Đề ôn luyện Toán Chương 7. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian (đề số 2)

Question 1

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là

Accepted Answer

${\vec n_4} = \left( {1\,;0\,;0} \right)$

Question 2

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}$ có một vectơ chỉ phương là

Accepted Answer

${\vec u_2} = \left( {2;\, - 1;\,2} \right)$.

Question 3

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9$. Điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$?

Accepted Answer

$I\left( {1\,;\,0\,;\, - 2} \right)$.

Question 4

Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1;2; - 3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)$?

Accepted Answer

$x - 2y + 3z + 12 = 0$.

Question 5

Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {1;\, - 2;\,3} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 3z - 1 = 0$ là

Accepted Answer

$\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}$.

Question 6

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x - y + z - 2 = 0$. Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$?

Accepted Answer

$N\left( {1; - 1; - 1} \right)$

Question 7

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I\left( { - 1; - 2;3} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có phương trình là

Accepted Answer

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1$.

Question 8

Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua 3 điểm $E\left( {2;0;0} \right)$, $F\left( {0; - 3;0} \right)$ và $K\left( {0;0;5} \right)$ là

Accepted Answer

$15x - 10y + 6z - 30 = 0$.

Question 9

Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {2; - 3;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x - 2y + z + 3 = 0$. Mặt phẳng đi qua điểm $M$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là:

Accepted Answer

$2x - 2y + z - 11 = 0$

Question 10

Trong không gian $Oxyz$ cho ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\y = - t\z = 2 + mt\end{array} \right.$ và ${d_2}:\frac{{1 - x}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}$ là hai đường thẳng vuông góc nhau. Khi đó, giá trị của $m$ bằng

Accepted Answer

$1$

Question 11

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M\left( { - 1;\,2;\,0} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là $2x - 2y + z + 1 = 0$ bằng

Accepted Answer

$\frac{5}{3}$.

Question 12

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t\,\,\,\,\,\,\,\,}\{y = 1 - 2t}\{z = - 3t\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.,\,\,\,{d_2}:\frac{x}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{5}.$

Góc giữa hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ bằng bao nhiêu độ?

Accepted Answer

$30^\circ $.

Question 13

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;1;9), đường thẳng d: {x = t; y = -1 - t; z = 2 + 2t} và mặt phẳng (α): x + y - z + 3 = 0. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. Vì (d: left { { begin{array}{*{20}{l}}{x = t} {y = - 1 - t} {z = 2 + 2t} end{array}} right. ) nên khi (A left( {t; - 1 - t;2 + 2t} right) ) thì (A ) thuộc đường thẳng (d ). b) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( left( alpha right) ) là [ vec n = left( {1;1; - 1} right) ]. c) Sai. Xét ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{3 = t} {1 = - 1 - t} {9 = 2 + 2t} end{array}} right. ) ( Leftrightarrow ) ( left { { begin{array}{*{20}{c}} begin{array}{l}t = 3 t = - 2 end{array} {t = frac{7}{2} , ,} end{array}} right. ) (Vô lý). Vậy điểm (M ) không thuộc đường thẳng (d ). d) Đúng. Gọi đường thẳng ( Delta ) cắt đường thẳng (d ) tại (N ). Suy ra (N left( {t; - 1 - t;2 + 2t} right) ). Ta có ({ vec u_ Delta } = overrightarrow {MN} = left( {t - 3; - t - 2;2t - 7} right) ) và [{ vec n_{ left( alpha right)}} = left( {1;1; - 1} right) ]. Vì đường thẳng ( Delta ) song song với mặt phẳng ( left( alpha right) ) nên ({ vec u_ Delta } bot { vec n_{ left( alpha right)}} ). Suy ra (1 cdot left( {t - 3} right) + 1 cdot left( { - t - 2} right) - 1 cdot left( {2t - 7} right) = 0 ) ( Leftrightarrow ) ( - 2t + 2 = 0 ) ( Leftrightarrow ) (t = 1 ). Do đó, ({ vec u_ Delta } = left( { - 2; - 3; - 5} right) ) và (N left( {1; - 2;4} right) ). Vậy phương trình ( Delta : frac{{x - 1}}{2} = frac{{y + 2}}{3} = frac{{z - 4}}{5} ).

