Đề ôn luyện Toán Chương 7. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian (đề số 1)

Question 1

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 3z - 4 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ có tọa độ là

Accepted Answer

$\left( {2; - 1;3} \right)$.

Question 2

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{2 - y}}{3} = \frac{z}{2}$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$?

Accepted Answer

$\vec{u}_1 = (-2; -3; 2)$

Question 3

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}$. Phương trình mặt phẳng đi qua $A\left( {1;2;3} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ là

Accepted Answer

$4x + 3y - 7z + 11 = 0$.

Question 4

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;3; - 2} \right),B\left( {2; - 2; - 1} \right)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là

Accepted Answer

$\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{1}$.

Question 5

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {0\,;\,4\,;\, - 1} \right)$ là

Accepted Answer

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9$.

Question 6

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1;1;1} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có phương trình tham số là:

Accepted Answer

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1\y = 1\z = 1 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Question 7

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 2z - 10 = 0$ và $\left( Q \right):x + 2y + 2z - 3 = 0$ bằng

Accepted Answer

$\frac{7}{3}$.

Question 8

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}$ đi qua điểm nào dưới đây?

Accepted Answer

$P\left( {1; - 2;3} \right)$.

Question 9

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4$ có bán kính bằng

Accepted Answer

2.

Question 10

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + y + 4z - 1 = 0$ và $\left( Q \right):x - z = 0$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng

Accepted Answer

$60^\circ $.

Question 11

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình $x + y + 2z + 2 = 0$. Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$?

Accepted Answer

$\left( S \right):x + y + 2z - 1 = 0$

Question 12

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A\left( {1;3; - 2} \right)$ đến mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ bằng

Accepted Answer

2

Question 13

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + z = 0$, đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\y = - 3t\z = 1 + t\end{array} \right.$và hai điểm $A\left( {2;1;0} \right),B\left( {2; - 3;4} \right)$.

