Đề ôn luyện Toán Chương 5. Hình học không gian (đề số 1)

Question 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA = 2a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng

Accepted Answer

$2a$.

Question 2

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $3{a^2}$ và chiều cao $2a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Accepted Answer

$6{a^3}$.

Question 3

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-151357-1762330312.png)

Khoảng cách giữa đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $\left( {A'B'C'D'} \right)$ bằng

Accepted Answer

$a$.

Question 4

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Biết $AB = 9a$, $AD = 10a$. Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ là

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-151522-1762330418.png)

Accepted Answer

$9a$.

Question 5

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $AB = a$ và $SA = a\sqrt 3 $. Số đo theo đơn vị độ của góc nhị diện $\left[ {A,\,BC,\,S} \right]$ là

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-151729-1762330527.png)

Accepted Answer

$60^\circ $

Question 6

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $SM$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-151848-1762330611.png)

Accepted Answer

$OK.$

Question 7

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$?

Accepted Answer

$\left( {A'ADD'} \right)$.** **

Question 8

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là

Accepted Answer

$\widehat {SCA}$.

Question 9

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $I$ là trung điểm của $SC$ (tham khảo hình bên).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-152442-1762330964.png)

Khẳng định nào sau đây **sai**?

Accepted Answer

$AC \bot \left( {SBD} \right).$

Question 10

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy (tham khảo hình bên)

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-152701-1762331098.png)

Khẳng định nào sau đây **sai**?

Accepted Answer

$CD \perp SC$

Question 11

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$(tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng $BA'$ và $CD$ bằng

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-152803-1762331157.png)

Accepted Answer

45°

Question 12

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt 3 $ và tam giác $SBD$ đều.

Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Accepted Answer

$V = \frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{2}$

Question 13

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. (Tham khảo hình vẽ)

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-153128-1762331410.png)

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. Vì (SA bot left( {ABCD} right) Rightarrow SA bot CD ). b) Đúng. Ta có (BC ,{ rm{//}} ,AD ) nên góc giữa thẳng (BC ) và đường thẳng (SD ) bằng góc giữa thẳng (AD ) và đường thẳng (SD ). c) Đúng. Vì [ABCD ] là hình vuông ( Rightarrow AC bot BD ). Vì (SA bot left( {ABCD} right) Rightarrow BD bot SA ) ( Rightarrow BD bot left( {SAC} right) ). d) Sai. Ta có (SC cap left( {SAD} right) = S ). Ta có ( left { begin{array}{l}CD bot AD CD bot SA end{array} right. Rightarrow CD bot left( {SAD} right) ). Suy ra góc giữa đường thẳng (SC ) và mặt phẳng ( left( {SAD} right) ) là ( widehat {DSC} ).

Question 14

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA = a\sqrt 2 $ và vuông góc với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. ( left { begin{array}{l}BD bot AC BD bot SA end{array} right. Rightarrow BD bot left( {SAC} right) ). Khi đó ( left { begin{array}{l}BD subset left( {SBD} right) BD bot left( {SAC} right) end{array} right. Rightarrow left( {SBD} right) bot left( {SAC} right) ). b) Đúng. Ta có ( left { begin{array}{l}CD bot AD CD bot SA end{array} right. Rightarrow CD bot left( {SAD} right) ). c) Đúng. (SA bot left( {ABCD} right) Rightarrow )Hình chiếu của (S ) lên mặt phẳng ( left( {ABCD} right) ) là (A ). (B,C in left( {ABCD} right) Rightarrow ) Hình chiếu của (B,C ) lên mặt phẳng ( left( {ABCD} right) ) là (B,C ). Do đó tam giác (ABC ) là hình chiếu của tam giác (SCB ) lên mặt phẳng ( left( {ABCD} right) ). d) Sai. Kẻ (AK bot SD , , left( {K in SD} right) ). Ta có (CD bot AK , , left( {{ rm{do}} , ,CD bot left( {SAD} right)} right) ). Do đó (AK bot left( {SCD} right) Rightarrow d left( {A, left( {SCD} right)} right) = AK = frac{{SA.AD}}{{ sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = frac{{a sqrt 6 }}{3} ). Lại có (AB ,{ rm{//}} ,CD ) nên (AB ,{ rm{//}} left( {SCD} right) ), suy ra (d left( {B, left( {SCD} right)} right) = d left( {A, left( {SCD} right)} right) = frac{{a sqrt 6 }}{3} ).