Question 14

Năm 2011, kỹ sư Nguyễn Trí Hiếu, người Quảng Ngãi, đã sáng chế ra chiếc xe đu dây phục vụ công nhân điện lực di chuyển trên dây điện cao thế. Khi ở vị trí cân bằng, chiếc xe và đường dây điện sẽ cùng nằm trên một mặt phẳng vuông góc với mặt đất. Xe được cấu tạo bởi khung xe có gắn hai Puly tại vị trí A và B cách mặt đất lần lượt là 20 m và 19,9 m (như hình). Xe đu dây di chuyển giống xe đạp, được kết hợp dây xích, líp, đĩa, bàn đạp, phanh; bàn đạp đặt tại vị trí C.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (mỗi đơn vị độ dài trong không gian Oxyz tương ứng với 1m trên thực tế); tọa độ các điểm A, B, C lần lượt là A(7; 5; 20), B(7; 5,5; 19,9), C(7; 5; 19).

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-135057-1762411739.png)

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai. Ta có ( overrightarrow {AB} = left( {0;0,5; - 0,1} right) ) nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng (AB ) là ( vec u = left( {0;5; - 1} right). ) b) Sai. Ta có đường thẳng (AB ) đi qua (A left( {7;5;20} right) ) và có vectơ chỉ phương ( vec u = left( {0;5; - 1} right) ) nên có phương trình tham số là ( left { { begin{array}{*{20}{c}}{x = 7} {y = 5 + 5t} {z = 20 - t} end{array}} right. ). Mặt đất là ( left( {Oxy} right):z = 0 ), điểm (D left( {7;5 + 5t;20 - t} right) in AB ) cách mặt đất 18 m hay (d left( {D, left( {Oxy} right)} right) = 18 Leftrightarrow left| {20 - t} right| = 18 Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{c}}{t = 2} {t = 38} end{array}} right. ). Khi đó (D left( {7;15;18} right) ) (điểm (D left( {7;195; - 18} right) ) loại do cao độ của dây không âm). c) Đúng. Mặt phẳng ( left( {ABC} right) ) đi qua (A left( {7;5;20} right) ) và có vectơ pháp tuyến ( left[ { overrightarrow {AB} , ; overrightarrow {AC} } right] = left( { - 0,5;0;0} right) ) hay ( vec n = left( {1;0;0} right) ). Suy ra phương trình mặt phẳng ( left( {ABC} right): ;x = 7 ). d) Sai. Ta có (AC = sqrt {{{ left( {7 - 7} right)}^2} + {{ left( {5 - 5} right)}^2} + {{ left( {19 - 20} right)}^2}} = 1 ) (m).

Question 15

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), coi mặt biển là một phần của mặt phẳng (Oxy). Một ngọn hải đăng cao 60 m so với mực nước biển được đặt ở vị trí I(30; 55; 60) có bán kính phủ sáng là 5 km.

a) Vùng phủ sáng của ngọn hải đăng là khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình là (x - 30)^2 + (y - 55)^2 + (z - 60)^2 = 5000^2.

b) Nếu người đi biển ở vị trí A(7500; 6500; 0) thì người đó ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng.

c) Nếu ngọn hải đăng phủ sáng một vùng trên mặt biển thì diện tích vùng sáng này không vượt quá 80 triệu mét vuông.

d) Nếu hai người đi biển ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không vượt quá 10 km.

