Đề ôn luyện Toán Chương 2. Nguyên hàm và tích phân (đề số 1)

Question 1

Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = 2\sin x - \cos x$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ là

Accepted Answer

$F\left( x \right) = - 2\cos x - \sin x + 1$

Question 2

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{3x}} + 1$ là

Accepted Answer

$\frac{1}{3}{{\rm{e}}^{3x}} + x + C$.

Question 3

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3$ và $f\left( 0 \right) = 1$. Khi đó $f\left( x \right)$ bằng

Accepted Answer

$\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x + 1$.

Question 4

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^x} + x$ là

Accepted Answer

$\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$.

Question 5

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;\,10} \right]$ và $\int\limits_0^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x = 7} $ và $\int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} $. Tính $P = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x} } $.

Accepted Answer

$P = 4$.

Question 6

Tính $\int\limits_1^3 {\frac{{2{x^2} + 1}}{x}{\rm{d}}x} $ được kết quả là

Accepted Answer

$8 + \ln 3$.

Question 7

Tính $\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{\rm{cos}}\,x\,{\rm{d}}x} $ được kết quả là

Accepted Answer

$\frac{1}{2}$.

Question 8

Kết quả phép tính $\int\limits_1^2 {{3^x}{\rm{d}}x} $ bằng

Accepted Answer

$\frac{6}{{\ln 3}}$.

Question 9

Biết rằng $\int\limits_1^3 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 4$. Tính $\int\limits_1^3 {2f\left( x \right){\rm{d}}x} $ ta được kết quả là

Accepted Answer

$8$.

Question 10

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \cos x,\;y = x + 1,\;x = \frac{\pi }{2},\;x = \pi $ (tham khảo hình bên) bằng

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-101539-1762312419.png)

Accepted Answer

**D. $\frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{8}$**.

Question 11

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {e^x},$ trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$ và $x = 3$ bằng

Accepted Answer

**B. ${e^3} - 1.$**

Question 12

Cho hình phẳng $\left( S \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {2 - {x^3}} $, trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1$ và $x = 1$. Thể tích của khối tròn xoay khi quay $\left( S \right)$ quanh $Ox$ là

Accepted Answer

4$\pi $

Question 13

Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa chua âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những “nghệ nhân tí hon” kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm $t$ (giờ) được kí hiệu là $N\left( t \right)$. Ban đầu ($t = 0$ giờ), mật độ vi khuẩn đo được là $N\left( 0 \right) = 10$ triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn $N'\left( t \right)$ (đơn vị: triệu tế bào/ ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức $N'\left( t \right) = 18t - 3{t^2}$ (triệu tế bào/ml mỗi giờ) với $t$ là thời gian tính bằng giờ $\left( {0 \le t \le 7} \right)$.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có [N' left( 1 right) = 18 cdot 1 - 3 cdot {1^2} = 15 ] triệu tế bào/ml giờ. b) Sai. Ta có ( int {N' left( t right){ rm{d}}t} = int { left( {18t - 3{t^2}} right){ rm{d}}t} = 9{t^2} - {t^3} + C ) ( left( {C in mathbb{R}} right) ). c) Đúng. Ta có (N left( t right) = 9{t^2} - {t^3} + C ) ( left( {C in mathbb{R}} right) ). Mà (N left( 0 right) = 10 ) nên (C = 10 ). Vậy (N left( t right) = 9{t^2} - {t^3} + 10 ). Tại thời điểm (t = 6 ), ta có (N left( 6 right) = 9 cdot {6^2} - {6^3} + 10 = 118 ). Ban đầu ( (t = 0 ) giờ), mật độ vi khuẩn đo được là (N left( 0 right) = 10 ) triệu tế bào/ml nên tại thời điểm (t = 6 ), mật độ vi khuẩn đã tăng thêm 108 triệu tế bào/ml. d) Đúng. Tại thời điểm (t = 7 ) giờ, ta có (N left( 7 right) = 9 cdot {7^2} - {7^3} + 10 = 108 ) nên mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 108 triệu tế bào/ml.