Question 15

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AC = a,\,\,BC = 2a,\,\,\widehat {ACB} = 120^\circ $ có thể tích $V$. Gọi $M$ là trung điểm của $BB'$.

**a) **Số đo của góc nhị diện $\left[ {A,CC',B} \right]$ bằng $60^\circ $.

**b) **Biết khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ bằng $2a$. Khi đó $V = {a^3}\sqrt 3 $.

**c) **${V_{M.ABC}} = \frac{1}{6}V$.

**d) **$d\left( {C',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

Accepted Answer

a) Sai. Ta có [ left { { begin{array}{*{20}{l}}{AC bot CC'} {BC bot CC'} end{array} Rightarrow widehat {ACB}} right. ] là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện ( left[ {A,CC',B} right] ). Mà ( widehat {ACB} = 120^ circ ) nên số đo của góc nhị diện ( left[ {A,CC',B} right] ) bằng (120^ circ ). b) Đúng. Vì khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ bằng (2a ) nên (d left( { left( {ABC} right), left( {A'B'C'} right)} right) = 2a ). Mà (d left( { left( {ABC} right), left( {A'B'C'} right)} right) = AA' ) nên (AA' = 2a ). Ta có ({S_{ABC}} = frac{1}{2}AC cdot BC cdot { rm{sin}} widehat {ACB} = frac{1}{2} cdot a cdot 2a cdot { rm{sin}}120^ circ = frac{{{a^2} sqrt 3 }}{2} ). Thể tích của khối lăng trụ là: (V = {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}} cdot AA' = frac{{{a^2} sqrt 3 }}{2} cdot 2a = {a^3} sqrt 3 ). c) Đúng. Ta có ({V_{M.ABC}} = frac{1}{3}MB cdot {S_{ABC}} = frac{1}{3} cdot frac{1}{2}BB' cdot {S_{ABC}} = frac{1}{6}V ). Vậy ({V_{M.ABC}} = frac{1}{6}V ). d) Đúng. Gọi (H ) là chân đường cao kẻ từ (C ) xuống (AB ). Khi đó (CH bot AB ). Mà (AA' bot CH Rightarrow CH bot left( {ABB'A'} right) Rightarrow d left( {C, left( {ABB'A'} right)} right) = CH ). Ta cũng có (CC' ,{ rm{//}} left( {ABB'A'} right) ) nên (d left( {C', left( {ABB'A'} right)} right) = d left( {C, left( {ABB'A'} right)} right) = CH ). Ta có (AB = sqrt {A{C^2} + B{C^2} - 2AC cdot BC{ rm{cos}} widehat {ACB}} = sqrt {{a^2} + 4{a^2} - 2 cdot a cdot 2a{ rm{cos}}120^ circ } = a sqrt 7 ). Lại có ({S_{ABC}} = frac{1}{2}CH cdot AB Rightarrow CH = frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB}} = frac{{2 cdot frac{{{a^2} sqrt 3 }}{2}}}{{a sqrt 7 }} = frac{{a sqrt 3 }}{{ sqrt 7 }} = frac{{a sqrt {21} }}{7} ). Vậy (d left( {C', left( {ABB'A'} right)} right) = frac{{a sqrt {21} }}{7} ).

Question 16

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( {ABCD} \right)$, $SA = 2a\sqrt 3 $, $AB = a$, $AD = 2a$.