**a) **Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.

**b) **Hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $\frac{{ - 3}}{8}$.

**c) **Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó $a + b + c = 3$.

**d) **Gọi $\Delta $ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\Delta $ bằng $\sqrt 2 $. Khi khoảng cách từ $B$ đến $\Delta $ đạt giá trị lớn nhất thì $\Delta $ đi qua điểm $M\left( {3;1; - 1} \right)$.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có (2 - 2 cdot 1 + 0 = 0 Rightarrow A in left( P right) ). b) Sai. Gọi (I = d cap left( P right) ). Ta có (I in d Rightarrow I left( {2 + t; - 3t;1 + t} right) ). Lại có [I in left( P right) Rightarrow 2 + t - 2 cdot left( { - 3t} right) + 1 + t = 0 Rightarrow t = frac{{ - 3}}{8} Rightarrow I left( { frac{{13}}{8}; frac{9}{8}; frac{5}{8}} right) ]. c) Đúng. Gọi (d' bot left( P right) Rightarrow overrightarrow {{u_{d'}}} = overrightarrow {{n_P}} = left( {1; - 2;1} right) ). Khi đó, phương trình đường thẳng (d' ) đi qua điểm (B left( {2; - 3;4} right) ) và vuông góc mặt phẳng ( left( P right) ) là ( left { begin{array}{l}x = 2 + t' y = - 3 - 2t' z = 4 + t' end{array} right. ). Gọi (H ) là hình chiếu của (B ) lên mặt phẳng ( left( P right) Rightarrow H = d' cap left( P right) ). Ta có (H in d' Rightarrow H left( {2 + t'; - 3 - 2t';4 + t'} right) ). Lại có (H in left( P right) Rightarrow 2 + t' - 2 cdot left( { - 3 - 2t'} right) + 4 + t' = 0 Rightarrow t' = - 2 Rightarrow H left( {0;1;2} right) ). d) Đúng. Gọi (A' = Delta cap left( P right) ). Giả sử (A' left( {x;y;z} right) ). Ta có ( overrightarrow {AA'} = left( {x - 2;y - 1;z} right) ). Vì (A in left( P right) ) mà [ Delta bot left( P right) Rightarrow Delta bot AA' Rightarrow AA' = d left( {A, Delta } right) = sqrt 2 ] ( Rightarrow sqrt {{{ left( {x - 2} right)}^2} + {{ left( {y - 1} right)}^2} + {z^2}} = sqrt 2 Rightarrow { left( {x - 2} right)^2} + { left( {y - 1} right)^2} + {z^2} = 2 , , , left( 1 right) ). Lại có (A' in left( P right) Rightarrow x - 2y + z = 0 , , , left( 2 right) ). Do ( left { begin{array}{l} Delta bot left( P right) BH bot left( P right) end{array} right. )nên (BH )song song hoặc trùng ( Delta ) ( Rightarrow d left( {B, Delta } right) = d left( {H, Delta } right) = HA' ). Khoảng cách từ (B ) đến ( Delta ) lớn nhất ( Leftrightarrow HA' ) lớn nhất ( Leftrightarrow H,A,A' ) thẳng hàng và (A ) nằm giữa (H,A' ). Ta có ( overrightarrow {AH} = left( { - 2;0;2} right), , , overrightarrow {AA'} = left( {x - 2;y - 1;z} right) ) Khi đó (H,A,A' ) thẳng hàng và (A ) nằm giữa (H,A' ) [ Leftrightarrow left { begin{array}{l}x - 2 = - 2k y - 1 = 0k z = 2k end{array} right. left( {k < 0} right) Rightarrow left { begin{array}{l}y = 1 x - 2 = - z z = 2k end{array} right. , , left( {k < 0} right) Rightarrow left { begin{array}{l}y = 1 z = 2 - x z < 0 end{array} right. , , left( 3 right) ]. Thế ( left { begin{array}{l}y = 1 z = 2 - x end{array} right. ) vào phương trình ( left( 1 right) & left( 2 right) )ta suy ra ( left { begin{array}{l}y = 1 z = 2 - x { left( {x - 2} right)^2} = 1 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} left { begin{array}{l}x = 3 y = 1 z = - 1 end{array} right.(TM) left { begin{array}{l}x = 1 y = 1 z = 1 end{array} right.(KTM) end{array} right. ). Vậy đường thẳng ( Delta ) đi qua điểm có tọa độ ( left( {3;1; - 1} right) ).

Question 14

Trong không gian $Oxyz$, một viên đạn được bắn ra từ vị trí $A\left( {1;2;3} \right)$ hướng đến vị trí $B\left( {0;1; - 6} \right)$, bia chắn là mặt phẳng $\left( P \right):4x - y + 2z + 13 = 0$, đơn vị là kilomet.

**a)** Hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\left( {Oxy} \right)$ là $H\left( {0;2;3} \right)$.

**b)** Điểm $B$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.

**c)** Giả sử viên đạn chuyển động thẳng đều theo hướng vectơ $\vec v = \left( { - 2; - 2; - 18} \right)$ với vận tốc 800 m/s (bỏ qua mọi lực cản và chướng ngại vật), sau một phút viên đạn bắn ra đi qua điểm $B$.

**d)** Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị) là $60^\circ $.

Accepted Answer

a) Sai. Hình chiếu vuông góc của (A ) trên ( left( {Oxy} right) ) là (H left( {1;2;0} right) ). b) Đúng. Ta có (4 cdot 0 - 1 + 2 cdot left( { - 6} right) + 13 = 0 ) ( Rightarrow B in left( P right) ). c) Đúng. Ta có ( overrightarrow {AB} = left( { - 1; - 1; - 9} right) ). Thấy ( overrightarrow v = 2 overrightarrow {AB} ) nên hướng chuyển động theo vectơ ( overrightarrow v ) chính là hướng chuyển động từ (A ) đến (B ). Ta có (AB = sqrt {{1^2} + {1^2} + {9^2}} = sqrt {83} left( {{ rm{km}}} right) = 1000 sqrt {83} left( { rm{m}} right) ). Suy ra thời gian viên đạn bay từ (A ) đến (B ) là: ( frac{{AB}}{{800}} = frac{{5 sqrt {83} }}{4} approx 11,39 ) giây. Do đó sau 1 phút viên đạn đã đi qua điểm (B ). d) Sai. ( overrightarrow {BA} = left( {1;1;9} right) ), ( overrightarrow {{n_{ left( P right)}}} = left( {4; - 1;2} right) ). Ta có [ sin left( {AB, left( P right)} right) = left| { cos left( { overrightarrow {BA} , overrightarrow {{n_{ left( P right)}}} } right)} right| = frac{{ left| {4 - 1 + 18} right|}}{{ sqrt {83} cdot sqrt {21} }} = frac{{ sqrt {1743} }}{{83}} ] ( Rightarrow left( {AB, left( P right)} right) approx 30^ circ ).

