Đề ôn luyện Toán Chương 6. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian (đề số 1)

Question 1

Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Khẳng định nào sau đây là **sai**?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-095804-1762397760.png)

Accepted Answer

$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A'C'} = \vec 0$.** **

Question 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$.

Tổng $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} $ bằng

Accepted Answer

$4\overrightarrow {SO} $.

Question 3

Cho tứ diện *ABCD*, gọi $G$ là trọng tâm của tam giác *BCD*. Phát biểu nào sau đây là **đúng**?

Accepted Answer

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} $.

Question 4

Cho tứ diện đều *ABCD* có cạnh $a$. Tích vô hướng $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} $ bằng

Accepted Answer

$\frac{{{a^2}}}{2}$.

Question 5

Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\vec u = \vec i + 2\vec j - 3\vec k,\vec v = 2\vec i - \vec j + \vec k,\vec w = \vec u + \vec v$. Toạ độ của vectơ $\vec w$ là

Accepted Answer

$\vec w = (3; 1; -2)$

Question 6

Trong không gian với hệ tọa độ *Oxyz*, cho hai điểm $A\left( {2; - 1; - 1} \right),B\left( { - 3;2; - 2} \right)$. Tọa độ của $\overrightarrow {AB} $ là

Accepted Answer

$\left( { - 5;3; - 1} \right)$.

Question 7

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A\left( {1;3;4} \right),B\left( {2; - 1;0} \right),C\left( {3;1;2} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

Accepted Answer

$G\left( {2;1;2} \right)$.

Question 8

Trong không gian *Oxyz*, cho điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow {OM} = 2\vec i + 3\vec j - 4\vec k$. Tìm tọa độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$.

Accepted Answer

$H\left( {0;3; - 4} \right)$.

Question 9

Trong không gian *Oxyz*, cho $\vec a = \left( {2; - 3;3} \right),\vec b = \left( {0;2; - 1} \right),\vec c = \left( {3; - 1;5} \right)$. Tọa độ của vectơ $\vec u = 2\vec a + 3\vec b - 2\vec c$ là

Accepted Answer

$\left( { - 2;2; - 7} \right)$.

Question 10

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1;3;2} \right)$, $B\left( {1;0;1} \right)$, $C\left( {5; - 3;2} \right)$. Biết rằng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2m$. Giá trị của $m$ là

Accepted Answer

$m = 9$.

Question 11

Trong không gian *Oxyz*, cho hai vector $\vec u = \left( { - 1;1;0} \right),\vec v = \left( {0; - 1;0} \right)$. Góc giữa hai vectơ đã cho bằng

Accepted Answer

$135^\circ $.

Question 12

Trong không gian *Oxyz*, cho $\vec a = \left( {2; - 2;6} \right)$. Khi đó độ dài của vectơ $\vec a$ là:

Accepted Answer

$\left| {\vec a} \right| = 2\sqrt {11} $.

Question 13

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(5;3;4), B(1;2;1), C(8;-3;2). Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. Tọa độ trọng tâm [G ] của tam giác [ABC ] là [ left { begin{array}{l}{x_G} = frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} {y_G} = frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} {z_G} = frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}{x_G} = frac{{14}}{3} {y_G} = frac{2}{3} {z_G} = frac{7}{3} end{array} right. ]. b) Sai. Ta có [BC = sqrt {{{ left( {8 - 1} right)}^2} + {{ left( { - 3 - 2} right)}^2} + {{ left( {2 - 1} right)}^2}} = 5 sqrt 3 ]. c) Đúng. Ta có [ overrightarrow {AB} = left( { - 4; - 1; - 3} right) ,; , overrightarrow {AC} = left( {3; - 6; - 2} right) ]. Suy ra [ overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {AC} = 0 ] nên [AB bot AC ]. Vậy tam giác [ABC ] là tam giác vuông tại [A ]. d) Đúng. Ta có [ overrightarrow {BD} = left( {a - 1;b - 2;c - 1} right) ], [ overrightarrow {DC} = left( {8 - a; - 3 - b;2 - c} right) ]. Tam giác [ABC ] có [D ] là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh [A ] [ Rightarrow frac{{BD}}{{DC}} = frac{{AB}}{{AC}} = frac{{ sqrt {26} }}{7} ]. Khi đó [ overrightarrow {BD} = frac{{ sqrt {26} }}{7} overrightarrow {DC} ] [ Leftrightarrow left( {a - 1;b - 2;c - 1} right) = frac{{ sqrt {26} }}{7} left( {8 - a; - 3 - b;2 - c} right) ] [ Leftrightarrow a = frac{{7 + 8 sqrt {26} }}{{7 + sqrt {26} }} ,; ,b = frac{{14 - 3 sqrt {26} }}{{7 + sqrt {26} }} ,; ,c = frac{{ - 3 + 7 sqrt {26} }}{{23}} ]. Vậy [a + 2b + 3c = 8 ].

