Đề ôn luyện Toán Chương 3. Cấp số cộng và cấp số nhân

Question 1

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = - 2$ và công sai $d = 3$. Tìm số hạng ${u_{10}}$.

Accepted Answer

${u_{10}} = 25$.

Question 2

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 2$ và công bội $q = 3$. Số hạng ${u_3}$ của cấp số nhân đã cho là

Accepted Answer

$18$

Question 3

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 2,{\rm{ }}{u_2} = 5$. Tính ${u_4}$.

Accepted Answer

${u_4} = 11$.

Question 4

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$có ${u_1} = 2$ và ${u_6} = - 64$. Số hạng ${u_5}$ của cấp số nhân đã cho là

Accepted Answer

$32$.

Question 5

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_3} = 12$ và công bội $q = 2$. Số hạng ${u_1}$ của cấp số nhân là

Accepted Answer

3.

Question 6

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} = \frac{1}{3},{u_8} = 26$. Công sai $d$ của cấp số cộng đó là

Accepted Answer

$\frac{{11}}{3}$.

Question 7

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = - 2$ và công sai $d = 3$. Số hạng tổng quát ${u_n}$ là

Accepted Answer

${u_n} = 3n - 5$.

Question 8

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 4;\,\,{u_2} = 8$. Tìm công bội $q$ của cấp số nhân.

Accepted Answer

$q = 2$.

Question 9

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} = - 5$, $d = 2$. Số $81$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Accepted Answer

44

Question 10

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 4$ và $d = - 5$. Tổng $100$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

Accepted Answer

${S_{100}} = - 24350.$

Question 11

Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số nhân?

Accepted Answer

$1, 2, 4, 8$

Question 12

Biết ba số ${x^2}\,;\,8\,;\,x$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Giá trị của $x$ là

Accepted Answer

$x = 4$.

Question 13

Cho dãy số $(u_n)$ có tổng $n$ số hạng đầu được tính bởi công thức $S_n = n^2 - \frac{3}{2}n$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có: ({S_1} = {1^2} - frac{3}{2} cdot 1 = - frac{1}{2};{S_2} = {2^2} - frac{3}{2} cdot 2 = 1 ). b) Sai. Vì ({S_n} ) là tổng (n ) số hạng đầu của dãy số nên ta có ({S_1} = {u_1} = - frac{1}{2};{S_2} = {u_1} + {u_2} = 1 ). Do đó, ({u_2} = {S_2} - {u_1} = 1 - left( { - frac{1}{2}} right) = frac{3}{2} ). c) Đúng. Với (n ge 2 ) thì ({u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = - frac{5}{2} + 2n ). Mà ({u_1} = - frac{1}{2} = - frac{5}{2} + 2 cdot 1 ) nên ({u_n} = - frac{5}{2} + 2n ) với (n in { mathbb{N}^*} ). d) Đúng. Ta có ({u_n} - {u_{n - 1}} = - frac{5}{2} + 2n - left[ { - frac{5}{2} + 2 left( {n - 1} right)} right] = 2 ) với (n in { mathbb{N}^*},n ge 2 ). Vậy ( left( {{u_n}} right) ) là một cấp số cộng có công sai là (2 ).

Question 14

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có u5= -15, ${u_{20}} = 60$.

**a)** Cấp số cộng có công sai $d = 5$.

**b) **Cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = - 35$.

**c) **Cấp số cộng có số hạng thứ $15$ là ${u_{15}} = 25$.

**d) **Cấp số cộng có $28$ số hạng nhỏ hơn $100$.

Accepted Answer

Gọi số hạng đầu, công sai của cấp số cộng lần lượt là ({u_1},d ). Theo bài ra, ta có u5 = -15u20 = 60⇔u1 + 4d = -15u1 + 19d = 60 ⇔u1= -35d = 5 a) Đúng. Cấp số cộng có công sai (d = 5 ). b) Đúng. Cấp số cộng có số hạng đầu ({u_1} = - 35 ). c) Sai. Số hạng thứ (15 ) của cấp số cộng là ({u_{15}} = {u_1} + 14d = - 35 + 14 cdot 5 = 35 ). d) Sai. Ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng là [{u_n} = {u_1} + left( {n - 1} right)d = 5n - 40 ]. Ta có ({u_n} < 100 ) nên (5n - 40 < 100 Leftrightarrow n < 28 ). Do đó có (27 ) số hạng là ({u_1},{u_2},...,{u_{27}} ) nhỏ hơn (100 ).

Question 15

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {3^{\frac{n}{2} + 1}}$.

**a)** Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = \sqrt 3 $.

**b)** Số 19683 là số hạng thứ 17 của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.

**c)** Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là $\frac{{\left( {{3^{50}} - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}$.