Accepted Answer

a) Đúng. Đổi (5 ,{ rm{km}} = 5000 ,{ rm{m}} ), vùng phủ sáng của ngọn hải đăng là khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình là ({ left( {x - 30} right)^2} + { left( {y - 55} right)^2} + { left( {z - 60} right)^2} = {5000^2} ). b) Sai. Ta có ( overrightarrow {IA} = left( {7470;6445; - 60} right) Rightarrow IA = 9866,23155 ,{ rm{m}} > 5000 ,{ rm{m}} ) nên người đó không nằm trong vùng phủ sáng của hải đăng. c) Đúng. Diện tích phủ sáng của hải đăng lên mặt biển là diện tích hình tròn có tâm là chân ngọn hải đăng, bán kính (r = sqrt {{{5000}^2} - {{60}^2}} = 4999,639987 ,{ rm{(m)}} ), khi đó diện tích phủ sáng là (S = pi {R^2} approx 78 ,528 ,506,61 , ,{ rm{(}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} < 80 ,000 ,000 ,{ rm{(}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} ). d) Đúng. Khoảng cách (d ) của hai người trong vùng phủ sáng sẽ không vượt quá đường kính đường tròn phủ sáng trên mặt biển (câu c) , khi đó (d le 2r Leftrightarrow d le 2 cdot sqrt {{{5000}^2} - {{60}^2}} < 10 ,000 , ,{ rm{(m)}} ), hay (d < 10 ,{ rm{km}} ).

Question 16

Một nhóm kỹ sư sử dụng flycam để giám sát một công trình điện mặt trời. Họ mô phỏng không gian công trình trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục là mét. Mặt đất được xem là mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$, mái của công trình là một mặt phẳng song song với mặt đất và cách mặt đất $4{\rm{ m}}$. Flycam bay theo đường thẳng bắt đầu từ điểm $A\left( {11; - 15;0} \right)$ đến điểm $B\left( {0; - 6;13} \right)$, sau đó từ điểm $B$ flycam tiếp tục bay theo đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow v = \left( {1;1; - 2} \right)$ để tìm một vị trí điểm $M$ phù hợp cho việc giám sát công nhân trên mái.

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có ( overrightarrow {AB} = left( {0 - 11; - 6 - left( { - 15} right);13 - 0} right) = left( { - 11;9;13} right) ). b) Đúng. Đường bay (BM ) của flycam là đường thẳng BM đi qua B nhận ( overrightarrow v = left( {1;1; - 2} right) )làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số ( left { begin{array}{l}x = t y = - 6 + t z = 13 - 2t end{array} right. ). c) Sai. Vì mái song song với mặt đất và cách mặt đất 4 m nên mái là mặt phẳng ( left( P right) ) có phương trình (z - 4 = 0 ) và có vectơ pháp tuyến là ( overrightarrow n = left( {0;0;1} right) ). Đường bay (BM ) nhận ( overrightarrow v = left( {1;1; - 2} right) ) làm vectơ chỉ phương nên góc tạo bởi BM và mái của công trình được tính bởi ( sin varphi = frac{{ left| { overrightarrow n cdot overrightarrow v } right|}}{{ left| { overrightarrow n } right| cdot left| { overrightarrow v } right|}} = frac{{ left| {0 cdot 1 + 0 cdot 1 + 1 cdot left( { - 2} right)} right|}}{{ sqrt 6 }} = frac{2}{{ sqrt 6 }} ). d) Sai. Gọi (M left( {t; - 6 + t;13 - 2t} right),d left( {M, left( P right)} right) = 3 Leftrightarrow left| {13 - 2t - 4} right| = 3 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 3 Rightarrow M left( {3; - 3;7} right) t = 6 Rightarrow M left( {6;0;1} right) end{array} right. ). Vì (M ) nằm phía trên mái công trình nên chọn (M left( {3; - 3;7} right) ), nên (a - b - c = - 1. )

Question 17

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 2}}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):3x - y + z - 25 = 0$. Một đường thẳng $d'$ cắt trục $Oz$ tại điểm $M$, cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N$ và $d'$ song song với $\left( P \right)$. Độ dài nhỏ nhất của đoạn $MN$ bằng bao nhiêu (*kết quả làm tròn đến hàng phần trăm*)?

