Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 3. Đạo hàm và khảo sát hàm số (Đề số 2)

Question 1

**PHẦN I. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau:

![Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/1-1750138858.png)

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:

Accepted Answer

$ - 2$.

Question 2

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

![Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/2-1750138938.png)

Accepted Answer

$\left( {2; + \infty } \right)$.

Question 3

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, có bảng biến thiên như sau:

![Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/12-1750139025.png)

Khẳng định nào sau đây đúng?

Accepted Answer

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là $ - 1$.

Question 4

Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0\,;\,ad - bc \ne 0} \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

![Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/13-1750139157.png)

Accepted Answer

$x = 2$.

Question 5

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

![Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/14-1750139206.png)

Accepted Answer

$y = {x^3} + 3{x^2} - 2.$

Question 6

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = - x + 3 - \frac{1}{{x + 2}}$ trên nửa khoảng $\left[ { - 4; - 2} \right)$ .

Accepted Answer

$\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right)} y = 7$.

Question 7

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới.

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/15-1750139310.png)

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Accepted Answer

$\left( { - 1;1} \right)$.

Question 8

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{x + 2}}$ có đường tiệm cận xiên là

Accepted Answer

Đường thẳng $y = - x + 6$.

Question 9

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right){\left( {x - 1} \right)^4}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Accepted Answer

$1$.

Question 10

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

![Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/16-1750139444.png)

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng

Accepted Answer

$3$.

Question 11

Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 10$ trên đoạn $\left[ { - 2\,;\,2} \right]$ là

Accepted Answer

$15$.

Question 12

Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 1$ có toạ độ điểm cực đại là

Accepted Answer

$\left( {1\,;3} \right)$.

Question 13

Cho hàm số $f\left( x \right) = {e^{{x^2} - 1}} - {x^2}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Tập xác định của hàm số là (D = mathbb{R} ). Ta có (f' left( x right) = 2x{e^{{x^2} - 1}} - 2x ). Có (f left( 0 right) = {e^{ - 1}} - 0 = frac{1}{e};f left( 1 right) = {e^{1 - 1}} - 1 = 0 ). (f' left( x right) = 0 Leftrightarrow 2x{e^{{x^2} - 1}} - 2x = 0 Leftrightarrow 2x left( {{e^{{x^2} - 1}} - 1} right) = 0 ) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 {e^{{x^2} - 1}} - 1 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 {x^2} - 1 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 x = pm 1 end{array} right. ). Vậy tập nghiệm của phương trình (f' left( x right) = 0 ) là ( left { {0; pm 1} right } ). Ta có bảng biến thiên của hàm số trên khoảng ( left( { - 1;1} right) ): Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng ( left( { - 1;1} right) ). Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Question 14

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Hàm số xác định khi (x + 2 ne 0 Leftrightarrow x ne - 2 ). Vậy tập xác định của hàm số (y = f left( x right) ) là (D = mathbb{R} backslash left { { - 2} right } ). Ta có (y = f left( x right) = frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = x - 1 + frac{1}{{x + 2}} ). Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng (x = - 2 ), tiệm cận xiên là đường thẳng (y = x - 1 ). Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm (I left( { - 2; - 3} right) ). Ta có (f' left( x right) = frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{ left( {x + 2} right)}^2}}} = 0 Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x_1} = - 1 Rightarrow {y_1} = - 1 {x_2} = - 3 Rightarrow {y_2} = - 5 end{array} right. ). Vì [{y_1} cdot {y_2} = left( { - 1} right) cdot left( { - 5} right) = 5 > 0 ] nên đồ thị hàm số (y = f left( x right) ) có hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với trục hoành. Ta có (M left( {0; - frac{1}{2}} right) ), (f' left( 0 right) = frac{3}{4} ). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (M ) là (y = f' left( 0 right) left( {x - 0} right) - frac{1}{2} Leftrightarrow y = frac{3}{4}x - frac{1}{2} ). Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Question 15

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2\cos x + x\sqrt 2 $ trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Đạo hàm của hàm số đã cho là (f' left( x right) = - 2 sin x + sqrt 2 ). Ta có (f left( 0 right) = 2 cos 0 + 0 cdot sqrt 2 = 2; , ,f left( pi right) = 2 cos pi + pi sqrt 2 = - 2 + pi sqrt 2 ). (f' left( x right) = - 2 sin x + sqrt 2 = 0 Leftrightarrow sin x = frac{{ sqrt 2 }}{2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{ pi }{4} + k2 pi x = frac{{3 pi }}{4} + k2 pi end{array} right.,k in mathbb{Z} ). (0 le frac{ pi }{4} + k2 pi le pi Leftrightarrow - frac{1}{8} le k le frac{3}{8} Rightarrow k = 0 Rightarrow x = frac{ pi }{4} ); (0 le frac{{3 pi }}{4} + k2 pi le pi Leftrightarrow - frac{3}{8} le k le frac{1}{8} Rightarrow k = 0 Rightarrow x = frac{{3 pi }}{4} ). Tập nghiệm của phương trình (f' left( x right) = 0 ) trên ( left[ {0; pi } right] ) là (S = left { { frac{ pi }{4}; frac{{3 pi }}{4}} right } ). Ta có (f left( 0 right) = 2, , ,f left( pi right) = - 2 + pi sqrt 2 , , ,f left( { frac{ pi }{4}} right) = sqrt 2 + frac{{ pi sqrt 2 }}{4}, , ,f left( { frac{{3 pi }}{4}} right) = - sqrt 2 + frac{{3 pi sqrt 2 }}{4} ). Do đó ( mathop { max } limits_{ left[ {0; pi } right]} f left( x right) = sqrt 2 + frac{{ pi sqrt 2 }}{4}, , , mathop { min } limits_{ left[ {0; pi } right]} f left( x right) = - sqrt 2 + frac{{3 pi sqrt 2 }}{4} ). Vậy ( mathop { max } limits_{ left[ {0; pi } right]} f left( x right) + mathop { min } limits_{ left[ {0; pi } right]} f left( x right) = pi sqrt 2 ). Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

Question 16

**PHẦN III. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Biết đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 1$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$. Phương trình đường thẳng $AB$ là $y = ax + b\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$. Tính tổng $a + b$.