**d)** Tổng $S = {u_2} + {u_4} + {u_6} + .... + {u_{20}} = \frac{{9\left( {{3^{10}} - 1} \right)}}{2}$.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có ( frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = frac{{{3^{ frac{n}{2} + 1}}}}{{{3^{ frac{{n - 1}}{2} + 1}}}} = {3^{ frac{n}{2} + 1 - frac{{n - 1}}{2} - 1}} = {3^{ frac{1}{2}}} = sqrt 3 , , , forall n ge 2 ). Vậy dãy số ( left( {{u_n}} right) ) là cấp số nhân có công bội (q = sqrt 3 ) và số hạng đầu ({u_1} = {3^{ frac{1}{2} + 1}} = {3^{ frac{3}{2}}} = 3 sqrt 3 ). b) Sai. Ta có ({u_n} = 19683 Leftrightarrow {3^{ frac{n}{2} + 1}} = {3^9} Leftrightarrow frac{n}{2} + 1 = 9 Leftrightarrow n = 16. ) Khi đó, số 19683 là số hạng thứ 16 của dãy số ( left( {{u_n}} right) ). c) Sai. Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số ( left( {{u_n}} right) ) chính là tổng 100 số hạng đầu của cấp số nhân ( left( {{u_n}} right) ) và bằng ({S_{100}} = frac{{{u_1} left( {1 - {q^{100}}} right)}}{{1 - q}} = frac{{3 sqrt 3 left( {1 - {{ sqrt 3 }^{100}}} right)}}{{1 - sqrt 3 }} = frac{{3 sqrt 3 left( {{3^{50}} - 1} right) left( { sqrt 3 + 1} right)}}{2} ). d) Đúng. Ta có ({u_2} = {u_1}q = 3 sqrt 3 cdot sqrt 3 = 9 ), ({u_4} = {u_1}{q^3} = {u_1}q cdot {q^2} ), …, ({u_{20}} = {u_1}{q^{19}} = {u_1}q cdot { left( {{q^2}} right)^9} ). Như vậy, dãy số ({u_2},{u_4},{u_6},....,{u_{20}} ) là cấp số nhân có số hạng đầu là ({u_2} = 9 ), công bội ({q^2} = 3 ) và có 10 số hạng nên (S = {u_2} + {u_4} + {u_6} + .... + {u_{20}} = frac{{9 left( {{3^{10}} - 1} right)}}{2} ).

Question 16

Một cấp số cộng có $7$ số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng $30$, còn tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ sáu bằng $35$. Tính số hạng thứ bảy của cấp số cộng đó.

Accepted Answer

30

Question 17

Bạn An là sinh viên của một trường đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi để trang trải kinh phí học tập. Đầu năm thứ nhất, bạn ấy vay ngân hàng số tiền 40 triệu đồng với lãi suất là $4\% $ một năm. Tính số tiền mà bạn An nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó bạn An chưa trả bất kì khoản nào và lãi suất ngân hàng không thay đổi (làm tròn kết quả đến hàng phần chục theo đơn vị triệu đồng)

Accepted Answer

Gọi ({u_n} ) là số tiền bạn An nợ ngân hàng sau (n ) năm. Ta có ({u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 1}} cdot 0,04 = {u_{n - 1}} cdot 1,04 , , , left( { forall n ge 2} right) ). Ta có dãy số ( left( {{u_n}} right) ) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu ({u_1} = 40 + 40 cdot 0,04 = 41,6 ) (triệu đồng) và công bội (q = 1,04 ). Vậy số tiền bạn An nợ ngân hàng sau 4 năm là: ({u_4} = {u_1} cdot {q^3} = 41,6 cdot 1,{04^3} = 46,8 ) (triệu đồng). Đáp án: 46,8.

Question 18

Khán đài A của một sân vận động có $3456$ chỗ ngồi, hàng ghế đầu tiên có $15$ chỗ ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm $6$ chỗ so với hàng ghế ngay trước nó. Hỏi khán đài A của sân vận động có bao nhiêu hàng ghế?

Accepted Answer

32

Question 19

Người ta dự định xây dựng 1 tòa tháp 10 tầng tại một ngôi chùa nọ, theo cấu trúc diện tích của mặt sàn tầng trên bằng nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là $16\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$. Hãy giúp nhà chùa ước lượng số gạch hoa cần dùng để lát nền nhà, biết rằng để cho đồng bộ nhà chùa yêu cầu nền nhà phải lót gạch hoa cỡ $30 \times 30\,{\rm{cm}}$.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-140719-1762326324.png)

Accepted Answer

Gọi ({S_1} ) là diện tích của mặt đáy tháp thì ({S_1} = 16 ,{{ rm{m}}^{ rm{2}}} ). ({S_i} ) là diện tích mặt trên của tầng thứ (i , , left( {1 le i le 10} right) ). Theo bài ra, ta nhận thấy ( left { {{S_i},1 le i le 10} right } ) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu ({S_1} = 16 ) và công bội (q = frac{1}{2} ). Tổng diện tích mặt sàn của 10 tầng tháp là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên và bằng ({T_{10}} = frac{{{S_1} left( {1 - {q^{10}}} right)}}{{1 - q}} = frac{{16 cdot left[ {1 - {{ left( { frac{1}{2}} right)}^{10}}} right]}}{{1 - frac{1}{2}}} = frac{{1023}}{{32}} , ,{ rm{(}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} ). Diện tích của mỗi viên gạch là (30 times 30 = 900 ,{ rm{c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}} = 0,09 ,{{ rm{m}}^{ rm{2}}} ). Ta thấy ( frac{{1023}}{{32}}:0,09 approx 355,21 ). Vậy số lượng gạch cần dùng để lát hết toàn bộ nền nhà là 356 viên. Đáp án: 356.

Đề ôn luyện Toán Chương 3. Cấp số cộng và cấp số nhân

Xem trước câu hỏi