Đề ôn luyện Toán Chương 8. Một số yếu tố thống kê, xác suất và lý thuyết đồ thị (đề số 3)

Question 1

Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Doanh thu

$\left[ {5;7} \right)$

$\left[ {7;9} \right)$

$\left[ {9;11} \right)$

$\left[ {11;13} \right)$

$\left[ {13;15} \right)$

Số ngày

2

7

3

1

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là giá trị nào trong các giá trị sau?

Accepted Answer

10.

Question 2

Kết quả thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12A ở bảng sau:

Chiều cao (cm)

$\left[ {155;160} \right)$

$\left[ {160;165} \right)$

$\left[ {165;170} \right)$

$\left[ {170;175} \right)$

$\left[ {175;180} \right)$

Số học sinh

5

9

8

2

1

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh nữ lớp 12A (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) bằng:

Accepted Answer

167,97.

Question 3

Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại một ngày của học sinh lớp 12A thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-151127-1762416568.png)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào dưới đây?

Accepted Answer

$\left( {20;\,22} \right)$.

Question 4

Theo thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh đã trúng tuyển vào lớp 10 năm học 2024 – 2025 của một trường THPT được kết quả như bảng sau:

Khoảng điểm

$\left[ {6,5;7} \right)$

$\left[ {7;7,5} \right)$

$\left[ {7,5;8} \right)$

$\left[ {8;8,5} \right)$

$\left[ {8,5;9} \right)$

$\left[ {9;9,5} \right)$

$\left[ {9,5;10} \right)$

Tần số

7

10

17

24

13

8

5

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Accepted Answer

${\rm{\Delta }}Q = \frac{{228}}{{221}}$.

Question 5

Cho mẫu số liệu ghép nhóm có bảng tần số như sau:

Nhóm

$\left[ {16;21} \right)$

$\left[ {21;26} \right)$

$\left[ {26;31} \right)$

$\left[ {31;36} \right)$

$\left[ {36;41} \right)$

Tần số

4

6

8

18

4

Tính số trung bình của mẫu số liệu trên.

Accepted Answer

$30$.

Question 6

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)

$\left[ {0;20} \right)$

$\left[ {20;40} \right)$

$\left[ {40;60} \right)$

$\left[ {60;80} \right)$

$\left[ {80;100} \right)$

Số học sinh

5

9

12

10

6

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là

Accepted Answer

$\left[ {40;60} \right)$.

Question 7

Một tổ học sinh gồm có $5$ học sinh nữ và $7$ học sinh nam, chọn ngẫu nhiên $2$ học sinh. Tính xác suất để $2$ học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ.

Accepted Answer

$\frac{{35}}{{66}}$.

Question 8

Mỗi bạn Hưng và Nga chọn ngẫu nhiên ba số trong tập $\left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}.$ Xác suất để trong hai bộ số của Hưng và Nga chọn ra có đúng một số giống nhau bằng

Accepted Answer

$\frac{21}{40}$

Question 9

Khảo sát thời gian chạy bộ trong một ngày của một số học sinh khối 12 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

**Thời gian (phút) **

$\left[ {0;20} \right)$

$\left[ {20;40} \right)$

$\left[ {40;60} \right)$

$\left[ {60;80} \right)$

$\left[ {80;100} \right)$

**Số học sinh **

$$7$$

$$11$$

$$15$$

$$6$$

$$3$$

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là

Accepted Answer

$\left[ {40;60} \right)$

Question 10

Thống kê điểm trung bình môn Toán của các học sinh lớp 11A được cho ở bảng sau

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-151915-1762417034.png)

Phương sai của mẫu số liệu là

Accepted Answer

0,7.

Question 11

Trong tuần lễ bảo vệ môi trường, các học sinh khối 12 tiến hành thu nhặt vỏ chai nhựa để tái chế. Nhà trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ chai của học sinh khối 12 ở bảng sau:

Số vỏ chai nhựa

$\left[ {10,5;15,5} \right]$

$\left[ {15,5;20,5} \right]$

$\left[ {20,5;25,5} \right]$

$\left[ {25,5;30,5} \right]$

$\left[ {30,5;35,5} \right]$

Số học sinh

53

82

48

39

18

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Accepted Answer

19,59.

