Đề ôn luyện Toán Chương 6. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian (đề số 2)

Question 1

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm *O*. Khi đó, $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC'} $ bằng

Accepted Answer

$4\overrightarrow {AO} $.

Question 2

Cho tứ diện *ABCD*. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD;G$ là trung điểm của *MN*. Chọn khẳng định **sai** trong các khẳng định sau.

Accepted Answer

$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AN} $.

Question 3

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ cạnh bằng $a$. Giá trị của $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {EG} $ bằng

Accepted Answer

$2{a^2}$.

Question 4

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ (tham khảo hình vẽ).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-103657-1762400103.png)

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {CD'} $ bằng

Accepted Answer

$135^\circ $.

Question 5

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + \vec k$. Tọa độ của $\vec a$ là

Accepted Answer

$\left( {2; - 3;1} \right)$.

Question 6

Trong không gian *Oxyz*, cho các vectơ $\vec a = \left( {1; - 1;2} \right),\vec b = \left( {2;1; - 3} \right),\vec c = \left( {0;3; - 2} \right)$. Điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow {OM} + \vec a = 2\vec b - \vec c$, tổng $x + y + z$ bằng

Accepted Answer

−3.

Question 7

Trong không gian *Oxyz*, cho hai vectơ $\vec a = \left( {2;3;3} \right),\vec b = \left( {3;2; - 1} \right)$. Khi đó tích vô hướng $\vec a \cdot \vec b$ bằng:

Accepted Answer

$\vec a \cdot \vec b = 9$.

Question 8

Trong không gian *Oxyz*, cho 2 điểm $A\left( {1; - 2; - 3} \right)$ và $B\left( {7; - 14;11} \right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng *AB* là:

Accepted Answer

$\left( {4; - 8;4} \right)$.

Question 9

Trong không gian tọa độ *Oxyz*, cho điểm $M\left( {1; - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)$. Tìm điểm $M' \in Ox$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MM'$ ngắn nhất.

Accepted Answer

$M'\left( {1;0;0} \right)$.

Question 10

Trong không gian *Oxyz*, cho hai điểm $A\left( {0;2;1} \right)$ và $B\left( {3; - 2;1} \right)$. Độ dài đoạn thẳng *AB* bằng

Accepted Answer

5.

Question 11

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1; - 2;3} \right);B\left( {2; - 3;4} \right)$.Tìm điểm $M \in \left( {Oxy} \right)$ sao cho ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng.

Accepted Answer

$M\left( { - 2;1;0} \right)$.

Question 12

Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {2\,;\, - 2\,;\,1} \right)$ trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có tọa độ là

Accepted Answer

$\left( {2\,;\, - 2\,;\,0} \right)$.

Question 13

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; -2), B(-2; 3; 4), C(4; -6; 1). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai. Ta có ( overrightarrow {AB} = left( { - 3;3;6} right) ). b) Sai. Hình chiếu vuông góc của (B ) lên trục (Ox ) là (B' left( { - 2;0;0} right) ). c) Sai. Vì (M ) thuộc trục hoành nên (M left( {m;0;0} right) ). Khi đó ( overrightarrow {MB} = left( { - 2 - m;3;4} right), overrightarrow {MC} = left( {4 - m; - 6;1} right) ). Suy ra ( overrightarrow {MB} cdot overrightarrow {MC} = left( {m + 2} right) left( {m - 4} right) - 18 + 4 ). Vì tam giác (MBC ) vuông tại (M ) nên ( overrightarrow {MB} cdot overrightarrow {MC} = 0 ) ( Rightarrow left( {m + 2} right) left( {m - 4} right) - 18 + 4 = 0 Leftrightarrow m = 1 pm sqrt {23} ). Như vậy tồn tại 2 điểm (M ) thỏa mãn yêu cầu. d) Đúng. Gọi (D left( {a;b;c} right) ). Vì (ABDC ) là hình bình hành nên ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {CD} Rightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{a - 4 = - 3} {b + 6 = 3} {c - 1 = 6} end{array} Rightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{a = 1} {b = - 3} {c = 7} end{array}} right.} right. ). Vậy (D left( {1; - 3;7} right) ).

