Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 1. Phương trình và bất phương trình (Đề số 2)

Question 1

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Tất cả các nghiệm của phương trình $2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 = 0$ là

Accepted Answer

$\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Question 2

Giải phương trình ${\sin ^2}x - {\sin ^2}x \cdot {\cos ^2}x = 1$ ta được

Accepted Answer

$x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Question 3

Nghiệm của phương trình $\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin 2x = 0$ là

Accepted Answer

$\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\x = - \frac{{2\pi }}{3} - k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Question 4

Vận tốc của con lắc đơn $v\,\,\left( {{\rm{cm/s}}} \right)$được cho bởi công thức $v\left( t \right) = 3\sin \left( {2t - \frac{\pi }{6}} \right)$. Tại thời điểm nào dưới đây thì vận tốc của con lắc đơn bằng $3\;{\rm{cm/s}}$?

Accepted Answer

$\frac{{4\pi }}{3}$.

Question 5

Nghiệm của phương trình ${2^x} = 5$ là

Accepted Answer

$x = {\log _2}5$.

Question 6

Dân số thế giới được ước tính theo công thức $S = A \cdot {e^{ni}}$, trong đó $A$ là dân số của năm lấy làm mốc, $S$ là dân số sau $n$ năm, $i$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Dân số Việt Nam năm 2019 là $95,5$ triệu người, tỉ lệ tăng dân số hằng năm từ 2009 đến nay là $1,14\% $. Hỏi dân số Việt Nam năm 2009 gần với số nào nhất trong các số sau? (đơn vị là triệu người, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Accepted Answer

$85,2$ triệu người.

Question 7

Phương trình ${\log _4}{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x} + {\log _8}{\left( {4 + x} \right)^3}$ có bao nhiêu nghiệm?

Accepted Answer

Hai nghiệm.

Question 8

Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{{x^2} + 2x + 5}} + {3^{{x^2} + 2x}} \ge {3^{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}} + 5 \cdot {2^{{x^2} + 2x}}$ là

Accepted Answer

$\left[ { - 3\,;\,1} \right]$.

Question 9

Tập nghiệm của bất phương trình ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {2x + 1} \right) \le 1$ là

Accepted Answer

$\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]$.

Question 10

Nghiệm của bất phương trình $\frac{{{{\log }_5}\left( {{x^2} - 9x + 8} \right)}}{{{{\log }_5}\left( {3 - x} \right)}} < 2$ là

Accepted Answer

$ - \frac{1}{3} < x < 1$.

Question 11

Tập nghiệm của bất phương trình $2{\log _3}\left( {4x - 5} \right) \le {\log _3}\left( {18x + 27} \right)$ là

Accepted Answer

$\left( {\frac{5}{4}\,;\,\frac{{29 + 3\sqrt {97} }}{{16}}} \right]$.

Question 12

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình ${\left( {\frac{2}{e}} \right)^{{x^2} + 2mx + 1}} \le {\left( {\frac{e}{2}} \right)^{2x - 3m}}$ nghiệm đúng với mọi $x$.

Accepted Answer

$m \in \left[ { - 5;0} \right]$.

Question 13

Cho phương trình $\left( {\sin x - 1} \right)\left( {2\cos x - m + 1} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)$, với $m$ là tham số.

a) Phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có nghiệm $x = \frac{{5\pi }}{2}$.

b) Khi $m = 4$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có tập nghiệm là $\left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

c) Khi $m = 3$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm trên đoạn $\left[ {0\,;\,2\pi } \right].$

d) Phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng 3 nghiệm trên đoạn $\left[ {0\,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ khi và chỉ khi $ - 1 < m < 1.$

Accepted Answer

a) Thay [x = frac{{5 pi }}{2} ] vào phương trình ( left( 1 right) ) ta được ( left( { sin frac{{5 pi }}{2} - 1} right) left( {2 cos frac{{5 pi }}{2} - m + 1} right) = 0 ) luôn đúng. Vậy phương trình ( left( 1 right) ) luôn có nghiệm [x = frac{{5 pi }}{2} ]. b) Khi (m = 4 ) thì phương trình ( left( 1 right) ) trở thành ( left( { sin x - 1} right) left( {2 cos x - 3} right) = 0 , Leftrightarrow left[ begin{array}{l} sin x = 1 cos x = frac{3}{2} end{array} right. ) Ta có ( cos x = frac{3}{2} ) vô nghiệm. ( sin x = 1 Leftrightarrow x = frac{ pi }{2} + k2 pi ), suy ra tập nghiệm của phương trình là ( left { { frac{ pi }{2} + k2 pi , ,k in mathbb{Z}} right }. ) c) Khi (m = 3 ) thì phương trình ( left( 1 right) ) trở thành ( left( { sin x - 1} right) left( {2 cos x - 2} right) = 0 , ) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l} sin x = 1 cos x = 1 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{ pi }{2} + k2 pi x = k2 pi end{array} right. , left( {k in mathbb{Z}} right) ). Trên đoạn ( left[ {0 ,; ,2 pi } right] ) phương trình có các nghiệm (0 ,; , frac{ pi }{2}; ,2 pi ). Vậy phương trình ( left( 1 right) ) có 3 nghiệm trên đoạn ( left[ {0 ,; ,2 pi } right]. ) d) Phương trình ( left( 1 right) , Leftrightarrow left[ begin{array}{l} sin x = 1 cos x = frac{{m - 1}}{2} , , , left( 2 right) end{array} right. ) +) ( sin x = 1 Leftrightarrow x = frac{ pi }{2} + k2 pi ), có 1 nghiệm (x = frac{ pi }{2} , in left[ {0 ,; , frac{{3 pi }}{2}} right]. ) +) Phương trình ( left( 1 right) ) có đúng 3 nghiệm trên đoạn ( left[ {0 ,; , frac{{3 pi }}{2}} right] ) khi và chỉ khi ( cos x = frac{{m - 1}}{2} ) có 2 nghiệm thuộc đoạn ( left[ {0 ,; , frac{{3 pi }}{2}} right] ) và khác ( frac{ pi }{2} , ) ( Leftrightarrow - 1 < frac{{m - 1}}{2} < 0 Leftrightarrow - 1 < m < 1. ) Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Question 14

