Đề ôn luyện Toán Chương 5. Hình học không gian (đề số 2)

Question 1

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime $ có $AB = a,{\rm{ }}AD = \sqrt 3 a,{\rm{ }}AA\prime = 2\sqrt 3 a$ (tham khảo hình vẽ).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-154516-1762332198.png)

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $\left( {A'B'C'D'} \right)$ bằng

Accepted Answer

$2a\sqrt 3 $.

Question 2

Cho hình chóp ${\rm{S}}.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$, $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $H,\,K$ lần lượt là trung điểm của $BC,\,AD$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Accepted Answer

** **$BC \bot \left( {SHK} \right)$.** **

Question 3

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $SA = AB = 2a$, $BC = 3a$. Tính thể tích của $S.ABC$ là

Accepted Answer

$2{a^3}$.

Question 4

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh là $a$, $SA$ vuông góc với đáy $ABCD$ và $SB = 2a$. Khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng $AB$ bằng

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-154948-1762332477.png)

Accepted Answer

$a\sqrt 3 $.** **

Question 5

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A'C'$ bằng

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-155111-1762332565.png)

Accepted Answer

$45^\circ $.

Question 6

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right)$ bằng

Accepted Answer

$90^\circ $.

Question 7

Cho hình chóp cụt đều có diện tích hai đáy lần lượt bằng $4\sqrt 3 $ và $\sqrt 3 $, chiều cao bằng 4. Thể tích khối chóp cụt đều đã cho bằng

Accepted Answer

$V = \frac{{28\sqrt 3 }}{3}$.

Question 8

Khối chóp $S.ABC$ có diện tích đáy $ABC$ bằng 5. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng 15. Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là

Accepted Answer

9

Question 9

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SB \bot \left( {ABCD} \right)$, đáy $ABCD$ là hình thoi. Một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {A,SB,C} \right]$ là

Accepted Answer

$\widehat {ABC}$.

Question 10

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Kết luận nào sau đây là **sai**?

Accepted Answer

$\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.

Question 11

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 2 và thể tích bằng 8. Chiều cao của khối lăng trụ đã cho là

Accepted Answer

4.

Question 12

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC'$ và $BB'$ bằng

** **

Accepted Answer

$\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Question 13

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng 4 cm, chiều cao bằng 2 cm.

**a)** $d\left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = 2\,{\rm{cm}}$.

**b)** Trong mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$, kẻ $C'H \bot A'B'$ tại $H$. Khi đó $AB \bot \left( {CC'H} \right)$.

**c)** Khoảng cách từ điểm $C'$ đến mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ bằng $\sqrt 3 \,{\rm{cm}}$.

**d) **Thể tích khối lăng trụ là $8\sqrt 3 \,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$

Accepted Answer

a) Đúng. Vì (ABC.A'B'C' ) là lăng trụ tam giác đều nên (d left( { left( {ABC} right), left( {A'B'C'} right)} right) = AA' = 2 ,{ rm{cm}} ). b) Đúng. Ta có ( left { begin{array}{l}A'B' bot C'H A'B' bot CC' end{array} right. Rightarrow A'B' bot left( {CC'H} right) ) mà (AB ,{ rm{//}} ,A'B' ) nên (AB bot left( {CC'H} right) ). c) Sai. Ta có C'H ⊥A'B'C'H ⊥AA'⇒C'H ⊥(ABB'A') ⇒d(C',(ABB'A')) = C'H Tam giác (A'B'C' ) đều cạnh bằng 4 cm nên (C'H = frac{{4 sqrt 3 }}{2} = 2 sqrt 3 left( {{ rm{cm}}} right) ). d) Đúng. Ta có ({S_{ABC}} = frac{{{4^2} cdot sqrt 3 }}{4} = 4 sqrt 3 left( {{ rm{c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}} right) ). Thể tích khối lăng trụ đã cho là: (V = {S_{ABC}} cdot AA' = 4 sqrt 3 cdot 2 = 8 sqrt 3 left( {{ rm{c}}{{ rm{m}}^{ rm{3}}}} right) ).