Question 12

Cho hai biến cố độc lập $A,B$. Biết $P\left( A \right) = \frac{1}{5},P\left( B \right) = \frac{2}{3}$. Tính $P\left( {AB} \right)$.

Accepted Answer

$\frac{2}{{15}}$.

Question 13

Trong một hộp đựng 5 quả cầu chứa phiếu có thưởng và 10 quả cầu chứa phiếu không có thưởng (các quả cầu cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Hai bạn Bình, An lần lượt lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) mỗi bạn một quả. Bạn Bình lấy trước, bạn An lấy sau. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai. Vì có [5 ] quả cầu chứa phiếu có thưởng trong tổng số [15 ] quả cầu nên xác suất bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là [ frac{5}{{15}} = frac{1}{3} ]. b) Đúng. Gọi [ Omega ] là không gian mẫu. Số phần tử của không gian mẫu là [n left( Omega right) = 15 cdot 14 = 210 ]. Gọi biến cố [A ]: “Bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”, [B ]: “Bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”. Ta suy ra xác suất cần tìm là [P left( {B|A} right) ]. Khi đó biến cố [A cap B ]: “Bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng và bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng”. [n left( {A cap B} right) = 5 cdot 4 = 20 ] nên [P left( {A cap B} right) = frac{{n left( {A cap B} right)}}{{n left( Omega right)}} = frac{{20}}{{210}} = frac{2}{{21}} ]. [n left( A right) = 5 cdot 14 = 70 ] nên [P left( A right) = frac{{n left( A right)}}{{n left( Omega right)}} = frac{{70}}{{210}} = frac{1}{3} ]. Vậy [P left( {B|A} right) = frac{{P left( {A cap B} right)}}{{P left( A right)}} = frac{{ frac{2}{{21}}}}{{ frac{1}{3}}} = frac{2}{7} ]. c) Đúng. Xác suất để hai bạn cùng lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là [P left( {A cap B} right) = frac{2}{{21}} ]. d) Đúng. Xác suất cần tìm là [P left( {A|B} right) ]. Ta có [n left( B right) = 5 cdot 4 + 10 cdot 5 = 70 ] nên [P left( B right) = frac{{n left( B right)}}{{n left( Omega right)}} = frac{{70}}{{210}} = frac{1}{3} ]. Vậy [P left( {A|B} right) = frac{{P left( {A cap B} right)}}{{P left( B right)}} = frac{{ frac{2}{{21}}}}{{ frac{1}{3}}} = frac{2}{7} ].

Question 14

Một nhà mạng viễn thông đang triển khai hệ thống phát hiện và chặn các số điện thoại thực hiện cuộc gọi lừa đảo. Hệ thống hoạt động với các thông số sau:

+ Tỷ lệ số điện thoại lừa đảo trong hệ thống: 5%.
+ Xác suất hệ thống phát hiện đúng và chặn một số điện thoại lừa đảo: 94%.
+ Xác suất hệ thống chặn nhầm một số điện thoại hợp lệ: 3%.

Chọn ngẫu nhiên một số điện thoại đã được thử nghiệm hệ thống. Xét các khẳng định sau:

