Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 3. Đạo hàm và khảo sát hàm số (Đề số 1)

Question 1

**PHẦN I. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

![Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/1-1750136866.png)

Accepted Answer

$\left( {0;2} \right)$

Question 2

Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ (với $c \ne 0,\,ad - bc \ne 0$) có đồ thị như hình vẽ bên. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là:

![Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/2-1750136946.png)

Accepted Answer

$x + 1 = 0$.

Question 3

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

![Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/3-1750136997.png)

Khẳng định nào sau đây là khẳng định** đúng**?

Accepted Answer

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 1$.

Question 4

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 4x - 7}}{{x - 2}}$ là

Accepted Answer

$y = x + 6$.

Question 5

Cho hàm đa thức $y = f\left( x \right)$. Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ là đường cong như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số $y = f\left( x \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/5-1750137095.png)

Accepted Answer

$3$.

Question 6

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 3x + 4$ trên đoạn $\left[ { - 2;0} \right]$ bằng

Accepted Answer

$6$.

Question 7

Giá trị $m$ để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 2m - 1}}{{x + m}}$ đi qua điểm $M\left( {3\,;\,1} \right)$ là

Accepted Answer

$m = - 3$.

Question 8

Biết đường thẳng $y = x - 2$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ có hoành độ lần lượt là ${x_A},{x_B}$. Giá trị của biểu thức ${x_A} + {x_B}$ bằng

Accepted Answer

$5$.

Question 9

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/9-1750137256.png)

Accepted Answer

$y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$.

Question 10

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{m{x^2} + nx + p}}{{qx + r}}$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới:

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/10-1750137300.png)

Ta có $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$. Tìm toạ độ $I$.

Accepted Answer

$I\left( { - 1\,; - 1} \right)$.

Question 11

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$?

Accepted Answer

$y = - {x^3} + 5{x^2}$.

Question 12

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c$ đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$ và $f\left( 1 \right) = - 3$. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Tính $T = 3a + b - c$.

Accepted Answer

$T = - 2$.

Question 13

**PHẦN II. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý **a)**, **b)**, **c)**, **d)** ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \ln x - x$.

**a) **Tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$ là $\mathbb{R}$.

**b)** Ta có $f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - 1$.

**c)** Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

**d)** Hàm số $g\left( x \right) = {e^{f\left( x \right)}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Accepted Answer

Tập xác định của hàm số là [D = left( {0; + infty } right) ]. Ta có [f' left( x right) = frac{1}{x} - 1 = frac{{1 - x}}{x} ]. Do [f' left( x right) > 0 Leftrightarrow 0 < x < 1 ] nên hàm số đồng biến trên khoảng ( left( {0 ,; ,1} right) ). Ta có hàm số (g left( x right) = {e^{f left( x right)}} = {e^{ ln x - x}} = frac{x}{{{e^x}}} ) có tập xác định ( left( {0; + infty } right) ). Có (g' left( x right) = frac{{1 - x}}{{{e^x}}} ). Do (g' left( x right) < 0 Leftrightarrow x > 1 ) nên hàm số (g left( x right) ) nghịch biến trên khoảng ( left( {1; + infty } right) ). Vậy mệnh đề đúng. Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Question 14

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có đồ thị như hình vẽ.

![Hàm số đã cho có hai cực trị trái dấu. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/102-1750137616.png)