Question 14

Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt bên $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt đáy và tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$. Biết tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và cạnh $AC = a\sqrt 3 $. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.

**a) **$SH \bot \left( {ABC} \right)$.

**b) **Mặt phẳng $\left( {SHC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ vuông góc với nhau.

**c) **Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{{{a^3}}}{6}$.

**d) **$d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Accepted Answer

a) Đúng. ( Delta SAB ) đều, (H ) là trung điểm (AB ) ( Rightarrow SH bot AB ). Ta có (SAB)∩(ABC) = AB SH⊥AB (SAB)⊥(ABC) ⇒ SH ⊥(ABC) b) Đúng. Mặt khác, ta có (SH subset left( {SHC} right) Rightarrow left( {SHC} right) bot left( {ABC} right) ). c) Sai. ( Delta SAB ) đều cạnh bằng (2a ) ( Rightarrow SH = a sqrt 3 ). ( Delta ABC ) vuông tại (C ) ( Rightarrow CB = sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = sqrt {{{ left( {2a} right)}^2} - {{ left( {a sqrt 3 } right)}^2}} = a ) (Pythagore). Vậy ({V_{S.ABC}} = frac{1}{3} cdot {S_{ABC}} cdot SH = frac{1}{3} cdot frac{{AC cdot CB}}{2} cdot SH = frac{1}{3} cdot frac{{a sqrt 3 .a}}{2} cdot a sqrt 3 = frac{1}{2}{a^3} ). d) Sai. Kẻ (CM bot AB ) tại M. Xét ( Delta ABC ) vuông tại (C ) có: (CM cdot AB = AC cdot CB Rightarrow CM = frac{{AC cdot CB}}{{AB}} = frac{{ sqrt 3 }}{2}a ). Ta có (SAB)∩(ABC) = AB CM⊥AB (SAB)⊥(ABC) ⇒ CM ⊥(ABC) ⇒d(C, (SAB) = CM = 3a2

Question 15

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$ (tham khảo hình vẽ).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-160625-1762333469.png)

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có ({V_{S.ABCD}} = frac{1}{3} cdot {S_{ABCD}} cdot SA = frac{1}{3} cdot {a^2} cdot 2a = frac{{2{a^3}}}{3} ). b) Đúng. Ta có ( left { begin{array}{l}BD bot AC BD bot SA end{array} right. Rightarrow BD bot left( {SAC} right) ). c) Đúng. Vì (SA bot left( {ABCD} right) ) nên góc giữa đường thẳng (SB ) và mặt phẳng ( left( {ABCD} right) ) là ( widehat {SBA} ). Xét tam giác (SAB ) vuông tại (A ), có: ( tan alpha = tan widehat {SBA} = frac{{SA}}{{AB}} = frac{{2a}}{a} = 2 ). d) Đúng. Ta có ( left { begin{array}{l}CD bot AD CD bot SA end{array} right. Rightarrow CD bot left( {SAD} right) Rightarrow left( {SCD} right) bot left( {SAD} right) ). Lại có hai mặt phẳng ( left( {SAD} right) ) và ( left( {SCD} right) ) cắt nhau tạo thành 4 góc nhị diện, trong đó có góc nhị diện ( left[ {A,SD,C} right] ). Vậy góc nhị diện ( left[ {A,SD,C} right] ) là góc nhị diện vuông nên có số đo bằng (90^ circ ).