Accepted Answer

Ta có [M left( {0 ,; ,0 ,; ,m} right) in Oz ], [N left( {1 + t ,; ,2t ,; , - 2 + t} right) in d ] [ Rightarrow overrightarrow {MN} = left( {1 + t ,; ,2t ,; , - 2 + t - m} right) ]. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( left( P right) ) là [ overrightarrow n = left( {3 ,; , - 1 ,; ,1} right) ]. Vì (d' ) song song với ( left( P right) ) nên [ overrightarrow {MN} cdot overrightarrow n = 0 ] [ Leftrightarrow 3 + 3t - 2t - 2 + t - m = 0 ] [ Leftrightarrow m = 2t + 1 ]. [ Rightarrow overrightarrow {MN} = left( {1 + t ,; ,2t ,; , - t - 3} right) ] [ Rightarrow MN = sqrt {{{ left( {1 + t} right)}^2} + 4{t^2} + {{ left( { - t - 3} right)}^2}} = sqrt {6{t^2} + 8t + 10} ]. Độ dài đoạn (MN ) nhỏ nhất [ Leftrightarrow ] [t = - frac{2}{3} ]. Đoạn dài nhỏ nhất của đoạn (MN ) bằng [ sqrt { frac{{22}}{3}} = frac{{ sqrt {66} }}{3} approx 2,71 ]. Đáp án: 2,71.

Question 18

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {4\,;\,1\,;\, - 2} \right)$, $B\left( {0\,;\,1\,;\,2} \right)$ và $C\left( { - 1\,;\,3\,;\,1} \right)$. Trên đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\y = 1 + 2t\z = 2\end{array} \right.\,,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ có hai điểm ${M_1},{M_2}$ sao cho thể tích hai khối tứ diện ${M_1}ABC$ và ${M_2}ABC$ cùng bằng $8$. Khoảng cách giữa hai điểm ${M_1}$, ${M_2}$ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần mười)?

Accepted Answer

Ta có AB→=(-4;0;4) , AC→=(-5;2;3) ⇒AB,→AC→=(-8;-8;-8) ⇒AB,→AC→= (-8)2+(-8)2+(-8)2=83 ⇒ S△ABC = 12AB,→AC→ = 43 Mặt phẳng (ABC) có một vecto pháp tuyến là: n→=AB,→AC→ = (-8;-8;-8), chọn n→=(1;1;1). Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua B(0;1;2) có một vecto pháp tuyến n→=(1;1;1) là x+y+z-3 = 0 Gọi (M in d ) ( Rightarrow M left( {1 - t ,; ,1 + 2t ,; ,2} right) ). Ta có (d left( {M ,, , left( {ABC} right)} right) = frac{{ left| {t + 1} right|}}{{ sqrt 3 }} ). Ta lại có ({V_{MABC}} = frac{1}{3}d left( {M, , left( {ABC} right)} right) cdot {S_{ Delta ABC}} = 8 ) ( Rightarrow frac{1}{3} cdot frac{{ left| {t + 1} right|}}{{ sqrt 3 }} cdot 4 sqrt 3 = 8 ) ( Leftrightarrow left| {t + 1} right| = 6 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 5 , , , Rightarrow {M_1} left( { - 4 ,; ,11 ,; ,2} right) t = - 7 Rightarrow {M_2} left( {8 ,; , - 13 ,; ,2} right) end{array} right. ). Vậy ({M_1} left( { - 4 ,; ,11 ,; ,2} right) ) và ({M_2} left( {8 ,; , - 13 ,; ,2} right) ) ( Rightarrow overrightarrow {{M_1}{M_2}} = left( {12 ,; , - 24 ,; ,0} right) Rightarrow {M_1}{M_2} = 12 sqrt 5 approx 26,8 ). Đáp án: 26,8.

