} overrightarrow {AN} . overrightarrow {B'N} = 0 overrightarrow {D'N} . overrightarrow {B'N} = 0 overrightarrow {AN} . overrightarrow {D'N} = 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}a left( {a - 1} right) + {b^2} + c left( {c - 1} right) = 0 a left( {a - 1} right) + b left( {b - 1} right) + {c^2} = 0 {a^2} + b left( {b - 1} right) + c left( {c - 1} right) = 0 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left { begin{array}{l}a = b = c = 0 a = b = c = frac{2}{3} end{array} right. ]. Vậy có hai điểm (N ) thoả mãn điều kiện.

Question 8

**Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn**

Một giỏ hoa treo trong nhà làm bằng $3$ sợi dây không giãn, mỗi sợi dài 60 cm miếng kê là một miếng gỗ cân đối hình tròn bán kính 20 cm ba sợi dây được thắt một đầu bên trên và đỡ giá gỗ tại 3 điểm tạo thành tam giác đều (giả sử mối thắt của 3 sợi dây và mối nối của mỗi sợi dây với miếng gỗ không đáng kể). Biết lực chịu đựng của mỗi sợi dây bằng nhau và mỗi sợi chịu không quá 15 N, trọng lượng của miếng giá gỗ là 5 N. Tính trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt (đơn vị Newton, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

![Tính trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt (đơn vị Newton, kết quả làm tròn đến hàng phần chục). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/5-1758976941.png)

Accepted Answer

Biết ba sợi dây được thắt một đầu bên trên là điểm (S ), ba sợi dây đỡ giá gỗ tại 3 điểm tạo thành tam giác đều (ABC ), độ dài sợi dây (SA = SB = SC = 60 , left( {{ rm{cm}}} right) ), bán kính hình tròn (OA = OB = OC = 20 , left( {{ rm{cm}}} right) ). Ta có hình chóp tam giác đều (S.ABC ), gọi (O )là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC ). ( Rightarrow SO bot (ABC) ) và (SO = sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = 40 sqrt 2 left( {{ rm{cm}}} right) ). Gọi lực chịu đựng của mỗi sợi dây là ({T_1}, ;T{}_2,{T_3} )các lực này bằng nhau và không quá 15 N ( Rightarrow {T_1} = {T_2} = {T_3} le 15{ rm{N}} ) ( Rightarrow left| { overrightarrow {SA} } right| = left| { overrightarrow {SB} } right| = left| { overrightarrow {SC} } right| le 15 ,{ rm{N}} ). Lại có ( overrightarrow {SA} + overrightarrow {SB} + overrightarrow {SC} = overrightarrow {SO} + overrightarrow {OA} + overrightarrow {SO} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {SO} + overrightarrow {OC} = 3 overrightarrow {SO} ). Gọi (P )là lực tác động lên miếng kê (là tổng lực của miếng giá gỗ hình tròn và lực của các chậu hoa) nên (P = left| {3 overrightarrow {SO} } right| = 3SO ). Vì (P )chia đều ra ba sợi dây ( Rightarrow frac{P}{{3{T_1}}} = frac{{3SO}}{{3SA}} = frac{{SO}}{{SA}} = frac{{40 sqrt 2 }}{{60}} = frac{{2 sqrt 2 }}{3} Leftrightarrow {T_1} = frac{P}{{2 sqrt 2 }} le 15{ rm{N}} Leftrightarrow P le 30 sqrt 2 { rm{N}} ). Suy ra trọng lượng của các chậu hoa là ({P_{hoa}} + {P_{go}} le 30 sqrt 2 N Leftrightarrow {P_{hoa}} le left( {30 sqrt 2 - 5} right)N approx 37,4{ rm{N}} ). Vậy trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt là (37,4{ rm{N}} ). Đáp án: 37,4.

Question 9

Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8 m, rộng 6 m và cao 4 m có 2 cây quạt treo tường. Cây quạt $A$ treo chính giữa bức tường 8 m và cách trần 1 m, cây quạt $B$ treo chính giữa bức tường 6 m và cách trần 1,5 m. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên dưới (đơn vị: mét). Biết điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thuộc mặt phẳng chứa sàn nhà sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|$ là nhỏ nhất, tính ${x^2} + {y^2} + {z^2}$.

![Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8 m, rộng 6 m và cao 4 m có 2 cây quạt treo tường (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/7-1758976992.png)

Accepted Answer

Vì [M ] thuộc mặt phẳng sàn nhà có chiều dài 8 m, rộng 6 m nên [M left( {x;y;0} right) ] với [0 le x le 8,0 le y le 6 ]. Cây quạt [A ] treo chính giữa bức tường 8 m và cách trần 1 m, cây quạt [B ] treo chính giữa bức tường 6 m và cách trần 1,5 m. Suy ra [A left( {4;0;3} right),B left( {0,3, frac{5}{2}} right) ]. Ta có: [ overrightarrow {MA} = left( {4 - x, - y,3} right), overrightarrow {MB} = left( { - x,3 - y, frac{5}{2}} right) ], [ left| { overrightarrow {MA} - 2 overrightarrow {MB} } right| = sqrt {{{ left( {x + 4} right)}^2} + {{ left( {y - 6} right)}^2} + 4} ]. Để [ left| { overrightarrow {MA} - 2 overrightarrow {MB} } right| ] nhỏ nhất thì [{ left( {x + 4} right)^2} + { left( {y - 6} right)^2} ] nhỏ nhất. Ta có: [{ left( {x + 4} right)^2} + { left( {y - 6} right)^2} ge { left( {0 + 4} right)^2} + 0 = 16 ]. Dấu bằng xảy ra khi [x = 0,y = 6 ]. Vậy [{x^2} + {y^2} + {z^2} = {0^2} + {6^2} + {0^2} = 36 ]. Đáp án: 36.

Question 10

Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát $2,5\,\,{\rm{km}}$ về phía nam và $1,5\,\,{\rm{km}}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $60\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}$ Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát $3\,\,{\rm{km}}$ về phía bắc và $2,5\,\,{\rm{km}}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $40\,\,{\rm{m}}.$ Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc toạ độ $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ $a\,\,{\rm{km}}$ theo hướng bắc và $b\,\,{\rm{km}}$ theo hướng tây. Khi đó $a + b$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

1,7

Đề kiểm tra Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 có đáp án - Đề 1

Xem trước câu hỏi