Question 14

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là 1 m), một flycam bay với vận tốc có độ lớn và hướng không đổi. Tại thời điểm $t = 0$, flycam ở vị trí $A\left( {1;\,2;\,3} \right)$ và sau 10 phút nó ở vị trí $B\left( {21;\,32;\,33} \right)$.

**a)** Flycam không bay qua vị trí $D\left( {5;\,8;\,9} \right)$.

**b)** Vectơ vận tốc của flycam có tọa độ là $\overrightarrow v = \left( {20;\,30;\,30} \right)$.

**c)** Độ lớn của vận tốc flycam là $\sqrt {22} $ (m/phút).

**d)** Sau 15 phút vị trí flycam là $C\left( {31;\,47;\,48} \right)$.

Accepted Answer

a) Sai. Ta có ( overrightarrow {AB} = left( {20; ,30; ,30} right) ), ( overrightarrow {AD} = left( {4; ,6; ,6} right) ). Ta có ( frac{{20}}{4} = frac{{30}}{6} = frac{{30}}{6} ). Suy ra ( overrightarrow {AB} ), ( overrightarrow {AD} ) cùng phương. Vậy 3 điểm (A ), (B ), (D ) thẳng hàng. Do đó flycam bay qua vị trí [D left( {5; ,8; ,9} right) ]. b) Sai. Flycam ở vị trí (A left( {1; ,2; ,3} right) ) và sau 10 phút nó ở vị trí (B left( {21; ,32; ,33} right) ) ( Rightarrow ) ( overrightarrow {AB} = 10 overrightarrow v ) ( Leftrightarrow overrightarrow v = frac{{ overrightarrow {AB} }}{{10}} = left( {2; ,3; ,3} right) ). c) Đúng. Độ lớn của vận tốc flycam là ( left| { overrightarrow v } right| = sqrt {{2^2} + {3^2} + {3^2}} = sqrt {22} ) (m/phút). d) Đúng. Tại thời điểm (t = 0 ), flycam ở vị trí (A ) và sau 15 phút flycam ở vị trí (C ). Suy ra ( overrightarrow {AC} = 15 overrightarrow v ) ( Leftrightarrow left( {{x_C} - 1; ,{y_C} - 2; ,{z_C} - 3} right) = 15 left( {2; ,3; ,3} right) ). ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}{x_C} = 31 {y_C} = 47 {z_C} = 48 end{array} right. ). Vậy (C left( {31; ,47; ,48} right) ).

Question 15

Nhà bác An được mô tả như hình vẽ bên dưới, trong đó phần thân nhà là hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$. Ngôi nhà được lợp ngói hai mái là hai hình chữ nhật $PEHQ$ và $PFGQ$, biết tam giác $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của cạnh $DC$. Các kích thước của nhà lần lượt là $AB = 6\,{\rm{m}}$, $AE = 5\,{\rm{m}}$, $AD = 8\,{\rm{m}}$, $QT = 7\,{\rm{m}}$. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc tọa độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA = 2\,{\rm{m}}$ và các trục tọa độ tương ứng là các trục $Ox,Oy,Oz$.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-102340-1762399295.png)

Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

Accepted Answer

a) Đúng. Theo bài ra, ta có tọa độ điểm (A ) là ( left( {2;0;0} right) ). b) Sai. Ta có [OD = AD - OA = 8 - 2 = 6 ]m. Tọa độ điểm [C left( { - 6; ,6;0} right) ]. Vì vậy [ overrightarrow {AC} = left( { - 8;6;0} right) ]. c) Sai. Gọi [M ] là trung điểm của [HG ] nên [QM = 7 - 5 = 2 ]m, [MG = frac{{HG}}{2} = frac{{AB}}{2} = 3 ]m. Ta có [QG = sqrt {Q{M^2} + M{G^2}} = sqrt {{2^2} + {3^2}} = sqrt {13} ]m. Diện tích cần lợp là [S = 2{S_{PQGF}} = 2 cdot 8 cdot sqrt {13} = 16 sqrt {13} ] (m2). Số tiền cần phải trả là [S cdot 22 cdot 11 ,000 approx 13 ,961 ,000 ] đồng. d) Đúng. Gọi [J ] là trung điểm của [BC ] nên [J left( { - 2;6;0} right) ]. Gọi [I ] là trung điểm của [FG ] nên [I left( { - 2;6;5} right) ]. Ta có [KI = sqrt {{{ left( { - 2} right)}^2} + {6^2} + {0^2}} = 2 sqrt {10} ]m. Vì vậy [{d_{ min }} = OK + KI = 5 + 2 sqrt {10} ].

Question 16

Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt biển (được coi là mặt phẳng) với tia $Ox$ hướng về phía nam, tia $Oy$ hướng về phía đông và tia $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại $O$ có phạm vi theo dõi là 30 km. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí $A$ ở độ sâu 10 km so với mặt nước biển, cách $O\;25\;{\rm{km}}$ về phía nam và 15 km về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí $B\left( { - 20;15;0} \right)$.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-102427-1762399348.png)

**a)** Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.

**b)** Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí $A$.

**c)** Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí $B$.

**d)** Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí cách $O$$\;15\;{\rm{km}}$ về phía nam.

Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách $O$ tối đa $15\sqrt 3 \;{\rm{km}}$.

Accepted Answer

a) Sai. Theo bài ra ta có, tàu thám hiểm ở vị trí (A left( {25; - 15; - 10} right) ). Khoảng cách từ tàu thám hiểm đến radar là (OA = sqrt {{{25}^2} + {{15}^2} + {{10}^2}} = 5 sqrt {38} approx 30,8 ;{ rm{km}} ). b) Đúng. Radar đặt tại (O ) có phạm vi theo dõi là 30 km, mà khoảng cách từ tàu thám hiểm đến radar là 30,8 ( > 30 ) nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí (A ). c) Đúng. Khoảng cách từ tàu đánh cá đến radar là (OB = sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = 25 ;{ rm{km}} < 30 ;{ rm{km}} ). Vậy radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí (B ). d) Đúng. Giả sử chiếc tàu của cảnh sát biển ở vị trí (C left( {15 ,;y ,;0} right) ). Khoảng cách từ tàu của cảnh sát biển đến radar là (OC = sqrt {{{15}^2} + {y^2}} ). Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển thì: (OC le 30 Leftrightarrow {15^2} + {y^2} le {30^2} Leftrightarrow - 15 sqrt 3 le y le 15 sqrt 3 ). Vậy để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách (O ) tối đa một khoảng (15 sqrt 3 ;{ rm{km}} ).

Question 17

Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là $30\,{\rm{N}}$ và được phân bố thành ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} $ lên ba chân của giá đỡ. Ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} $ có độ lớn bằng nhau và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ và mặt đất là $60^\circ $. Hỏi độ lớn của lực $\overrightarrow {{F_1}} $ là bao nhiêu Newton (làm tròn đến hàng phần chục)?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-102520-1762399404.png)