Question 14

Một ô tô đang di chuyển với vận tốc $21\,\,{\rm{m/s}}$, khi còn cách trạm thu phí một đoạn thì người lái xe bắt đầu đạp phanh lần một, xe chuyển động thẳng chậm dần đều với vận tốc biến thiên theo thời gian được xác định bởi quy luật ${v_1}\left( t \right) = - 6t + 21\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây, đến đúng trạm thu phí thì xe dừng hẳn. Sau khi trả phí, xe ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ${v_2}\left( t \right) = 5t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$, đi được $4$giây, ô tô gặp chướng ngại vật nên phải phanh gấp lần hai.

**a)** Thời gian từ lúc ô tô phanh lần một cho đến khi dừng hẳn ở trạm thu phí là $3$ giây.

**b)** Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng ở trạm thu phí là $36,75\,\,{\rm{m}}$.

**c)** Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp lần hai là $20\,{\rm{m/s}}$.

**d)** Tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc phanh lần một đến lúc phanh lần hai là $76,75\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Accepted Answer

a) Sai. Đến đúng trạm thu phí thì xe dừng hẳn nên ({v_1} left( t right) = 0 Leftrightarrow - 6t + 21 , = 0 Leftrightarrow t = frac{7}{2} = 3,5 ). Như vậy, thời gian từ lúc ô tô phanh lần một cho đến khi dừng hẳn ở trạm thu phí là (3,5 ) giây. b) Đúng. Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng ở trạm thu phí là: ({S_1} = int limits_0^{ frac{7}{2}} { left( { - 6t + 21} right)} ,{ rm{d}}t = 36,75 , left( { rm{m}} right) ). c) Đúng. Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp lần hai là ({v_2} left( 4 right) = 5 cdot 4 = 20 , left( {{ rm{m/s}}} right). ) d) Đúng. Quãng đường ô tô đi được sau khi trả phí đến khi phanh lần hai là: ({S_2} = int limits_0^4 {5t} ,{ rm{d}}t = 40 , left( { rm{m}} right) ). Vậy tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc phanh lần một đến lúc phanh lần hai là: (S = {S_1} + {S_2} = 76,75 , , left( { rm{m}} right) ).

Question 15

Cho đồ thị hàm số $y = {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4\,\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y = 2x - 2$.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-102528-1762313005.png)

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: ({x^3} - 2{x^2} - 3x + 4 = 2x - 2 Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0 ) ( Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2} {x = 1} {x = 3} end{array}} right. ). Với [x = - 2 Rightarrow y = - 6 ], với [x = 1 Rightarrow y = 0 ], với [x = 3 Rightarrow y = 4 ]. Vậy đường thẳng (d ) cắt đồ thị ( left( C right) ) tại ba điểm (A left( { - 2; - 6} right), ,B left( {1;0} right), ,C left( {3;4} right) ). b) Sai. Diện tích hình phẳng cần tính là: (S = int limits_{ - 1}^2 { left| {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} right|} ,{ rm{d}}x = frac{{97}}{{12}} ). c) Sai. Ta có ({S_1} = int limits_{ - 2}^1 { left| { left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} right) - left( {2x - 2} right)} right|} ,{ rm{d}}x = int limits_{ - 2}^1 { left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} right|} ,{ rm{d}}x = frac{{63}}{4} ); ({S_2} = int limits_1^3 { left| { left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} right) - left( {2x - 2} right)} right|} ,{ rm{d}}x = int limits_1^3 { left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} right|} ,{ rm{d}}x = frac{{16}}{3} ). Vậy ( frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{ frac{{63}}{4}}}{{ frac{{16}}{3}}} = frac{{189}}{{64}} ). d) Đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( left( C right) ) và đường thẳng (d ) là: (S = int limits_{ - 2}^3 { left| { left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} right) - left( {2x - 2} right)} right|} ,{ rm{d}}x = {S_1} + {S_2} = frac{{63}}{4} + frac{{16}}{3} = frac{{253}}{{12}} ).