Accepted Answer

Gọi (A ) là biến cố “số điện thoại lừa đảo”, (B ) là biến cố “chặn một số điện thoại bất kỳ”. Theo đề bài, ta có: (P left( A right) = 0,05;P left( { overline A } right) = 0,95;P left( {B|A} right) = 0,94;P left( {B| overline A } right) = 0,03 ). Suy ra (P left( { overline B | overline A } right) = 1 - P left( {B| overline A } right) = 1 - 0,03 = 0,97 ). a) Đúng. Biết rằng số điện thoại đó là số lừa đảo, xác suất để số điện thoại đó bị chặn là (P left( {B|A} right) = 0,94 ). b) Đúng. Ta có (P left( B right) = P left( A right) cdot P left( {B|A} right) + P left( { overline A } right) cdot P left( {B|A} right) = 0,05 cdot 0,94 + 0,95 cdot 0,03 = frac{{151}}{{2000}} ). c) Sai. Công thức Bayes: (P left( {A|B} right) = frac{{P left( A right) cdot P left( {B|A} right)}}{{P left( B right)}} = frac{{0,05 cdot 0,94}}{{ frac{{151}}{{2000}}}} = frac{{94}}{{151}} ). d) Sai. Ta có (P left( { overline A | overline B } right) = frac{{P left( { overline A overline B } right)}}{{P left( { overline B } right)}} = frac{{P left( { overline A } right) cdot P left( { overline B | overline A } right)}}{{P left( { overline B } right)}} = frac{{0,95 cdot 0,97}}{{1 - frac{{151}}{{2000}}}} = frac{{1843}}{{1849}} ).

Question 15

Một xạ thủ bắn bia, trên bia có các vòng tròn tính điểm (từ 5 đến 10) như hình vẽ.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-152710-1762417513.png)

Mỗi lần bắn, xác suất xạ thủ đó bắn trúng vòng 8 là $0,25$; trúng vòng dưới 8 (kẻ cả bắn trượt) là $0,4$. Gọi ${P_1},{P_2}$ lần lượt là xác suất xạ thủ đó bắn trúng vòng 10 và vòng 9 trong mỗi lần bắn. Biết rằng nếu xạ thủ đó bắn ba phát vào bia thì xác suất cả ba lần bắn trúng vòng 10 là $0,003375$.

**a)** ${P_1} = 0,15$.

**b)** ${P_2} = 0,18$.

**c)** Nếu xạ thủ đó bắn ba phát thì xác suất đạt 29 điểm là $0,0045$.

**d)** Nếu xạ thủ đó bắn ba phát thì xác suất đạt ít nhất 28 điểm là $0,05175$.

Accepted Answer

a) Đúng. Xác suất 3 lần bắn trúng vòng 10 là (P_1^3 = 0,003375 Rightarrow {P_1} = sqrt[3]{{0,003375}} = 0,15 ). b) Sai. ({P_2} = 1 - 0,25 - 0,4 - 0,15 = 0,2 ). c) Sai. Để đạt 29 điểm thì cần 2 lần bắn trúng vòng 10 và 1 lần bắn trúng vòng 9. Có 3 cách chọn lần bắn trúng vòng 9 nên xác suất là (3 cdot 0,2 cdot 0,{15^2} = 0,0135 ). d) Đúng. Xác suất đạt 30 điểm là 0,003375; xác suất đạt 29 điểm là 0,0135. Tính xác suất đạt 28 điểm: TH1: Có 2 lần bắn trúng vòng 10 và 1 lần bắn trúng vòng 8: Xác suất là (3 cdot 0,25 cdot 0,{15^2} ). TH2: Có 1 lần bắn trúng vòng 10 và 2 lần bắn trúng vòng 9: Xác suất là (3 cdot 0,15 cdot 0,{2^2} ). Suy ra xác suất đạt 28 điểm là: (3 cdot 0,25 cdot 0,{15^2} + 3 cdot 0,15 cdot 0,{2^2} = 0,034875 ). Vậy xác suất đạt ít nhất 28 điểm là (0,003375 + 0,0135 + 0,034875 = 0,05175 ).

Question 16

Trong một giờ ôn tập môn Toán, thầy giáo có chuẩn bị các phiếu học tập gồm hai chủ đề là Thống kê và Xác suất để giao cho 40 bạn học sinh của lớp 12T. Sau khi hết giờ học, thầy giáo thu phiếu và nhận thấy rằng: Có 35 học sinh làm tốt chủ đề Thống kê, có 30 học sinh làm tốt chủ đề Xác suất, có 4 học sinh làm hai chủ đề đều không tốt. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp. Gọi các biến cố:

$A$: “Học sinh được chọn làm tốt chủ đề Thống kê”;