Question 15

Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính $70\,{\rm{km}}$. Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc toạ độ $O$ trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục $Ox$ hướng về phía Tây, trục $Oy$ hướng về phía Nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1\,{\rm{km}}$. Một máy bay trực thăng đang ở vị trí $A\left( { - 65; - 25;30} \right)$ bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi $200\,{\rm{km/h}}$, quỹ đạo bay theo đường thẳng.

**a) **Khi máy bay ở vị trí $A$ thì đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được máy bay.

**b) **Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng $d$ có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 65 + t\y = - 25 + t\z = 30\end{array} \right.$.

**c) **Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 4900$.

**d) **Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là $35$ phút.

Accepted Answer

a) Sai. Ta có (OA = sqrt {{{ left( { - 65} right)}^2} + {{ left( { - 25} right)}^2} + {{30}^2}} approx 75,8 , ,{ rm{(km)}} ). Khi máy bay ở vị trí (A left( { - 65; - 25;30} right) ) thì cách đài kiểm soát không lưu của sân bay một khoảng (d approx 75,8 ,{ rm{km}} > 70 ,{ rm{km}} ). Vậy đài kiểm soát không lưu của sân bay không theo dõi được máy bay. b) Đúng. Từ thông tin của hệ trục và máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, quỹ đạo bay theo đường thẳng. Nên đường thẳng (d ) có một vectơ chỉ phương [ overrightarrow u = left( {1; ,1; ,0} right) ]. Đường thẳng (d ) đi qua điểm (A left( { - 65; - 25;30} right) ) nên có phương trình tham số: ( left { begin{array}{l}x = - 65 + t y = - 25 + t z = 30 end{array} right. ). c) Đúng. Vùng kiểm không lưu của của đài kiểm soát trên là tập hợp những điểm cách tâm (O left( {0; , ,0; , ,0} right) ) không quá (70 ,{ rm{km}} ). Hay tập hợp các điểm ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu ( left( S right) ) có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} = {70^2} Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 4900 ). d) Sai. Thay (x, ,y, ,z ) theo (t ) vào phương trình mặt cầu ( left( S right) ) ta được phương trình: ({ left( { - 65 + t} right)^2} + { left( { - 25 + t} right)^2} + {30^2} = 4900 Leftrightarrow 2{t^2} - 180t + 850 = 0 Leftrightarrow t = 5 ) hoặc (t = 85 ). Thay (t = 5 ) vào phương trình của đường thẳng (d ) ta được (M left( { - 60; - 20;30} right) ). Thay (t = 85 ) vào phương trình của đường thẳng (d ) ta được (N left( {20;60;30} right) ). Suy ra đường thẳng (d ) cắt mặt cầu ( left( S right) ) tại hai điểm (M left( { - 60; - 20;30} right) ) và (N left( {20;60;30} right) ). Hay độ dài đoạn (MN ) là khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay di chuyển trong phạm vi theo dõi của đài kiểm soát không lưu. Ta có (MN = sqrt {{{ left( {60 + 20} right)}^2} + {{ left( {20 + 60} right)}^2}} = 80 sqrt 2 ,{ rm{km}} ). Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là thời gian máy bay di chuyển được quãng đường (80 sqrt 2 ,{ rm{km}} ). Thời gian đó bằng ( frac{{80 sqrt 2 }}{{200}} cdot 60 approx 33,94 ) phút.