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Tập xác định của hàm số (y = f left( x right) ) là [D = mathbb{R} ]. Từ đồ thị, ta thấy hàm số đạt cực đại tại (x = 0 ), ; đạt cực tiểu tại (x = 2 ), ({y_{CT}} = - 2 ). Hai cực trị và ({y_{CT}} = - 2 ) trái dấu. Ta có (f' left( x right) = ax left( {x - 2} right) = a{x^2} - 2ax Rightarrow f left( x right) = frac{a}{3}{x^3} - a{x^2} + d ). Ta có ( left { begin{array}{l}f left( 0 right) = 2 f left( 2 right) = - 2 end{array} right. Rightarrow left { begin{array}{l}a = 3 d = 2 end{array} right. Rightarrow f left( x right) = {x^3} - 3{x^2} + 2 ). Vậy (f left( 5 right) = 52 ). Đồ thị hàm số có có hai điểm cực trị là (A left( {0;2} right), , ,B left( {2; - 2} right) ). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là (d: frac{{x - 0}}{{2 - 0}} = frac{{y - 2}}{{ - 2 - 2}} Rightarrow d:2x + y - 2 = 0 ). Khoảng cách từ (O ) đến đường thẳng (d ) là ( frac{{ left| { - 2} right|}}{{ sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = frac{2}{{ sqrt 5 }} ). Ta có (f' left( x right) = 3{x^2} - 6x ). Xét hàm số (g left( x right) = f left( x right) - left( {3x - 2{x^3}} right) ). Có (g prime left( x right) = f prime left( x right) - left( {3 - 6{x^2}} right) = 9{x^2} - 6x - 3 ). Cho (g' left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1 x = - frac{1}{3} end{array} right. ). Bảng xét dấu: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số (g left( x right) = f left( x right) - left( {3x - 2{x^3}} right) ) đạt cực tiểu tại (x = 1 ). Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Question 15

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Hàm số xác định khi [x + 1 ne 0 Leftrightarrow x ne - 1 ]. Vậy tập xác định của hàm số là (D = mathbb{R} backslash left { { - 1} right } ). Ta có [ mathop { lim } limits_{x to {{ left( { - 1} right)}^ + }} y = mathop { lim } limits_{x to {{ left( { - 1} right)}^ + }} frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}} = + infty ], suy ra tiệm cận đứng của đồ thị ( left( C right) ) là (x = - 1 ). Ta có (y = frac{{{x^2} + 10x + 10}}{{x + 1}} = x + 9 + frac{1}{{x + 1}} ). Có [ mathop { lim } limits_{x to pm infty } left[ {y - left( {x + 9} right)} right] = mathop { lim } limits_{x to pm infty } left( { frac{1}{{x + 1}}} right) = 0 ]. Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị ( left( C right) ) là (y = x + 9 ). Ta có (y' = frac{{{x^2} + 2x}}{{{{ left( {x + 1} right)}^2}}} = 0 Rightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 x = - 2 end{array} right. ). Từ đó suy ra, tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là (A left( { - 2 ,; ,6} right) ,, , ,B left( {0 ,; ,10} right) ). Suy ra ( overrightarrow {OA} = left( { - 2 ,; ,6} right) ,, , , overrightarrow {OB} = left( {0 ,; ,10} right) ). Diện tích tam giác (OAB ) bằng ({S_{OAB}} = frac{1}{2} left| { - 2 cdot 10 - 0 cdot 6} right| = 10 ). Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Question 16

Kinzhal là tên lửa siêu thanh có khả năng mang đầu đạn hạt nhân. Giả sử rằng Kinzhal được bắn lên cao theo phương trình $s(t) = 1960t - 49t^2$ trong đó $t$ là thời gian ($t > 0$, đơn vị giây) và $s(t)$ là khoảng cách của tên lửa so với mặt đất (đơn vị km). Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Accepted Answer

Khoảng cách của tên lửa so với mặt đất tại thời điểm [t = 2 , left( { rm{s}} right) ] là: [s left( 2 right) = 1960 cdot 2 - 49 cdot {2^2} = 3 ,724 left( {{ rm{km}}} right) ]. Ta có [v = s' left( t right) = 1960 - 98t ]. Vận tốc triệt [v = 0 Leftrightarrow 1960 - 98t = 0 Leftrightarrow t = 20 , left( { rm{s}} right) ]. Khoảng cách của tên lửa so với mặt đất tại thời điểm vận tốc bằng (0 ): [s left( {20} right) = 1960 cdot 20 - 49 cdot 20 = 19 ,600 , , left( {{ rm{km}}} right) ]. Vận tốc tức thời của tên lửa tại thời điểm [t = 2 , left( { rm{s}} right) ] là [v left( 2 right) = 1960 - 98 cdot 2 = 1 ,764 , , left( {{ rm{km/s}}} right) ]. Ta có [s left( t right) = 1960t - 49{t^2} = - 49 left( {{t^2} - 40t} right) = - 49{ left( {t - 20} right)^2} + 19600 le 19600, , forall t > 0 ]. Quãng đường lớn nhất mà tên lửa có thể đạt được là [19 ,600 , , left( {{ rm{km}}} right) ]. Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Question 17