Question 14

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB = 6{\rm{\;m}}$; $AD = 7{\rm{\;m}}$; $AA' = 3,5{\rm{\;m}}$. Một bóng đèn được treo ở vị trí chính giữa trần nhà của phòng học và cách trần nhà $0,5{\rm{\;m}}$. Chọn hệ trục tọa độ *Oxyz* sao cho gốc $O$ trùng với điểm $A$, các điểm $B,D,A'$ lần lượt nằm trên các tia $Ox,Oy,Oz$.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-104942-1762400903.png)

**a)** Điểm $D$ có toạ độ là $\left( {0;7;0} \right)$.

**b)** Các điểm $C,D$ có tung độ bằng nhau.

**c)** Vectơ $\overrightarrow {C'D'} $ có tọa độ $\left( {6;0;0} \right)$.

**d)** Bóng đèn nằm tại vị trí có tọa độ $\left( {3;3,5;3,5} \right)$.

Accepted Answer

a) Đúng. Có điểm A trùng với gốc tọa độ (O,D in Oy Rightarrow D left( {0;{y_D};0} right) ). Mà (AD = 7 ), suy ra ({y_D} = 7 ) hay (D left( {0;7;0} right) ). b) Đúng. Các điểm (C,D ) có tung độ bằng nhau và bằng 7. c) Sai. Ta có tọa độ điểm (D' left( {0;7;3,5} right) ) và điểm (C' left( {6;7;3,5} right) ). Suy ra vectơ ( overline {C'D'} left( { - 6;0;0} right) ). d) Sai. Ta có điểm (A' left( {0;0;3,5} right) ) và điểm (C' left( {6;7;3,5} right) ). Tọa độ trung điểm của (A'{ rm{C'}} ) là ( left( { frac{{6 + 0}}{2}; frac{{7 + 0}}{2}; frac{{3,5 + 3,5}}{2}} right) = left( {3;3,5;3,5} right) ). Mà bóng đèn được treo cách trần nhà (0,5{ rm{ ;m}} ). Vậy bóng đèn nằm tại vị trí có toạ độ ( left( {3;3,5;3} right) ).

Question 15

Một chiếc đĩa kim loại khối lượng 4,6 kg được treo bởi ba sợi dây $SA,\,\,SB,\,\,SC$ sao cho $S.ABC$ là hình chóp đều có $\widehat {ASB} = 60^\circ $ (tham khảo hình vẽ). Khối lượng dây không đáng kể, lực căng của mỗi sợi dây $SA,\,\,SB,\,\,SC$ đặt tại điểm $S$ tương ứng là $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} $ có độ lớn bằng nhau. Lấy độ lớn của gia tốc trọng trường $\left| {\vec g} \right| = 9,8\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-105142-1762400985.png)

**a)** $\overrightarrow {SA} ,\,\,\overrightarrow {SB} ,\,\,\overrightarrow {SC} $ là ba vectơ đồng phẳng.

**b)** $\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {{{\vec F}_2}} \right| \cdot {\rm{cos}}\left( {{{\vec F}_1},\overrightarrow {{F_2}} } \right)$.