Question 16

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng với vận tốc $v\left( t \right),{\rm{ }}0 \le t \le 5$ ($t$ có đơn vị là giây và $v\left( t \right)$ có đơn vị mét/giây). Hàm số $v\left( t \right)$ có đồ thị gồm hai đoạn thẳng $OB,BC$ và đường cong $CD$ là một phần parabol $v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c,{\rm{ }}\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)$ có đỉnh $C$ (như hình vẽ).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-102852-1762313209.png)

**a) **Trong một giây đầu tiên, vận tốc của chất điểm là $v\left( t \right) = 2t,{\rm{ }}0 \le t \le 1$.

**b) **Quãng đường chất điểm đi được trong hai giây đầu tiên là $2{\rm{ m}}$.

**c) **Giá trị của $b$ và $c$ lần lượt là $b = 3,c = - \frac{5}{2}$.

**d) **Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian $5$ giây là $7,7{\rm{ m}}$ (kết quả được làm tròn đến hàng phần mười).

Accepted Answer

a) Đúng. Đường thẳng [OB:v left( t right) = mt + n ] đi qua hai điểm [O left( {0;0} right),{ rm{ }}B left( {1;2} right) ], ta [ left { begin{array}{l}n = 0 m + n = 2 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}m = 2 n = 0 end{array} right. Rightarrow OB:v left( t right) = 2t ] với [0 le t le 1 ]. b) Sai. Đường thẳng [BC:v left( t right) = 2 ] với [1 le t le 3 ]. Quãng đường chất điểm đi được trong hai giây đầu tiên là [{S_1} = int limits_0^1 {2t{ rm{dt}}} + int limits_1^2 {2{ rm{dt}}} = 3{ rm{ }} left( { rm{m}} right) ]. c) Đúng. Parabol [v left( t right) = a{t^2} + bt + c ] nhận [{x_C} = 3 ] làm trục đối xứng nên đồ thị đi qua ba điểm [ left( {1;0} right), ] [C left( {3;2} right),{ rm{ }}D left( {5;0} right) ], ta có [ left { begin{array}{l}a + b + c = 0 9a + 3b + c = 2 25a + 5b + c = 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}a = - frac{1}{2} b = 3 c = - frac{5}{2} end{array} right. ]. Đường cong [CD ] là [v left( t right) = - frac{1}{2}{t^2} + 3t - frac{5}{2} ] với [3 le t le 5 ]. d) Đúng. Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian [5 ] giây là [S = int limits_0^1 {2t{ rm{dt}}} + int limits_1^3 {2{ rm{dt}}} + int limits_3^5 { left( { - frac{1}{2}{t^2} + 3t - frac{5}{2}} right){ rm{dt}}} = frac{{23}}{3} approx 7,7{ rm{ }} left( { rm{m}} right). ]

Question 17

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang với gia tốc phụ thuộc thời gian $t$ (s) là $a\left( t \right) = 2t - 7$ (m/s2). Biết vận tốc đầu bằng 10 (m/s), hỏi sau bao lâu thì chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s)?

Accepted Answer

Ta có (v left( t right) = int {a left( t right){ rm{d}}t} = int { left( {2t - 7} right){ rm{d}}t} = {t^2} - 7t + C ), mặt khác (v left( 0 right) = 10 ) nên (C = 10 ). Suy ra (v left( t right) = {t^2} - 7t + 10 ). Để chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s) thì (v left( t right) = 18 Leftrightarrow {t^2} - 7t - 8 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 8 ,{ rm{ }} left( {{ rm{nhan}}} right) t = - 1{ rm{ }} left( {{ rm{loai}}} right) end{array} right. ). Vậy tại thời điểm (t = 8 ) (s) thì chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s). Đáp án: 8.

Question 18

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h\left( t \right)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ phút. Biết $h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt$ và ban đầu bể không có nước. Sau $5$ phút thì thể tích nước trong bể là $150\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$, sau $10$ phút thì thể tích nước trong bể là $1100\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$. Thể tích của nước trong bể sau khi bơm được $20$ phút là bao nhiêu decimét khối?