$B$: “Học sinh được chọn làm tốt chủ đề Xác suất”.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Đúng. Ta có (P left( A right) = frac{{n left( A right)}}{{n left( Omega right)}} = frac{{35}}{{40}} = 0,875 ). b) Đúng. Ta có (P left( B right) = frac{{n left( B right)}}{{n left( Omega right)}} = frac{{30}}{{40}} = 0,75 ). c) Sai. (A cup B ): “Học sinh được chọn làm tốt chủ đề Xác suất hoặc chủ đề Thống kê”. (n left( {A cup B} right) = 40 - 4 = 36 Rightarrow P left( {A cup B} right) = frac{{36}}{{40}} = 0,9 ). d) Đúng. Ta có (AB ) là biến cố: “Học sinh làm tốt cả hai chủ đề Xác suất và Thống kê”. Từ công thức cộng xác suất, ta suy ra (P left( {AB} right) = P left( A right) + P left( B right) - P left( {A cup B} right) = 0,875 + 0,75 - 0,9 = 0,725 ).

Question 17

Trên mỗi cạnh của hình bên dưới, có ghi số phút để đi từ điểm này đến điểm kế tiếp.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/screenshot-2025-11-06-152836-1762417595.png)

Tìm tổng thời gian ngắn nhất để di chuyển từ điểm *A* đến điểm *D* trên hình.

Accepted Answer

Một số đường đi có thể từ A đến D và thời gian tương ứng là: (1:A to F to E to D: ,2 + 13 + 11 = 26 ). (2:A to F to G to D: ,2 + 6 + 18 = 26 ). (3:A to F to G to C to D: ,2 + 6 + 9 + 10 = 27 ). (4:A to F to G to E to D: ,2 + 6 + 6 + 11 = 25 ). (5:A to G to D: ,13 + 18 = 31 ). (6:A to G to C to D: ,13 + 9 + 10 = 32 ). (7:A to B to C to D: ,4 + 18 + 10 = 32 ). (8:A to B to G to D: ,4 + 7 + 18 = 29 ). Như vậy, tiếp tục tính thì ta thấy tổng thời gian ngắn nhất để di chuyển từ điểm A đến điểm D trên hình là 25 phút với con đường (A to F to G to E to D ). Đáp án: 25.

Question 18

Một cơ quan hành chính nhà nước thực hiện việc tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn. Tỷ lệ nhân viên của cơ quan này thuộc hai nhóm trình độ: đại học, cao đẳng lần lượt là $65\% $ và $35\% $. Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là $10\% $, nhóm cao đẳng là $15\% $. Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì hãy tính xác suất để người này có trình độ đại học (kết quả là một số thập phân nhỏ hơn 1 đã làm tròn đến hàng phần trăm).

Accepted Answer

Gọi [A ] là biến cố: “Chọn nhân viên có trình độ đại học”. Gọi [B ] là biến cố: “Chọn nhân viên bị tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn”. Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: đại học, cao đẳng lần lượt là [65 % ] và [35 % ] nên [P left( A right) = 0,65 Rightarrow P left( { overline A } right) = 0,35 ]. Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là [10 % ], nhóm cao đẳng là [15 % ] nên [P left( {B|A} right) = 0,1 ] và [P left( {B| overline A } right) = 0,15 ]. Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì xác suất để người này có trình độ đại học là [P left( {A|B} right) ]. Theo công thức Bayes, ta có: [P left( {A|B} right) = frac{{P left( A right) cdot P left( {B|A} right)}}{{P left( A right) cdot P left( {B|A} right) + P left( { overline A } right) cdot P left( {B| overline A } right)}} = frac{{0,65 cdot 0,1}}{{0,65 cdot 0,1 + 0,35 cdot 0,15}} = 0,55 ]. Đáp án: 0,55.

Question 19

Công ty X có một kho hàng trung tâm tại điểm *A* và cần giao hàng đến 3 điểm giao hàng khác nhau *B*, *C*, *D* trong thành phố, sau khi giao hàng xong thì xe quay về điểm *A*. Biết rằng khoảng cách giữa các điểm giao hàng cho bởi bảng sau (đơn vị tính km).