Cho bất phương trình ${\log _{\frac{1}{{10}}}}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) \ge 0$, có tập nghiệm là $S = \left[ {a;b} \right]$.

a) Điều kiện của bất phương trình là $x \in \mathbb{R}$.

b) Bất phương trình có chung tập nghiệm với ${x^2} - 5x + 6 \le 0$.

c) $a;b;5$ là ba số lập thành một cấp số cộng.

d) $\left[ {a;b} \right] \cup \left( {2;9} \right) = \left[ {c;d} \right)$, khi đó ${c^2} + {d^2}$ là số chính phương.

Accepted Answer

Điều kiện: ({x^2} - 5x + 7 > 0 Leftrightarrow x in mathbb{R} ). Khi đó, do cơ số (0 < frac{1}{{10}} < 1 ) nên bất phương trình đã cho trở thành: ({x^2} - 5x + 7 le { left( { frac{1}{{10}}} right)^0} Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 le 0 Leftrightarrow 2 le x le 3. ) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (S = left[ {2;3} right] ) nên (a = 2,b = 3 ) và số 5 không lập thành một cấp số cộng. Ta có [ left[ {2;3} right] cup left( {2;9} right) = left[ {2;9} right) ] nên (c = 2,d = 9 ), khi đó ({c^2} + {d^2} = 85 ) không phải là một số chính phương. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Question 15

Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình ${\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\log _4}{\left( {x - 5} \right)^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}8 = 0$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

9

Question 16

Một cái cổng vào một trung tâm thương mại có hình dạng là một phần của đồ thị hàm số $y = 2\cos \frac{x}{2} + 2$. Gọi $A, B$ là hai điểm nằm trên cổng (trên đồ thị hàm số) và $C, D$ là hai điểm nằm trên mặt nền của cổng sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật. Người quản lí trung tâm thương mại muốn lắp một cái cửa kính tự động vào hình chữ nhật $ABCD$. Tính diện tích của cái cửa cần lắp biết chiều cao của cái cửa là $AD = 3$ mét (kết quả làm tròn đến hàng phần chục; lấy $\pi \approx 3,14$; đơn vị diện tích là mét vuông).

Accepted Answer

12,6

Question 17

Giả sử trong một ngày độ sâu $d\left( t \right) \,({\rm{m)}}$ của một cảng biển sau $t$ giờ kể từ lúc nửa đêm được tính bởi công thức $d\left( t \right) = {\cos ^2}\left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + 8 \left( {\rm{m}} \right)$, $0 \le t \le 24$. Trong một ngày có bao nhiêu lần độ sâu của cảng biển đạt mức thấp nhất?

Accepted Answer

Ta có (d left( t right) = { left[ { cos left( { frac{{ pi t}}{6}} right) + 1} right]^2} + 7 ) nên (d left( t right) ) bé nhất khi ( cos left( { frac{{ pi t}}{6}} right) + 1 = 0 Leftrightarrow cos left( { frac{{ pi t}}{6}} right) = - 1 ) ⇔πt6=π+k2π,k∈ℤ ⇔t=6+12k,k∈ℤ Mà (0 le t le 24 ) nên (0 le 6 + 12k le 24 Leftrightarrow - frac{1}{2} le k le frac{3}{2} ), suy ra (k = 0 ) hoặc (k = 1 ). Vậy có độ sâu của cảng biển đạt thấp nhất tại 2 thời điểm trong một ngày. Đáp án: (2 ).

Question 18

Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng $(-2022; 2022)$ là nghiệm của bất phương trình $3^x \cdot 2^{x^2} > 1$?

Accepted Answer

4041

Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 1. Phương trình và bất phương trình (Đề số 2)

Xem trước câu hỏi