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 4} \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hàm số $g\left( x \right) = f\left( {3 - x} \right)$ có bao nhiêu điểm cực đại?

Accepted Answer

1

Question 18

Người ta thống kê được chi phí sửa chữa, vận hành máy móc trong một năm của một xưởng sản xuất được tính bởi công thức $f\left( x \right) = \frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}}$(triệu đồng). Biết $x$ là số năm kể từ lúc máy móc vận hành lần đầu tiên, số năm càng nhiều thì chi phí càng cao. Khi số năm $x$ đủ lớn thì chi phí vận hành máy móc trong một năm gần với số nào? (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy).

Accepted Answer

Ta có ( mathop { lim } limits_{x to + infty } f left( x right) = mathop { lim } limits_{x to + infty } frac{{2000x - 1500}}{{35x + 5}} = frac{{2000}}{{35}} = frac{{400}}{7} ). Do đó đồ thị hàm số (y = f left( x right) ) nhận đường thẳng (y = frac{{400}}{7} ) làm tiệm cận ngang, tức là khi số năm (x ) càng lớn thì chi phí vận hành máy móc trong một năm càng tiến gần đến ( frac{{400}}{7} approx 57,1 ) (triệu đồng). Đáp án: (57,1 ).

Question 19

Một nhà địa chất học đang ở tại điểm $A$ trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm $B$ và cách $A$ một đoạn là $100\,{\rm{km}}$. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là $30\,{\rm{km/h}}$. Nhà địa chất phải đến được điểm $B$ sau $3$ giờ.

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/113-1750137901.png)

Vì vậy, nếu anh ta đi từ $A$ đến $B$ sẽ không thể đến đúng giờ được. Sau khi khảo sát địa hình nhà địa chất phát hiện ra một con đường song song với đường nối $A$ và $B$ và cách $AB$ một đoạn $15\,{\rm{km}}$. Trên con đường đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận tốc $50\,{\rm{km/h}}$. Thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu phút?

