Đề kiểm tra Vectơ trong không gian (có lời giải) - Đề 1

Question 1

**PHẦN 1: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM**

Trong không gian cho 3 điểm $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P$ phân biệt. Tính $\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {MN} $.

Accepted Answer

$\overrightarrow {PN} $.

Question 2

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ và bằng vectơ $\overrightarrow {AD} $ là

![Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ và bằng vectơ $\overrightarrow {AD} $ là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/1-1759236578.png)

Accepted Answer

$\overrightarrow {B'C'} $.

Question 3

Gọi $I$ là trung điểm của$AB$. Khẳng định nào sau đây **sai**?

Accepted Answer

$\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} $.

Question 4

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Kết quả quả phép toán $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {EH} $ là

![Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Kết quả quả phép toán $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {EH} $ là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/3-1759236661.png)

Accepted Answer

$\overrightarrow {DB} $.

Question 5

Cho hai vectơ $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ có $\left| {\overrightarrow u } \right| = 3,\left| {\overrightarrow v } \right| = 4$ và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ bằng ${60^o}$. Tích vô hướng $\overrightarrow u .\overrightarrow v $ bằng

Accepted Answer

$6$.

Question 6

Trong không gian, cho 3 điểm $A,\;B,\;C$ phân biệt. Hiệu hai véc tơ $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} $ bằng

Accepted Answer

$\overrightarrow {CB} .$

Question 7

Cho hình hình hộp$ABCD.A'B'C'D'$, có đáy $ABCD$ hình bình hành tâm $O$. Khi đó $2.\overrightarrow {AO} $ bằng véc tơ nào sau đây?

Accepted Answer

$\overrightarrow {AC} $.

Question 8

Cho biết $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$, mệnh đề nào sau đây đúng?

Accepted Answer

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 $.

Question 9

Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài cạnh là $a$. Khi đó $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} $ bằng

Accepted Answer

$0.$

Question 10

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây là sai?

Accepted Answer

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} .$

Question 11

Cho hình tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Mệnh đề nào sau đây **sai**?

Accepted Answer

$\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)$.

Question 12

Trong không gian cho điểm $O$ và bốn điểm$A,B,C,D$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để $A,B,C,D$ tạo thành hình bình hành là

Accepted Answer

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} $.

Question 13

Trong không gian cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh là a. Gọi O là giao điểm của BD và AC. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Ý a) Đúng: Vì [ left { begin{array}{l} overrightarrow {A'C} - overrightarrow {A'A} = overrightarrow {AC} overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} end{array} right. Rightarrow overrightarrow {A'C} - overrightarrow {AA'} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} ] Ý b) Sai: Vì [ overrightarrow {BC'} = overrightarrow {BB'} + overrightarrow {B'C'} = overrightarrow {AA'} + overrightarrow {B'C'} ]. Ý c) Đúng: Vì [ overrightarrow {C'O} = overrightarrow {C'A'} + overrightarrow {A'O} = overrightarrow {C'A'} - overrightarrow {OA'} ]. Ý d) Sai: Ta có: ( overrightarrow {A'D} . overrightarrow {A'B} = left| { overrightarrow {A'D} } right|. left| { overrightarrow {A'B} } right|. cos left( { overrightarrow {A'D} , overrightarrow {A'B} } right) = a sqrt 2 .a sqrt 2 .c{ rm{os}}60^ circ = {a^2} )

Question 14

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Accepted Answer

Ý a) Sai: Vì ( overrightarrow {AB} - overrightarrow {AC} = overrightarrow {CB} ). Ý b) Đúng: Vì (ABCD ) là hình bình hành nên [ overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {BD} ]. Ý c) Đúng: Với vectơ ( overrightarrow a ne overrightarrow 0 ) và (k in mathbb{R} ) ta luôn có ( left| {k. overrightarrow a } right| = left| k right|. left| { overrightarrow a } right| ). Ý d) Đúng: Với vectơ ( overrightarrow a , overrightarrow b )là hai vectơ tùy ý khác vectơ ( overrightarrow 0 )ta luôn có [ cos left( { overrightarrow a , overrightarrow b } right) = frac{{ overrightarrow a . overrightarrow b }}{{ left| { overrightarrow a } right|. left| { overrightarrow b } right|}} ].

Question 15

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow x ;\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow y ;\,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow z $. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau đây:

a) $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z $.

b) $\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow x + \overrightarrow z $.

c) Góc giữa véc tơ $\overrightarrow {BA'} $ và véc tơ $\overrightarrow {A'C'} $ bằng ${60^\bigcirc }$.

d) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Độ dài véc tơ $\overrightarrow {A'M} $ bằng $\frac{{3a}}{2}$.

Accepted Answer

a)Đ b) S c) S d Đ a) Đúng. Theo quy tắc hình hộp ta có ( overrightarrow {AC'} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {AA'} = overrightarrow x + overrightarrow y + overrightarrow z ). b) Sai. Theo quy tắc 3 điểm ta có ( overrightarrow {A'B} = overrightarrow {AB} - overrightarrow {AA'} = overrightarrow x - overrightarrow z ). c) Sai. Vì hình lập phương có cạnh bằng (a ) nên (A'B = A'C' = C'B = a sqrt 2 ), do đó tam giác (A'BC' ) đều, nên ( angle BA'C' = {60^ bigcirc } Rightarrow left( { overrightarrow {BA'} , , overrightarrow {A'C'} } right) = {180^ bigcirc } - {60^ bigcirc } = {120^ bigcirc } ). d) Đúng. Dễ thấy (ABCD.A'B'C'D' ) nên (AA' bot left( {ABCD} right) Rightarrow AA' bot AM Rightarrow )tam giác (AA'M ) vuông tại (A ). Có ( left| { overrightarrow {A'M} } right| = A'M = sqrt {A{{A'}^2} + A{M^2}} = sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2} + B{M^2}} ) ( = sqrt {{a^2} + {a^2} + frac{{{a^2}}}{4}} = frac{{3a}}{2} ).