**a)** Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

**b)** Mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

**c)** Số đo của góc nhị diện $\left[ {A,DC,S} \right]$ bằng $30^\circ $.

**d)** Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$. Khi đó $\cos \alpha = \frac{4}{{\sqrt {17} }}$.

Accepted Answer

a) Đúng. Vì từ giả thiết, ta có (SA bot left( {ABCD} right) Rightarrow SA bot BC ). Ta có ( left { begin{array}{l}BC bot AB BC bot SA end{array} right. Rightarrow BC bot left( {SAB} right) ). b) Sai. Vì (ABCD ) là hình chữ nhật nên (AC ) không vuông góc với (BD ), từ đó ta suy ra được mặt phẳng ( left( {SAC} right) ) không vuông góc với mặt phẳng ( left( {SBD} right) ). c) Sai. Ta có ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{CD bot AD} {CD bot SA{ rm{ }} left( {{ rm{do }}SA bot left( {ABCD} right)} right)} end{array} Rightarrow CD bot left( {SAD} right)} right. Rightarrow CD bot SD ). Từ đó suy ra ( widehat {ADS} ) là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện ( left[ {A,DC,S} right] ). Tam giác (SAD ) vuông tại (A ) nên ( tan widehat {ADS} = frac{{SA}}{{AD}} = frac{{2a sqrt 3 }}{{2a}} = sqrt 3 ), suy ra ( widehat {ADS} = 60^ circ ). Vậy số đo của góc nhị diện ( left[ {A,DC,S} right] ) bằng (60^ circ ). d) Đúng. Vì (CD bot left( {SAD} right) ). Suy ra (SD ) là hình chiếu của (SC ) trên mặt phẳng ( left( {SAD} right) ). Do vậy ( left( {SC, left( {SAD} right)} right) = left( {SC,SD} right) = widehat {CSD} ). Tam giác (SAD ) vuông tại (A ) có: (SD = sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = 4a; , ,SC = sqrt {S{D^2} + C{D^2}} = a sqrt {17} ). Tam giác (SDC ) vuông tại (D ) có: ({ rm{cos}} widehat {CSD} = frac{{SD}}{{SC}} = frac{{4a}}{{a sqrt {17} }} = frac{4}{{ sqrt {17} }}. ) Vậy ({ rm{cos}} alpha = frac{4}{{ sqrt {17} }} ).

Question 17

Cuộc tranh đuổi giữa chú chuột Jerry và mèo Tom để lấy miếng pho mát. Biết rằng miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng chiều cao $5\,{\rm{cm}}$ và độ dài các cạnh đáy lần lượt là $7\,{\rm{cm}},7\,{\rm{cm,}}$$4\,{\rm{cm}}$. Tính thể tích của khối pho mát trên (*kết quả làm tròn đến hàng phần mười của centimét khối*).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-153818-1762331774.png)

Accepted Answer

Nửa chu vi của tam giác đáy là (p = frac{{4 + 7 + 7}}{2} = 9 ) (cm). Diện tích đáy của khối lăng trụ là (S = sqrt {9 left( {9 - 7} right) left( {9 - 7} right) left( {9 - 4} right)} = 6 sqrt 5 ) (cm2). Chiều cao khối lăng trụ là (h = 5 ) (cm). Thể tích khối pho mát là (V = Sh = 6 sqrt 5 cdot 5 = 30 sqrt 5 approx 67,1 ) (cm3). Đáp án: 67,1.

Question 18

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, tam giác $SAB$ là tam giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, gọi $H$ là trung điểm cạnh $AB$, khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ là $a\sqrt 2 $, gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng đáy. Tính giá trị của biểu thức $M = 25{\tan ^2}\alpha + 4{\cot ^2}\alpha $.

Accepted Answer

Gọi (I ) là trung điểm (CD ). Khi đó, ta có (HI{ rm{//}}AD{ rm{//}}BC Rightarrow HI bot AB, , ,HI bot CD ). Ta lại có tam giác (SAB ) đều nên (SH bot AB ). Mặt khác ( left( {SAB} right) bot left( {ABCD} right) ), suy ra (SH bot left( {ABCD} right) Rightarrow SH bot HI ). Kẻ (HK bot SI , , left( {K in SI} right) ). Ta có (CD bot HI ) và (CD bot SH ) ( left( {{ rm{do}} ,SH bot left( {ABCD} right)} right) ). Suy ra (CD bot left( {SHI} right) Rightarrow CD bot HK ). Từ đó suy ra (HK bot left( {SCD} right) Rightarrow d left( {H, left( {SCD} right)} right) = HK ). Lại có (BH{ rm{//}}CD Rightarrow BH{ rm{//}} left( {SCD} right) Rightarrow d left( {B, left( {SCD} right)} right) = d left( {H, left( {SCD} right)} right) = HK = a sqrt 2 ). Ta có (HI = BC = 2a ). Tam giác (SHI ) vuông tại (H ) nên ta có ( frac{1}{{H{K^2}}} = frac{1}{{S{H^2}}} + frac{1}{{H{I^2}}} Rightarrow frac{1}{{S{H^2}}} = frac{1}{{H{K^2}}} - frac{1}{{H{I^2}}} = frac{1}{{2{a^2}}} - frac{1}{{4{a^2}}} = frac{1}{{4{a^2}}} Rightarrow SH = 2a ). Vì (SH bot left( {ABCD} right) ) và (SD ) cắt mặt phẳng ( left( {ABCD} right) ) tại (D ) ( Rightarrow HD ) là hình chiếu của (SD ) trên mặt phẳng ( left( {ABCD} right) ). ( Rightarrow left( {SD, left( {ABCD} right)} right) = left( {SD,HD} right) = widehat {SDH} ). Xét ( Delta SHD ) vuông tại (H ): ( tan widehat {SDH} = frac{{SH}}{{HD}} = frac{{2a}}{{a sqrt 5 }} = frac{2}{{ sqrt 5 }} Rightarrow cot widehat {SDH} = frac{{ sqrt 5 }}{2} ). Vậy [M = 25{ tan ^2} alpha + 4{ cot ^2} alpha = 25 cdot { left( { frac{2}{{ sqrt 5 }}} right)^2} + 4 cdot { left( { frac{{ sqrt 5 }}{2}} right)^2} = 25 ]. Đáp án: 25.