Question 16

Một đơn vị thiết kế theo đơn đặt hàng làm một nhà vườn ngoài trời để trồng rau. Người thiết kế đã vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục tọa độ $Dxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng $AE,\,BF,\,CG$ và $DH$; phần mái là tứ giác $EFGH$ và hình vuông $ABCD$ nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng $AB = 20\,{\rm{m}}$, $DH = 4\,{\rm{m}}$, $AE = BF = 3\,{\rm{m}}$.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-131927-1762409854.png)

**a)** Tọa độ điểm $B\left( {20;20;0} \right)$ và $H\left( {0\,;0\,;4} \right)$.

**b)** Đường thẳng $EH$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 20t\y = 0\z = 4 + t\end{array} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

**c)** Mái nhà hợp với mặt đất một góc khoảng $2,86^\circ $.

**d)** Khách hàng đặt một camera ở vị trí $L$ trên cột $DH$ và cách mặt đất $8\,{\rm{m}}$. Một vật ở vị trí $M\left( {a\,;b\,;c} \right)$ thỏa mãn $MA = MB = MC = MD = 2\sqrt {66} \,{\rm{m}}$ thì cách camera $10\sqrt 2 \,{\rm{m}}$.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có [ABCD ] là hình vuông nên [BC = AB = 20 ,{ rm{m}} ], do đó (B left( {20;20;0} right) ). Vì [DH = 4 ,{ rm{m}} ] nên (H left( {0 ,;0 ,;4} right) ). b) Sai. Vì [AD = AB = 20 ,{ rm{m}} ] và [AE = 3 ,{ rm{m}} ] nên (E left( {20 ,;0 ,;3} right) ), suy ra ( overrightarrow {HE} = left( {20 ,;0 ,; - 1} right) ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng (EH ). Khi đó, đường thẳng (EH ) có phương trình tham số là ( left { begin{array}{l}x = 20t y = 0 z = 4 - t end{array} right., , left( {t in mathbb{R}} right) ). c) Đúng. Ta có (F left( {20 ,;20 ,;3} right) ) và ( overrightarrow {EF} = left( {0 ,;20 ,;0} right) ). ( left[ { overrightarrow {EF} ; overrightarrow {HE} } right] = left( { - 20;0; - 400} right) ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [ left( {EFGH} right) ]. Mặt phẳng [ left( {ABCD} right) ] có vectơ pháp tuyến là [ overrightarrow k = left( {0 ,;0 ,;1} right) ]. Khi đó: [ cos left( { left( {ABCD} right), left( {EFGH} right)} right) = frac{{ left| {400} right|}}{{ sqrt {{{20}^2} + {{400}^2}} }} = frac{{400}}{{20 sqrt {401} }} = frac{{20}}{{ sqrt {401} }} Rightarrow left( { left( {ABCD} right), left( {EFGH} right)} right) approx 2,86^ circ ]. Vậy mái nhà hợp với mặt đất một góc khoảng (2,86^ circ ). d) Đúng. Gọi (I ) là tâm hình vuông [ABCD ] và (MA = MB = MC = MD = 2 sqrt {66} ,{ rm{m}} ). Suy ra [M.ABCD ] là hình chóp đều nên [MI bot left( {ABCD} right) ]. Ta có [DB = 20 sqrt 2 left( { rm{m}} right) Rightarrow ID = 10 sqrt 2 left( { rm{m}} right) ]. Xét tam giác [MID ]vuông tại (I ): (MI = sqrt {M{D^2} - I{D^2}} = sqrt {{{ left( {2 sqrt {66} } right)}^2} - {{ left( {10 sqrt 2 } right)}^2}} = 8 , left( { rm{m}} right) ). Vì [MI{ rm{//}}DL, ,MI = DL = 8 ,{ rm{m}} ]. Do đó [DIML ] là hình bình hành nên [ML = ID = 10 sqrt 2 ,{ rm{m}} ].