Question 19

Trong một khu du lịch, người ta cho khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí $A$ cao $15\,{\rm{m}}$ của tháp 1 này sang vị trí $B$ cao $10\,{\rm{m}}$ của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của $A,\,B$ lần lượt là $A\left( {3;\,2,5;\,15} \right)$ và $B\left( {21;\,27,5;\,10} \right)$. Khi du khách ở độ cao $12\,{\rm{m}}$ thì tọa độ của du khách lúc đó là $M\left( {a;\,b;\,c} \right)$. Tính giá trị của biểu thức $T = a + b + c$.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-140558-1762412635.png)

Accepted Answer

Với hệ trục tọa độ (Oxyz ) cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của (A, ,B ) lần lượt là (A left( {3; ,2,5; ,15} right) ) và (B left( {21; ,27,5; ,10} right) ). Đường thẳng (AB )đi qua (A left( {3; ,2,5; ,15} right) ) và nhận ( overrightarrow {AB} = left( {18; ,25; - ,5} right) ) là vectơ chỉ phương nên có phương trình: ( left { begin{array}{l}x = 3 + 18t y = 2,5 + 25t z = 15 - 5t end{array} right. ). Khi du khách ở độ cao (12 ,{ rm{m}} ) thì (z = 12 Rightarrow 15 - 5t = 12 Leftrightarrow t = frac{3}{5} ). Do đó (x = 13,8; , ,y = 17,5 ). Vậy tọa độ của du khách lúc đó là (M left( {13,8; ,17,5; ,12} right) Rightarrow a + b + c = 43,3 ). Đáp án: 43,3.

Question 20

Hệ thống định vị vệ tinh toàn cầu Beidou (Bắc Đẩu) hiện tại có 35 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách Trái Đất khoảng 35 000 km, ta coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $R = 6,4$ (nghìn km). Với hệ tọa độ $Oxyz$ đã chọn, $O$ là tâm Trái Đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ $A\left( {30;0;0} \right),B\left( {0;30;0} \right)$. Xét điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thuộc bề mặt Trái Đất. Đặt $T$ là tổng khoảng cách từ $M$ đến hai vệ tinh $A$ và $B$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T$ theo đơn vị nghìn km (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Accepted Answer

Mặt cầu ( left( S right) ) có tâm (O left( {0;0;0} right) ) và bán kính (R = 6,4 ) có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} = 40,96 ). Ta có (OA = 30;OB = 30;AB = 30 sqrt 2 ). Suy ra ( Delta OAB ) cân tại (O ). Gọi (H ) là trung điểm của (AB ), khi đó (H left( {15;15;0} right) ), ta có (OH bot AB ). Đường thẳng (OH ) đi qua (O left( {0;0;0} right) ) và có VTCP ( overrightarrow {OH} = left( {15;15;0} right) = 15 left( {1;1;0} right) ) là: ( left { begin{array}{l}x = t y = t z = 0 end{array} right. ). Để (M in left( {OAB} right) ) thỏa mãn (MA + MB ) nhỏ nhất thì (M,A,B ) phải đồng phẳng và (MA = MB ). Vì (MH ) nhỏ nhất. Khi đó (M ) là giao điểm của (OH ) và mặt cầu ( left( S right) ). Tọa độ (M ) thỏa mãn phương trình: ({t^2} + {t^2} + {0^2} = 40,96 Leftrightarrow 2{t^2} = 40,96 Leftrightarrow t = pm frac{{16 sqrt 2 }}{5} ). Suy ra [ left[ begin{array}{l}{M_1} left( { frac{{16 sqrt 2 }}{5}; frac{{16 sqrt 2 }}{5};0} right) Rightarrow {M_1}H approx 14,81 {M_2} left( { frac{{ - 16 sqrt 2 }}{5}; frac{{ - 16 sqrt 2 }}{5};0} right) Rightarrow {M_2}H approx 27,61. end{array} right. ] Vậy điểm cần tìm là: [M left( { frac{{16 sqrt 2 }}{5}; frac{{16 sqrt 2 }}{5};0} right) ] . Khi đó, (T = MA + MB = 2MA = 2 sqrt {{{ left( { frac{{16 sqrt 2 }}{5} - 30} right)}^2} + {{ left( { frac{{16 sqrt 2 }}{5} - 0} right)}^2} + {0^2}} approx 51,7 ). Đáp án: 51,7.

Đề ôn luyện Toán Chương 7. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian (đề số 2)

Xem trước câu hỏi