Accepted Answer

Gán các lực [ overrightarrow {{F_1}} = overrightarrow {SA} , , , overrightarrow {{F_2}} = overrightarrow {SB} , , , overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow {SC} . ] Vì ( left| { overrightarrow {{F_1}} } right| = left| { overrightarrow {{F_2}} } right| = left| { overrightarrow {{F_3}} } right| ) và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ với mặt đất bằng (60^ circ ) nên (S.ABC ) là hình chóp đều. Gọi (M ) là trung điểm (BC, , ,G ) là trọng tâm ( Delta ABC Rightarrow SG bot left( {ABC} right). ) Ta có ( widehat {SAG} = 60^ circ Rightarrow SG = SA cdot sin 60^ circ = frac{{SA sqrt 3 }}{2} Rightarrow SA = frac{{2SG}}{{ sqrt 3 }}. ) Đặt ( overrightarrow F = overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} Rightarrow left| { overrightarrow F } right| = 30 left( { rm{N}} right){ rm{.}} ) Vì ( overrightarrow F = overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow {SA} + overrightarrow {SB} + overrightarrow {SC} = 3 overrightarrow {SG} Rightarrow left| { overrightarrow F } right| = 3 left| { overrightarrow {SG} } right| Rightarrow SG = frac{{ left| { overrightarrow F } right|}}{3} = 10. ) Vậy ( left| { overrightarrow {{F_1}} } right| = left| { overrightarrow {SA} } right| = 2 frac{{SG}}{{ sqrt 3 }} = frac{{20}}{{ sqrt 3 }} approx 11,5 left( { rm{N}} right){ rm{.}} ) Đáp án: 11,5.

Question 18

Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm $A\left( {800;500;7} \right)$ đến điểm $B\left( {940;550;9} \right)$ trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $C\left( {x;y;z} \right)$. Tính $x + y + z$.

Accepted Answer

Vì hướng của máy bay không đổi nên ( overrightarrow {AB} ) và ( overrightarrow {BC} ) cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ (A ) đến (B ) gấp đôi thời gian bay từ (B ) đến (C ) nên ta có ( overrightarrow {BC} = frac{1}{2} overrightarrow {AB} ). Mà ( overrightarrow {AB} = left( {140;50;2} right), overrightarrow {BC} = left( {x - 940;y - 550;x - 9} right) ). ( Rightarrow left { { begin{array}{*{20}{c}}{x - 940 = frac{1}{2} cdot 140} {y - 550 = frac{1}{2} cdot 50 , ,} {z - 9 = frac{1}{2} cdot 2 , , , , , , , , , ,} end{array} Rightarrow left { { begin{array}{*{20}{c}}{x = 1010} {y = 575 , ,} {z = 10 , , , , ,} end{array}} right.} right. ). Vậy (x + y + z = 1010 + 575 + 10 = 1595 ). Đáp án: 1595.

Question 19

Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.OMNK$ có chiều dài 1200 cm, chiều rộng 900 cm, chiều cao 450 cm. Phần mái nhà dạng hình chóp *S*.*ABCD* có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc *a** *có $\tan \alpha = \frac{1}{5}$. Chọn hệ trục toạ độ *Oxyz *sao cho *M* thuộc tia *Ox*, *K* thuộc tia *Oy*, *A* thuộc tia *Oz* (như hình vẽ).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-102715-1762399522.png)

Biết $S\left( {a;b;c} \right)$ (đơn vị của *a*, *b*, *c* là centimet). Tính giá trị của biểu thức $P = a + b + c$.

Accepted Answer

Gọi I là tâm của hình chữ nhật [ABCD ]. Ta có (BD = sqrt[{}]{{{{900}^2} + {{1200}^2}}} = 1500 Rightarrow ID = 750 ). Theo giả thiết ta có ( tan widehat {SDI} = frac{1}{5} Rightarrow frac{{SI}}{{ID}} = frac{1}{5} Rightarrow SI = frac{1}{5}ID = frac{1}{5} cdot 750 = 150 ). Gọi H là tâm của hình chữ nhật OKNM. Từ giả thiết ta có (H left( {450;600;0} right) ). Ta có (SH = IH + SI = 450 + 150 = 600 ). Do đó (S left( {450;600;600} right) Rightarrow a + b + c = 450 + 600 + 600 = 1650 ). Đáp án: 1650.

Question 20

Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại một điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc 55 km và về phía Tây 20 km, đồng thời cách mặt đất 1,5 km. Khi đó, khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát bằng bao nhiêu kilômét? (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

Accepted Answer

58,5

Đề ôn luyện Toán Chương 6. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian (đề số 1)

Xem trước câu hỏi