Accepted Answer

Ta có thể mô tả bài toán trên bằng hình vẽ sau: Như đã phân tích ở đề bài, nếu đi trực tiếp từ (A ) đến (B ) trên sa mạc với vận tốc và khoảng cách hiện có thì nhà địa chất học không thể đến đúng thời gian quy định. Vì vậy cần thiết phải chia quãng đường đi được thành (3 ) giai đoạn: Giai đoạn 1: đi từ (A ) đến (C ) (từ sa mạc đến đường nhựa song song). Giai đoạn 2: đi từ (C ) đến (D ) (một quãng đường nào đó trên đường nhựa). Giai đoạn 3: đi từ (D ) đến (B ) (từ điểm kết thúc (D ) trên đường nhựa đi tiếp đến (B ) băng qua sa mạc). Gọi (C,D ) là các điểm như hình vẽ. Khi đó gọi (HC = x , left( {{ rm{km}}} right) , , left( {0 < x < 100} right) ) và (DK = y , , left( {{ rm{km}}} right) , left( {0 < y < 100} right) ). Quãng đường đi từ (A ) đến (C ) là (AC = sqrt {225 + {x^2}} left( {{ rm{km}}} right) Rightarrow {t_1} = frac{{AC}}{{{v_{samac}}}} = frac{{ sqrt {225 + {x^2}} }}{{30}} ) (giờ). Quãng đường đi từ (D ) đến (B ) là (DB = sqrt {225 + {y^2}} , left( {{ rm{km}}} right) Rightarrow {t_2} = frac{{DB}}{{{v_{samac}}}} = frac{{ sqrt {225 + {y^2}} }}{{30}} ) (giờ). Và quãng đường đi (C ) đến (D ) là (CD = 100 - left( {x + y} right) , , left( {{ rm{km}}} right) Rightarrow {t_3} = frac{{CD}}{{{v_{duong ,nhua}}}} = frac{{100 - left( {x + y} right)}}{{50}} ) (giờ). Vậy tổng thời gian mà nhà địa chất học đi từ A đến B là (t = {t_1} + {t_2} + {t_3} ). ( Rightarrow t = T left( {x;y} right) = frac{{ sqrt {225 + {x^2}} }}{{30}} + frac{{ sqrt {225 + {y^2}} }}{{30}} + frac{{100 - left( {x + y} right)}}{{50}} ). Đến đây ta cần tìm ( min T left( {x;y} right) ). Ta có (T left( {x;y} right) = frac{{ sqrt {225 + {x^2}} }}{{30}} + frac{{50 - x}}{{50}} + frac{{ sqrt {225 + {y^2}} }}{{30}} + frac{{50 - y}}{{50}} = f left( x right) + f left( y right) ). Xét hàm số (f left( u right) = frac{{ sqrt {225 + {u^2}} }}{{30}} + frac{{50 - u}}{{50}}, , ,0 < u < 100 ). Ta có [f' left( u right) = frac{u}{{30 sqrt {225 + {u^2}} }} - frac{1}{{50}},f' left( u right) = 0 Leftrightarrow sqrt {225 + {u^2}} = frac{{5u}}{3} > 0 Leftrightarrow u = frac{{45}}{4} ]. Lập bảng biến thiên ta có ( mathop { min } limits_{u in left( {0;100} right)} f left( u right) = f left( { frac{{45}}{4}} right) = frac{7}{5} ). Do đó ta có (T left( {x;y} right) = f left( x right) + f left( y right) ge frac{7}{5} + frac{7}{5} = frac{{14}}{5} )(giờ) ( = 168 ) (phút). Dấu “=” xảy ra khi (x = y = frac{{45}}{4} ). Đáp án: (168 ).

Question 20

Một xưởng in có $15$ máy in được cài đặt tự động và giám sát bởi một kỹ sư, mỗi máy in có thể in được $30$ ấn phẩm trong $1$ giờ, chi phí cài đặt và bảo dưỡng cho mỗi máy in cho $1$ đợt hàng là $48\,000$ đồng, chi phí trả cho kỹ sư giám sát là $24\,000$đồng/giờ. Đợt hàng này xưởng in nhận $6000$ ấn phẩm thì số máy in cần sử dụng để chi phí in ít nhất là bao nhiêu?

Accepted Answer

Gọi (x ) ( left( {0 < x < 15} right) ) là số máy in cần sử dụng để in lô hàng. Chi phí cài đặt và bảo dưỡng là (48000x ) (đồng). Số giờ in hết số ấn phẩm là ( frac{{6000}}{{30x}} ), chi phí giám sát là ( frac{{6 ,000}}{{30x}} cdot 24 ,000 = frac{{4 ,800 ,000}}{x} ). Tổng chi phí in là (P left( x right) = 48 ,000x + frac{{4 ,800 ,000}}{x} ) (đồng). (P' left( x right) = 48 ,000 - frac{{4 ,800 ,000}}{{{x^2}}} ); (P' left( x right) = 0 Leftrightarrow {x^2} = 100 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 10 x = - 10 , , left( L right) end{array} right. ). Bảng biến thiên: Vậy chi phí in nhỏ nhất thì cần sử dụng (10 ) máy. Đáp án: (10 ).

Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 3. Đạo hàm và khảo sát hàm số (Đề số 1)

Xem trước câu hỏi