Question 19

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $5\sqrt 2 $, tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left( {ABCD} \right)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $CD$ và $SB$.

Accepted Answer

( Delta SAD ) cân tại (S ) và gọi (H ) là trung điểm của (AD ) thì (SH bot AD ). Ta có (DC ,{ rm{//}} ,AB Rightarrow DC ,{ rm{//}} left( {SAB} right) , Rightarrow d left( {DC, ,SB} right) = d left( {DC, , left( {SAB} right)} right) = d left( {D, , left( {SAB} right)} right) ). ( left { begin{array}{l} left( {SAD} right) bot left( {ABCD} right) left( {SAD} right) cap left( {ABCD} right) = AD SH subset left( {SAD} right), ,SH bot AD end{array} right. , , Rightarrow SH bot left( {ABCD} right) Rightarrow SH bot AB ). ( left { begin{array}{l}AB bot SH AB bot AD , left( {{ rm{gt}}} right) end{array} right. , , Rightarrow AB bot left( {SAD} right) ). ( left { begin{array}{l}SD bot SA , left( {{ rm{gt}}} right) SD bot AB , left( {{ rm{do}} ,AB bot left( {SAD} right)} right) end{array} right. , , Rightarrow SD bot left( {SAB} right) ). Suy ra (d left( {D, , left( {SAB} right)} right) , = SD ). ( Delta SAD ) vuông cân tại (S ), suy ra (2S{D^2} = A{D^2} Rightarrow S{D^2} = frac{{A{D^2}}}{2} = frac{{{{ left( {5 sqrt 2 } right)}^2}}}{2} = 25 Rightarrow SD = 5 ). Vậy (d left( {DC, ,SB} right) = 5 ). Đáp án: 5.

Question 20

Cho khối chóp$S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $12$ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ bằng $6\sqrt 2 $, tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Accepted Answer

Tứ giác [ABCD ] là hình vuông [ Rightarrow AB bot AD ]. (1) Có [SA bot left( {ABCD} right) Rightarrow SA bot AB ]. (2) Từ (1) và (2) ta có [AB bot left( {SAD} right) ]. Suy ra [AB bot SD ]. Hai đường thẳng (AD ), (SB ) chéo nhau và vuông góc, mặt phẳng [ left( {SAD} right) ] chứa [SD ] và vuông góc với [AB ], cắt [AB ] tại [A ] nên gọi [H ] là hình chiếu của [A ] trên [SD ] thì [AH ] là đoạn vuông góc chung của [AB ] và [SD ]. Khi đó [AH = d left( {AB,SD} right) = 6 sqrt 2 ]. Tam giác [SAD ] vuông tại [A ] có đường cao [AH ] nên [ frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{A{D^2}}} + frac{1}{{A{S^2}}} Leftrightarrow frac{1}{{{{ left( {6 sqrt 2 } right)}^2}}} = frac{1}{{{{12}^2}}} + frac{1}{{A{S^2}}} Leftrightarrow SA = 12 ]. Thể tích của khối chóp (S.ABCD ) là (V = frac{1}{3}{S_{ABCD}} cdot SA = frac{1}{3} cdot {12^2} cdot 12 = 576 ). Đáp án: 576.

Đề ôn luyện Toán Chương 5. Hình học không gian (đề số 1)

Xem trước câu hỏi