Question 17

Xét Trái Đất trong không gian *Oxyz*, với *O* là tâm Trái Đất, tia *Ox* chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia *Oz* chứa điểm cực Bắc (*N*), tia *Oy* giao với xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, đơn vị trên mỗi trục tương ứng với bán kính Trái Đất là 6371 km. Ta nói một điểm *P* thuộc bán cầu Bắc có vĩ độ là $\alpha ^\circ $ Bắc (ghi là $\alpha ^\circ N$) khi góc giữa đường thẳng *OP *và mặt phẳng chứa xích đạo bằng $\alpha ^\circ $ (hình vẽ minh họa).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-132047-1762409923.png)

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) cho phép xác định tọa độ một điểm bất kỳ trên mặt đất. GPS hoạt động bằng cách truyền tín hiệu từ mạng lưới vệ tinh quay quanh Trái Đất đến thiết bị thu GPS trên mặt đất. Trong cùng một thời điểm, thiết bị thu GPS cần xác định khoảng cách từ nó đến ít nhất ba vệ tinh để tính được tọa độ của nó.
Giả sử tại một thời điểm, một thiết bị thu GPS đặt tại M thuộc bán cầu Bắc trên mặt đất, thiết bị thu GPS này đo được khoảng cách đến các vệ tinh đang ở vị trí $A\left( {3;1;2} \right),{\rm{ }}B\left( {3;2;1} \right),{\rm{ }}C\left( {3;6;4} \right)$ lần lượt là $MA = \frac{{\sqrt {265} }}{5},MB = \sqrt {11} ,MC = \frac{{11\sqrt {10} }}{5}.$ Em hãy cho biết vĩ độ tại *M* là bao nhiêu độ Bắc (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Accepted Answer

Gọi tọa độ của điểm M là ( left( {x;y;z} right) ). Ta có ( left { begin{array}{l}MA = frac{{ sqrt {265} }}{5} MB = sqrt {11} MC = frac{{11 sqrt {10} }}{5} end{array} right. Leftrightarrow left { begin{array}{l}{ left( {x - 3} right)^2} + { left( {y - 1} right)^2} + { left( {z - 2} right)^2} = frac{{53}}{5} { left( {x - 3} right)^2} + { left( {y - 2} right)^2} + { left( {z - 1} right)^2} = 11 { left( {x - 3} right)^2} + { left( {y - 6} right)^2} + { left( {z - 4} right)^2} = frac{{242}}{5} end{array} right. ). ( Leftrightarrow left { begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z + frac{{17}}{5} = 0 {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - 2z + 3 = 0 {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 12y - 8z + frac{{63}}{5} = 0 end{array} right. Rightarrow left { begin{array}{l}x = 6 y = frac{3}{5} z = frac{4}{5} end{array} right. Rightarrow M left( {6; frac{3}{5}; frac{4}{5}} right). ) Mặt phẳng chứa đường xích đạo là ( left( {Oxy} right) ) có vectơ pháp tuyến ( overrightarrow k = left( {0;0;1} right) ). Đường thẳng OM có vecto chỉ phương ( overrightarrow {OM} = left( {6; frac{3}{5}; frac{4}{5}} right). ) Ta có ( sin left( {OM, left( {Oxy} right)} right) = frac{{ left| {0 cdot 6 + 0 cdot frac{3}{5} + 1 cdot frac{4}{5}} right|}}{{ sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} cdot sqrt {{6^2} + {{ left( { frac{3}{5}} right)}^2} + {{ left( { frac{4}{5}} right)}^2}} }} Rightarrow left( {OM, left( {Oxy} right)} right) approx 7,6^ circ ). Đáp án: 7,6.