Accepted Answer

Ta có [h left( t right) = int {h' left( t right){ rm{d}}t} = int { left( {3a{t^2} + bt} right){ rm{d}}t} = a{t^3} + b frac{{{t^2}}}{2} + C. ] Do ban đầu bể không có nước nên [h left( 0 right) = 0 Leftrightarrow C = 0 Rightarrow h left( t right) = a{t^3} + b frac{{{t^2}}}{2}. ] Lúc (5 ) phút: [h left( 5 right) = a cdot {5^3} + b cdot frac{{{5^2}}}{2} = 150 , , , left( 1 right). ] Lúc (10 ) phút: [h left( {10} right) = a cdot {10^3} + b cdot frac{{{{10}^2}}}{2} = 1100 , , , left( 2 right). ] Từ ( left( 1 right) )và ( left( 2 right) ) suy ra [a = 1, ,b = 2 Rightarrow h left( t right) = {t^3} + {t^2} Rightarrow h left( {20} right) = {20^3} + {20^2} = 8400 , ,{ rm{d}}{{ rm{m}}^{ rm{3}}}. ] Đáp án: 8400.

Question 19

Một dụng cụ đựng nước có dạng như hình bên. Nếu cắt dụng cụ bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng $x$ (cm) $(0 \le x \le 5)$ thì được thiết diện là hình chữ nhật có chiều dài là $2x$ (cm) và chiều rộng là $\sqrt {x + 3} $ (cm). Dung tích của dụng cụ trên là bao nhiêu centimét khối (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục)?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-103746-1762313748.png)

Accepted Answer

Diện tích của mặt cắt là: (S left( x right) = 2x cdot sqrt {x + 3} ) (cm2). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là: [V = int limits_0^5 {2x sqrt {x + 3} } ,{ rm{d}}x approx 62,6 ] (cm3). Đáp án: 62,6.

Question 20

Một biển quảng cáo có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $4{\rm{ m}}$ và $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$. Trên tấm biển đó có đường parabol đỉnh $I$ đi qua $A,B$ và cắt đường chéo $BD$ tại $M$ ($M$ khác $B$, *tham khảo hình vẽ*).

Người ta cần sơn tấm biển quảng cáo, biết rằng chi phí sơn phần hình gạch sọc (có diện tích ${S_1}$​) là $200\,000$ đồng/m², chi phí sơn phần tô đậm (có diện tích ${S_2}$​) là $180\,000$ đồng/m² và phần còn lại là $150\,000$ đồng/m². Số tiền cần chi trả để sơn tấm biển quảng cáo là bao nhiêu nghìn đồng?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-103842-1762313801.png)

Accepted Answer

Chọn hệ trục tọa độ (Oxy ) như hình vẽ, với (O ) là trung điểm của (BD ) và hai trục lần lượt song song với hai cạnh (AB,AD ). Ta có tọa độ các điểm (A left( { - 2; - 2} right) ), (B left( {2; - 2} right) ) và (I left( {0;2} right) ); phương trình của đường parabol có dạng (y = a{x^2} + b ) thay tọa độ các điểm (B,I ) ta có được (b = 2 ) và ( - 2 = a cdot {2^2} + 2 Leftrightarrow a = - 1 ). Vậy phương trình của đường [ left( P right):y = - {x^2} + 2 ]. Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ y = -x2+2y = -x ⇔x2-x-2 = 0y = -x ⇔x = 2y = -2 hoặc x= -1 y = 1 Suy ra (M left( { - 1 ,; ,1} right) ) (loại điểm [ left( {2; - 2} right) ] do trùng B). Diện tích hình phẳng ({S_1} = int limits_{ - 1}^2 { left[ { left( { - {x^2} + 2} right) - left( { - x} right)} right]{ rm{d}}x} = int limits_{ - 1}^2 { left( { - {x^2} + 2 + x} right){ rm{d}}x} = frac{9}{2} ). Diện tích hình phẳng [{S_2} = int limits_{ - 2}^2 { left( { - {x^2} + 2 + 2} right){ rm{d}}x - {S_1}} = frac{{37}}{6} ]. Diện tích phần còn lại là ({S_3} = 16 - {S_1} - {S_2} = frac{{16}}{3} ). Tổng số tiền bỏ ra để sơn là (200{S_1} + 180{S_2} + 150{S_3} = 2810 ) (nghìn đồng). Đáp án: 2810.

Đề ôn luyện Toán Chương 2. Nguyên hàm và tích phân (đề số 1)

Xem trước câu hỏi