Question 16

Bạn An muốn làm các viên đá có dạng khối chóp cụt tứ giác đều có cạnh của đáy lớn bằng $3\,{\rm{cm}}$, cạnh của đáy nhỏ bằng $1,5\,{\rm{cm}}$ và cao $3\,{\rm{cm}}$ bằng cách dùng khay đá, mỗi khay sẽ tạo được $6$ viên đá. Hỏi bạn An cần ít nhất bao nhiêu khay để chứa đồng thời $2$ lít nước?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-05-160916-1762333642.png)

Accepted Answer

Thể tích nước mà một khay đá chứa được tối đa là: (V = 6{V_1} = 6 cdot left[ { frac{1}{3}h left( {S + sqrt {S cdot S'} + S'} right)} right] = 6 cdot left[ { frac{1}{3} cdot 3 left( {{3^2} + sqrt {{3^2} cdot 1,{5^2}} + 1,{5^2}} right)} right] = frac{{189}}{2} , , left( {{ rm{c}}{{ rm{m}}^{ rm{3}}}} right) ). Ta có (2 )lít ( = 2000 ,{ rm{c}}{{ rm{m}}^{ rm{3}}} ). Vì (2000: frac{{189}}{2} approx 21,16 ) nên cần dùng tối thiểu (22 ) cái khay để đựng đủ (2 ) lít nước. Đáp án: 22.

Question 17

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $4\sqrt 3 $. Số đo góc nhị diện $\left[ {A,BC,S} \right]$ bằng $30^\circ $. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Accepted Answer

32

Question 18

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $15$. Gọi $M,$$N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $B'C'.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $B'D'$.

Accepted Answer

Gọi (O ) là tâm của hình vuông (A'B'C'D' ), (I ) là trung điểm của (C'D' ) và (E = NI cap A'C' ). Khi đó (NI bot A'C' ). Gọi (H ) là hình chiếu của (O ) trên (ME ). Dễ có (OH bot left( {MNI} right) ). Do (B'D'{ rm{//}} left( {MNI} right), ,MN subset left( {MNI} right) Rightarrow d left( {MN ,, ,B'D'} right) = d left( { ,B'D', , left( {MNI} right)} right) = d left( { ,O, , left( {MNI} right)} right) = OH ). Ta có (MO = 15,OE = frac{1}{2}OC' = frac{1}{4}A'C' = frac{{15 sqrt 2 }}{4} Rightarrow OH = frac{{MO.OE}}{{ sqrt {M{O^2} + O{E^2}} }} = 5. ) Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng (MN ) và (B'D' ) bằng (5. ) Đáp án: 5.

Question 19

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, có $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Biết $SO = AB = 2$. Giá trị sin của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Accepted Answer

Theo tính chất của hình chóp đều, ta có (SO bot left( {ABCD} right) ). Thể tích khối chóp (S.ABCD ) là ({V_{S.ABCD}} = frac{1}{3} cdot {S_{ABCD}} cdot SO = frac{1}{3} cdot {2^2} cdot 2 = frac{8}{3} Rightarrow {V_{S.ABC}} = frac{1}{2} cdot {V_{S.ABCD}} = frac{4}{3}. ) Gọi (I ) là trung điểm của (CB ), tam giác (SBC ) có (SC = SB = sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = sqrt {{2^2} + {{ left( { sqrt 2 } right)}^2}} = sqrt 6 ) và (SI = sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = sqrt {{2^2} + {1^2}} = sqrt 5 ) nên có diện tích bằng ({S_{ Delta SBC}} = frac{1}{2} cdot SI cdot BC = frac{1}{2} cdot sqrt 5 cdot 2 = sqrt 5 ). Gọi (J ) là hình chiếu của (A ) lên mặt phẳng ( left( {SBC} right) ), gọi ( varphi ) là góc giữa đường thẳng (SA ) và mặt phẳng ( left( {SBC} right) ) thì ( sin varphi = sin widehat {ASJ} = frac{{AJ}}{{SA}} = frac{{d left( {A, left( {SBC} right)} right)}}{{SA}}. ) Mà (d left( {A, left( {SBC} right)} right) = frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{ Delta SBC}}}} = frac{4}{{ sqrt 5 }} ). Vậy ( sin varphi = frac{{d left( {A, left( {SBC} right)} right)}}{{SA}} = frac{{2 sqrt {30} }}{{15}} approx 0,73 ). Đáp án: 0,73.

Đề ôn luyện Toán Chương 5. Hình học không gian (đề số 2)

Xem trước câu hỏi