**c)** Trọng lực $\vec P$ của hệ vật có độ lớn bằng $41,08\,{\rm{N}}$.

**d)** Độ lớn của các lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} $ bằng $19,04\,{\rm{N}}$.

Accepted Answer

a) Sai. Ba vectơ ( overrightarrow {SA} , overrightarrow {SB} , overrightarrow {SC} ) không đồng phẳng. b) Đúng. Ta có ( overrightarrow {{F_1}} cdot overrightarrow {{F_2}} = left| { overrightarrow {{F_1}} } right| cdot left| {{{ vec F}_2}} right| cdot { rm{cos}} left( {{{ vec F}_1}, overrightarrow {{F_2}} } right) ). c) Sai. Trọng lực (P = 4,6 cdot 9,8 = 45,08 , left( { rm{N}} right) ). d) Sai. Gọi (O ) là tâm của đáy. Khi đó ( overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} = vec 0 ). Ta có ( overrightarrow {SA} + overrightarrow {SB} + overrightarrow {SC} = overrightarrow {SO} + overrightarrow {OA} + overrightarrow {SO} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {SO} + overrightarrow {OC} = 3 overrightarrow {SO} ). ( Rightarrow left| { overrightarrow {SA} + overrightarrow {SB} + overrightarrow {SC} left| = right|3 overrightarrow {SO} } right| = 3SO ). Mặt khác (3SO = left| { vec P} right| = 45,08 Rightarrow SO = frac{{1127}}{{75}} ). Gọi (H ) là trung điểm của AB. Đặt (AB = x , , left( {x > 0} right) ). Khi đó (SH = frac{{AB sqrt 3 }}{2} = frac{{x sqrt 3 }}{2} ). Ta có (CH = frac{{AB sqrt 3 }}{2} = frac{{x sqrt 3 }}{2} Rightarrow OH = frac{{x sqrt 3 }}{6} ). Tam giác SOH vuông tại (O ) nên (S{H^2} = S{O^2} + O{H^2} Rightarrow frac{{3{x^2}}}{4} = { left( { frac{{1127}}{{75}}} right)^2} + frac{{{x^2}}}{{12}} Rightarrow x = frac{{1127 sqrt 6 }}{{150}} ). Do đó (SA = frac{{1127 sqrt 6 }}{{150}} approx 18,4 ). Suy ra ( left| { overrightarrow {{F_1}} } right| approx 18,4 ,{ rm{(N)}} ). Vậy độ lớn của các lực ( overrightarrow {{F_1}} , , , overrightarrow {{F_2}} , , , overrightarrow {{F_3}} ) bằng (18,4 ,{ rm{N}} ).

Question 16

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao $100$m sử dụng radar có phạm vi theo dõi $600$km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-105934-1762401491.png)

Một máy bay tại vị trí $F$ cách mặt đất $12$ km, cách $400$ km về phía tây và $300$ km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Từ vị trí $F$, máy bay bay với tốc độ $900\,{\rm{km/h}}$, theo hướng của vectơ $\overrightarrow a = \left( {3;4;0} \right)$ sau một giờ đến vị trí $A$.

**a)** Tọa độ của radar đặt trên tháp là $\left( {0;0;0,1} \right)$.

**b) **Vị trí $F$ nằm trong phạm vi kiểm soát của radar.

**c)** Vị trí $A$ có tọa độ $A\left( {940;420;0} \right)$.

**d) **Trong khoảng thời gian một giờ máy bay bay từ vị trí $F$ đến vị trí $A$, máy bay có không quá $21$ phút bay trong phạm vi theo dõi của của radar.

Accepted Answer

a) Đúng. Radar đặt trên đỉnh tháp, trục (Oz ) hướng thẳng đứng lên phía trên, suy ra tọa độ của đỉnh tháp (E left( {0 ,;0 ,; ,0,1} right) ). b) Đúng. Tọa độ điểm (F left( {400; - 300;12} right) ). [ overrightarrow {EF} = left( {400; - 300;11,9} right) Rightarrow EF approx 500,14 < 600 , , left( {{ rm{km}}} right) ]. Vậy (F ) nằm trong phạm vi điều khiển của radar. c) Sai. Từ (F ), máy bay bay 1 giờ đến (A ) với vận tốc (900 ,{ rm{km/h}} ) theo phương ( overrightarrow a = left( {3;4;0} right) ). Suy ra [ left { begin{array}{l} overrightarrow {FA} = k overrightarrow a left| { overrightarrow {FA} } right| = 900 end{array} right. Rightarrow k left| { overrightarrow a } right| = 900 Rightarrow k = frac{{900}}{{ sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 180. ] Suy ra ( overrightarrow {FA} = left( {540;720;0} right) Rightarrow A left( {940;420;12} right). ) d) Sai. Gọi (K left( {x;y;z} right) ) là điểm máy bay đạt đến phạm vi quan sát của radar, suy ra (EK = 600 ). Khi đó ( overrightarrow {FK} = k overrightarrow a left( {k > 0} right) Leftrightarrow left { begin{array}{l}x - 400 = 3k y + 300 = 4k z - 12 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}x = 400 + 3k y = - 300 + 4k z = 12 end{array} right. Rightarrow K left( {400 + 3k; - 300 + 4k;12} right) ). Suy ra ( overrightarrow {EK} = left( {400 + 3k; - 300 + 4k;11,9} right) ), mà (EK = 600. ) Nên ({ left( {400 + 3k} right)^2} + { left( { - 300 + 4k} right)^2} + 11,{9^2} = {600^2} Leftrightarrow 25{k^2} = 109858,39 Leftrightarrow k approx 66. ) Khi đó (K left( {598; - 36;12} right) Rightarrow overrightarrow {FK} = left( {198;264;0} right) Rightarrow FK = 330 ). Thời gian máy bay trong phạm vi theo dõi của radar là (t = frac{{330 cdot 60}}{{900}} = 22 ) phút.