Question 16

Cho tứ diện đều$ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau đây:

a) $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 $.

b) $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} $.

c)$\overrightarrow {CG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} $.

d) Gọi $I$ là điểm thuộc đoạn $AG$ và thỏa mãn $AI = 3IG$. Khi đó $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 $.

Accepted Answer

a)Đ b) S c) Đ d Đ a) Đúng, theo tính chất trọng tâm. b) Sai. Theo quy tắc trọng tâm, ta có ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = 3 overrightarrow {AG} Leftrightarrow overrightarrow {AG} = frac{1}{3} overrightarrow {AB} + frac{1}{3} overrightarrow {AC} + frac{1}{3} overrightarrow {AD} ). c) Đúng. ( overrightarrow {CG} = overrightarrow {AG} - overrightarrow {AC} = frac{1}{3} overrightarrow {AB} + frac{1}{3} overrightarrow {AC} + frac{1}{3} overrightarrow {AD} - overrightarrow {AC} = frac{1}{3} overrightarrow {AB} - frac{2}{3} overrightarrow {AC} + frac{1}{3} overrightarrow {AD} ). d) Đúng. Vì (I ) là điểm thuộc đoạn (AG ) và (AI = 3IG Rightarrow overrightarrow {AI} = 3 overrightarrow {IG} ), mà (G )là trọng tâm tam giác (BCD ) nên ( overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} + overrightarrow {ID} = 3 overrightarrow {IG} Leftrightarrow overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} + overrightarrow {ID} = overrightarrow {AI} ) ( Leftrightarrow overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} + overrightarrow {ID} = - overrightarrow {IA} ) ( Leftrightarrow overrightarrow {IA} + overrightarrow {IB} + overrightarrow {IC} + overrightarrow {ID} = overrightarrow 0 ).

Question 17

**PHẦN 3: CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN**

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là các điểm trên đoạn $AC$và $C'D$ sao cho, $DN = \frac{1}{3}DC'$, $AM = \frac{2}{3}AC$. Khi phân tích $\overrightarrow {BN} = x.\overrightarrow {BA} + y.\overrightarrow {BC} + z.\overrightarrow {BB'} $ thì giá trị $x + y + z$ bằng

Accepted Answer

Ta có: (DN = frac{1}{3}DC' Leftrightarrow NC' = 2ND Rightarrow overrightarrow {NC'} = - 2 overrightarrow {ND} ). Suy ra điểm N chia đoạn thẳng [{ rm{D}}C' ] theo tỉ số (k = - 2 ). Do đó ( overrightarrow {BN} = frac{{ overrightarrow {BC'} + 2 overrightarrow {BD} }}{3} ) hay ( overrightarrow {BN} = frac{1}{3} overrightarrow {BC'} + frac{2}{3} overrightarrow {BD} Leftrightarrow overrightarrow {BN} = frac{1}{3} left( { overrightarrow {BB'} + overrightarrow {BC} } right) + frac{2}{3} left( { overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} } right) Leftrightarrow overrightarrow {BN} = frac{2}{3} overrightarrow {BA} + overrightarrow {BC} + frac{1}{3} overrightarrow {BB'} ). Vậy (x + y + z = 2 ).

Question 18

Cho tứ diện ABCD có $AB = AC = AD = 1.$ và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ ,\,\widehat {CAD} = 90^\circ $. Gọi $I$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $AI = 3IB$ và $J$ là trung điểm của $CD$. Tính độ dài đoạn thẳng $IJ$và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Accepted Answer

Ta có: ( overrightarrow {AC} . overrightarrow {AD} = 0 ); [ overrightarrow {AB} . overrightarrow {AD} = AB.AD.cos60^ circ = frac{1}{2} ]; [ overrightarrow {AC} . overrightarrow {AB} = frac{1}{2} ]. ( overrightarrow {IJ} , = , overrightarrow {IA} + overrightarrow {AJ} = - frac{3}{4} overrightarrow {AB} + frac{1}{2} left( { overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} } right) = frac{1}{2} left( { overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} - frac{3}{2} overrightarrow {AB} } right) ) ( Rightarrow I{J^2} = { overrightarrow {IJ} ^2} , = frac{1}{4}{ left( { overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} - frac{3}{2} overrightarrow {AB} } right)^2} = frac{1}{4} left( { frac{{17}}{4} + 2 overrightarrow {AC} . overrightarrow {AD} - 3 overrightarrow {AC} . overrightarrow {AB} - 3 overrightarrow {AB} . overrightarrow {AD} } right) = frac{5}{{16}} ). ( Rightarrow IJ = frac{{ sqrt 5 }}{4} approx 0,56. )

Question 19

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'.$ Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AC = 3MC.$ Lấy $N$ trên đoạn $C'D$ sao cho $C'N = x\,C'D.$ Khi $MN\parallel BD'$ thì giá trị $x$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là:

Accepted Answer

0,67

Question 20

Cho tứ diện đều $S.ABC$ cạnh $a$,$M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính $\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SB} } \right)$ (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Accepted Answer

Ta có: AM→.SB→=SM→−SA→.SB→=SM→.SB→−SA→.SB→=SM.SB.cosBSM^−SA.SB.cosASB^ = a32.a.cos30°−a.a.cos60° = a24 Suy ra: cosAM→,SB→=AM→.SB→AM.SB=a24a32.a=36≈0,29

Đề kiểm tra Vectơ trong không gian (có lời giải) - Đề 1

Xem trước câu hỏi