Question 18

Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone). Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 mét trên thực tế, mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng được xem là một phần của mặt phẳng $\left( P \right)$ thẳng đứng, đi qua hai điểm $C\left( {10;50;0} \right)$ và $D\left( {30;10;0} \right)$ trên mặt đất (mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$) như hình vẽ. Vị trí giao hàng là điểm *B* nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại gốc tọa độ $O\left( {0;0;0} \right)$. Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng đến vị trí $A\left( {30;40;120} \right).$ Từ vị trí $A$, drone thay đổi đường bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ đến vị trí giao hàng $B$. Khoảng cách từ $O$ đến $B$ bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-132257-1762410054.png)

![](file:///C:/Users/dell/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.png)

![](file:///C:/Users/dell/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.png)

Accepted Answer

Ta có [ overrightarrow {CD} = left( {20; - 40;0} right) = 20 overrightarrow u ] với [ overrightarrow u = left( {1; - 2;0} right) ]. [ left( P right) ] là mặt phẳng thẳng đứng qua [C ] và [D ] nên nhận vectơ [ overrightarrow u = left( {1; - 2;0} right) ] và [ overrightarrow k = left( {0;0;1} right) ] làm cặp vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của [ left( P right) ] là [ overrightarrow n = left[ { overrightarrow k , overrightarrow u } right] = left( {2;1;0} right) ]. Ta có [ left( P right):2 left( {x - 10} right) + 1 left( {y - 50} right) + 0 left( {z - 0} right) = 0 Leftrightarrow 2x + y - 70 = 0 ]. Đường thẳng [AB ] vuông góc với [ left( P right) ] nên nhận vectơ pháp tuyến của [ left( P right) ] làm vectơ chỉ phương [ overrightarrow {{u_{AB}}} = left( {2;1;0} right) ]. Phương trình đường thẳng [AB ]: [ left { begin{array}{l}x = 30 + 2t y = 40 + t z = 120 end{array} right. ]. [B ] là giao điểm của đường thẳng [AB ] và mặt phẳng [ left( P right) ] nên ta có [2 left( {30 + 2t} right) + 40 + t - 70 = 0 Leftrightarrow 5t = - 30 Leftrightarrow t = - 6 ] [ Rightarrow B left( {18;34;120} right) Rightarrow OB = sqrt {{{18}^2} + {{34}^2} + {{120}^2}} approx 126 , , left( { rm{m}} right) ]. Đán án: 126.

Question 19

Một máy bay cất cánh tại một sân bay, sau khi bắt đầu cất cánh trong thời gian ngắn máy bay sẽ bay theo một đường thẳng và sân bay nơi máy bay cất cánh được coi là một mặt phẳng. Chọn hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 km. Biết rằng, máy bay bắt đầu cất cánh tại điểm $O\left( {0;0;0} \right)$và sau một thời gian ngắn máy bay bay đến điểm $A\left( {2;5;\,1,2} \right)$ và sân bay máy bay cất cánh nằm trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$. Góc tạo bởi đường bay của máy bay cất cánh và sân bay bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị là độ)?

Accepted Answer

Dựa vào đề bài ta có thể thấy góc tạo bởi đường bay của máy bay cất cánh và sân bay chính là góc giữa (OA ) và mặt phẳng ( left( {Oxy} right) ). Ta có [ overrightarrow {OA} = left( {2;5; ,1,2} right) ] và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [ left( {Oxy} right) ] là ( overrightarrow n = overrightarrow k = left( {0;0;1} right) ). Gọi ( alpha ) là góc tạo bởi (OA ) và mặt phẳng ( left( {Oxy} right) ). Khi đó, ( sin alpha = frac{{ left| {1,2 cdot 1} right|}}{{ sqrt {{2^2} + {5^2} + {{ left( {1,2} right)}^2}} cdot sqrt {{1^2}} }} = frac{{6 sqrt {761} }}{{761}} ). Suy ra ( alpha approx 13^ circ ). Đáp án: 13.

Question 20

Khi gắn hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào không gian, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu $\left( S \right)$ (tập hợp những điểm nằm trên và nằm trong mặt cầu tương ứng). Biết rằng mặt cầu này có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 6y - 2z + 5 = 0$. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?

Accepted Answer

Mặt cầu đã cho có tâm [I left( {2;3;1} right) ] và bán kính [R = sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2} - 5} = 3 ]. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng bằng đường kính của mặt cầu. Vậy khoảng cách xa nhất cần tìm là [2R = 6 ]km. Đáp án: 6.

Đề ôn luyện Toán Chương 7. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian (đề số 1)

Xem trước câu hỏi