Question 17

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị lấy theo km), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm $A\left( {800;\,500;\,7} \right)$ đến điểm $B\left( {940;\,550;\,8} \right)$ trong $10$ phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau $10$ phút tiếp theo là $D\left( {x;\,y;\,z} \right)$. Khi đó, $x - y + z$ bằng bao nhiêu?

![Hình ảnh minh họa](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-110115-1762401559.png)

Accepted Answer

489

Question 18

Cơn bão Yagi gây thiệt hại nghiêm trọng về người và tài sản cho nước ta, trong đó nặng nề nhất là tại thôn Làng Nủ, xã Phúc Khánh, huyện Bảo Yên, tỉnh Lào Cai, lũ quét và sạt lở đất đã vùi lấp 40 ngôi nhà. Cả nước đã chung tay ủng hộ và xây dựng lại nhà sàn cho người dân Làng Nủ theo thiết kế như hình vẽ dưới đây.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-110202-1762401605.png)

Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm một hình chữ nhật *CDFE *và một hình thang cân *ADFG* với các điểm $G\left( {6; - 6;6} \right)$, $C\left( {3;4;8} \right),F\left( {4; - 4;7} \right)$ và điểm $I$ là trung điểm *CE*. Biết góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {DC} $ và $\overrightarrow {AB} $ bằng $a^\circ $. Tìm *a*.

Accepted Answer

Ta có CDFE là hình chữ nhật và I là trung điểm của CE, nên F và D đối xứng nhau qua mặt phẳng ( left( {Oxz} right) ). Có (F left( {4; - 4;7} right) ), suy ra (D left( {4;4;7} right) ). Xét hình thang cân ADFG, có A đối xứng với G qua mặt phẳng ( left( {Oxz} right) ). Có (G left( {6; - 6;6} right) ), suy ra (A left( {6;6;6} right) ). Ta có điểm B nằm trên mặt phẳng ( left( {Oyz} right) ), tọa độ điểm (B left( {0;6;6} right) ). Suy ra ( overrightarrow {AB} = left( { - 6;0;0} right) ) và ( overrightarrow {DC} = left( { - 1;0;1} right) ). Ta có ({ rm{cos}} left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {DC} } right) = frac{{ overrightarrow {AB} cdot overrightarrow {DC} }}{{ left| { overrightarrow {AB} } right| cdot left| { overrightarrow {DC} } right|}} = frac{6}{{ sqrt {{6^2}} cdot sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = frac{1}{{ sqrt 2 }} ) Vậy góc giữa hai vectơ ( overrightarrow {DC} ) và ( overrightarrow {AB} ) bằng (45^ circ ). Đáp án: 45.

Question 19

Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một giờ bay, chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát về phía bắc 23 km và về phía tây 18 km, đồng thời cách mặt đất 2 km. Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát về phía nam 22 km và về phía đông 27 km, đồng thời cách mặt đất 3 km. Chọn hệ trục tọa độ *Oxyz *với gốc *O* đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất sao cho trục *Ox *hướng về phía bắc, trục *Oy* hướng về phía tây và trục *Oz *hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét. Sau đúng một giờ bay, hai máy bay đó cùng bắn một mục tiêu di động trên mặt đất. Biết tổng khoảng cách từ mỗi máy bay đến mục tiêu là nhỏ nhất, lúc đó mục tiêu cách điểm xuất phát của hai máy bay bao nhiêu kilômét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Accepted Answer