Điểm đến

Điểm đi

*A*

*B*

*C*

*D*

*A*

0

9

11

14

*B*

9

0

7

8

*C*

11

7

0

5

*D*

14

8

5

0

Thời gian giao hàng tại mỗi điểm giao hàng 30 phút/điểm. Tốc độ trung bình của xe vận chuyển hàng là 40km/h. Tính tổng thời gian ít nhất để hoàn thành việc giao hàng nói trên (đơn vị đo: phút, làm tròn đến hàng đơn vị).

Accepted Answer

Từ giả thiết của đề bài, ta có đồ thị sau: Ta thấy đây là một đơn đồ thị có 4 đỉnh, mỗi đỉnh đều có bậc là 3 không nhỏ hơn ( frac{4}{2} = 2 ) nên theo định lí Dirac thì đồ thị này có một chu trình Hamilton. Ta xét tất cả các trường hợp sau: ABCDA: (9 + 7 + 5 + 14 = 35 ). ABDCA: (9 + 8 + 5 + 11 = 33 ). ACBDA: (11 + 7 + 8 + 14 = 40 ). ACDBA: (11 + 5 + 8 + 9 = 33 ). ADCBA: (14 + 5 + 7 + 9 = 35 ). ADBCA: (14 + 8 + 7 + 11 = 40 ). Vậy con đường ngắn nhất đi từ A qua các kho B, C, D và trở về A ngắn nhất là ABDCA hoặc ACDBA, với quãng đường dài (33 , ,{ rm{km}} ). Vậy thời gian tối thiểu là: ( frac{{33}}{{40}} cdot 60 + 3 cdot 30 = 139,5 ) (phút). Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là (140 ). Đáp án: 140.

Question 20

Một nhà đầu tư đang xem xét đầu tư vào hai loại tài sản: Cổ phiếu và trái phiếu. Qua nghiên cứu thị trường có hai kịch bản sau có thể xảy ra:

- Kịch bản kinh tế tăng trưởng: Xác suất xảy ra kịch bản kinh tế tăng trưởng trong năm tới là $60\% $. Trong kịch bản này, xác suất cổ phiếu mang lại lợi nhuận cao là $80\% $ và xác suất trái phiếu mang lại lợi nhuận cao là $30\% $.

- Kịch bản kinh tế suy thoái: Xác suất xảy ra kịch bản kinh tế suy thoái trong năm tới là $40\% $. Trong kịch bản này, xác suất cổ phiếu mang lại lợi nhuận cao là $10\% $ và xác suất trái phiếu mang lại lợi nhuận cao là $70\% $.

Vào cuối năm, nhà đầu tư nhận thấy rằng trái phiếu đã mang lại lợi nhuận cao. Tính xác suất để kịch bản kinh tế trong năm đó là suy thoái (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Accepted Answer

Gọi biến cố [A ]: “Kinh tế suy thoái”; biến cố [B ]: “Trái phiếu có lợi nhuận cao”. Khi đó, biến cố [ overline A ]: “Kinh tế tăng trưởng”. Theo bài ra, ta có [P left( A right) = 0,4 ] (Kinh tế suy thoái); [P left( {B|A} right) = 0,7 ] (Trong khi kinh tế suy thoái, xác suất trái phiếu lợi nhuận cao); [P left( { overline A } right) = 0,6 ] (Kinh tế tăng trưởng); [P left( {B| overline A } right) = 0,3 ] (Trong khi kinh tế tăng trưởng, xác suất trái phiếu lợi nhuận cao). Khi đó [P left( B right) = P left( A right) cdot P left( {B|A} right) + P left( { overline A } right) cdot P left( {B| overline A } right) = 0,4 cdot 0,7 + 0,6 cdot 0,3 = 0,46 ]. Áp dụng định lý Bayes: [P left( {A|B} right) = frac{{P left( A right) cdot P left( {B|A} right)}}{{P left( B right)}} = frac{{0,7 cdot 0,4}}{{0,46}} approx 0,61 ]. Đáp án: 0,61.

Đề ôn luyện Toán Chương 8. Một số yếu tố thống kê, xác suất và lý thuyết đồ thị (đề số 3)

Xem trước câu hỏi