Với hệ trục tọa độ được chọn, máy bay thứ nhất có tọa độ (A left( {23;18;2} right) ) và máy bay thứ hai có tọa độ (B left( { - 22; - 27;3} right) ). Gọi (M ) là vị trí mục tiêu. Vì mục tiêu di động trên mặt đất, nghĩa là (M in left( {Oxy} right) ) nên tọa độ của (M ) có dạng (M left( {a;b;0} right) ). Ta cần tìm tọa độ của (M ) để (MA + MB ) nhỏ nhất. Ta thấy (A,B ) nằm cùng phía đối với mặt phẳng ( left( {Oxy} right) ). Gọi (B' left( { - 22; - 27; - 3} right) ) là điểm đối xứng của (B ) qua mặt phẳng ( left( {Oxy} right) Rightarrow MB = MB' ). Có (MA + MB = MA + MB' ge AB' ). Khi đó (MA + MB ) nhỏ nhất bằng (AB' ) khi (M ) là giao điểm của (AB' ) với mặt phẳng ( left( {Oxy} right) ) nghĩa là lúc này ba điểm (A,M,B' ) thẳng hàng. Có ( overrightarrow {AM} = left( {a - 23;b - 18; - 2} right), overrightarrow {AB'} = left( { - 45; - 45; - 5} right) ) mà ba điểm (A,M,B' ) thẳng hàng. Suy ra ( frac{{a - 23}}{{ - 45}} = frac{{b - 18}}{{ - 45}} = frac{{ - 2}}{{ - 5}} = frac{2}{5} Rightarrow a = 5;b = 0 Rightarrow M left( {5;0;0} right) ). Lúc đó độ dài đoạn OM là khoảng cách từ mục tiêu đến điểm xuất phát của hai máy bay và (OM = 5 left( {{ rm{km}}} right) ). Đáp án: 5.

Question 20

Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương cạnh $5\,\,{\rm{m}}$ có 3 chú nhện sinh sống. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2 bức tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí của 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Chúng quy định không có bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn) là $\frac{m}{p}\sqrt n $ với $m,\,n,\,p \in {\mathbb{N}^*};\,\,\frac{m}{p}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức ${m^2} + {n^2} + {p^2}$

Accepted Answer

Bài toán này ta sẽ giải quyết bằng cách ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, và dựa vào yêu cầu về vị trí 3 con nhện ta xác định là các điểm (M,N,P ) nằm trên các cạnh [A'B',CC',AD ] như hình vẽ. Yêu cầu bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm (M,N,P ) để chu vi tam giác (MNP ) nhỏ nhất. Đặt [M left( {x;5;0} right),P left( {0;0;z} right),N left( {5;y;5} right) ]. Chu vi tam giác [MNP ] là: [ begin{array}{l}MN + NP + PM = sqrt {{{ left( {x - 5} right)}^2} + {{ left( {y - 5} right)}^2} + {5^2}} + sqrt {{5^2} + {y^2} + {{ left( {z - 5} right)}^2}} + sqrt {{x^2} + {5^2} + {z^2}} = sqrt {{{ left( {5 - x} right)}^2} + {{ left( {y - 5} right)}^2} + {5^2}} + sqrt {{y^2} + {{ left( {z - 5} right)}^2} + {5^2}} + sqrt {{z^2} + {{ left( { - x} right)}^2} + {5^2}} . end{array} ] Áp dụng bất đẳng thức vectơ: [ begin{array}{l} Rightarrow MN + NP + PM ge sqrt {{{ left( {5 - x + y} right)}^2} + {{ left( {y + z - 10} right)}^2} + {{10}^2}} + sqrt {{z^2} + {{ left( { - x} right)}^2} + {5^2}} ge sqrt {{{ left( {5 - x + y + z} right)}^2} + {{ left( {y - 5 + z - 5 - x} right)}^2} + {{ left( {5 + 5 + 5} right)}^2}} = sqrt {2{{ left( {y + z - x - frac{5}{2}} right)}^2} + frac{{225}}{2} + {{ left( {5 + 5 + 5} right)}^2}} ge 15 sqrt { frac{3}{2}} = 15 frac{{ sqrt 6 }}{2}. end{array} ] Dấu bằng xảy ra khi [ left { begin{array}{l}y + z - x = frac{5}{2} frac{{5 - x}}{y} = frac{{y - 5}}{{z - 5}} = frac{5}{5} frac{{5 - x + y}}{z} = frac{{y + z - 10}}{{ - x}} = frac{{10}}{5} end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}y = z 2y - x = frac{5}{2} x + y = 5 end{array} right. Leftrightarrow x = y = z = frac{5}{2} ]. Vậy giá trị cần tìm là [ frac{{15}}{2} sqrt 6 ] ( Rightarrow {m^2} + {n^2} + {p^2} = 265. ) Đáp án: 265.

Đề ôn luyện Toán Chương 6. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian (đề số 2)

Xem trước câu hỏi