Accepted Answer

Ta có (y' = 3{x^2} + 6x - 9 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1 x = - 3 end{array} right. ). Suy ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số là (A left( {1; - 6} right) ) và (B left( { - 3;26} right) ). Đường thẳng (AB ) đi qua (A ) nhận vectơ ( overrightarrow {AB} = left( { - 4;32} right) ) làm vectơ chỉ phương, suy ra ( overrightarrow n = left( {8;1} right) ) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng (AB ) nên phương trình đường thẳng (AB ) có dạng: (8 left( {x - 1} right) + 1 left( {y + 6} right) = 0 Leftrightarrow y = - 8x + 2 ) ( Rightarrow a = - 8;b = 2 Rightarrow a + b = - 6 ). Đáp án: ( - 6 ).

Question 17

Một hồ nước hình bán nguyệt có đường kính $AB = 150\,{\rm{m}}$. Một người chèo thuyền theo một đường thẳng với vận tốc 1,5 ${\rm{km/h}}$ từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ bất kỳ trên cung $AB$. Tại vị trí $C$ người đó nghỉ 2 phút rồi tiếp tục đi bộ dọc theo cung nhỏ $CB$ đến $B,$ sau đó đi bộ theo đường thẳng $BA$ để quay về $A$ với vận tốc 3 ${\rm{km/h}}$ (tham khảo hình vẽ). Hỏi thời gian chậm nhất mà người đó về đến $A$ là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

![c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/17-1750139783.png)

Accepted Answer

11,8

Question 18

Một cửa hàng phân phối gạo với chi phí mua vào là $30$ nghìn đồng/$1{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\rm{kg}}$, bán ra là $35$nghìn đồng/$1{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\rm{kg}}$. Với giá bán này thì số gạo bán được trong một tháng là $12\,000{\kern 1pt} \,{\rm{kg}}$. Để đẩy mạnh hơn nữa doanh số tiêu thụ gạo trong một tháng, cửa hàng dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm $1$ nghìn đồng/${\rm{1}}\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{kg}}$ thì số lượng gạo bán ra trong một tháng sẽ tăng thêm $4\,000{\kern 1pt} \,{\rm{kg}}$. Cửa hàng phải định giá bán gạo mới là bao nhiêu nghìn đồng một kilôgam thì lợi nhuận thu được trong tháng cao nhất?

Accepted Answer

Giả sử cửa hàng bán gạo với giá giảm [x ] nghìn đồng / [1{ kern 1pt} { kern 1pt} ,{ rm{kg}} ]. Khi đó số gạo bán được trong một tháng là: [12 ,000{ kern 1pt} , + 4 ,000x ] (kg). Doanh thu của cửa hàng trong một tháng là: [P left( x right) = left( {35 - x} right) left( {12 ,000{ kern 1pt} + 4 ,000x} right) ] (nghìn đồng). Chi phí của cửa hàng trong một tháng là: [C left( x right) = 30 left( {12 ,000{ kern 1pt} + 4 ,000x} right) ] (nghìn đồng). Lợi nhuận của cửa hàng thu được trong một tháng là: [L left( x right) = P left( x right) - C left( x right) = left( {5 - x} right) left( {12 ,000{ kern 1pt} + 4 ,000x} right) = - 4 ,000{x^2} + 8 ,000x + 60 ,000 ] (nghìn đồng). [L' left( x right) = - 8 ,000x + 8 ,000 = 0 Leftrightarrow x = 1 ]. [ Rightarrow {L_{ max }} = L left( 1 right) = 64 ,000 ]. Vậy cửa hàng phải định giá bán gạo mới là [34 ] nghìn đồng một kilôgam thì lợi nhuận thu được trong tháng cao nhất. Đáp án: [34 ].

Question 19

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $h\left( x \right) = 3f\left( {{{\log }_2}x - 1} \right) + {x^3} - 9{x^2} + 15x + 1$ trên đoạn $\left[ {1;4} \right]$. Tính giá trị của biểu thức $T = M + m$.

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/18-1750139875.png)

Accepted Answer

Ta có (h' left( x right) = 3 cdot frac{1}{{x ln 2}} cdot le f' left( {{{ log }_2}x - 1} right) + 3{x^2} - 18x + 15 ). Với (x in left[ {1;4} right] Rightarrow - 1 < { log _2}x - 1 < 1 Rightarrow f' left( {{{ log }_2}x - 1} right) < 0 Rightarrow 3 cdot frac{1}{{x ln 2}} cdot f' left( {{{ log }_2}x - 1} right) < 0 ). Và (3{x^2} - 18x + 15 le 0, forall x in left[ {1;4} right] Rightarrow h' left( x right) < 0, forall x in left[ {1;4} right] ). Suy ra hàm số nghịch biến trên ( left[ {1;4} right] ). Do đó, ( mathop { min } limits_{ left[ {1;4} right]} h left( x right) = h left( 4 right) = - 13; , , mathop { max } limits_{ left[ {1;4} right]} h left( x right) = h left( 1 right) = 20 Rightarrow T = 7 ). Đáp án: (7 ).

Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 3. Đạo hàm và khảo sát hàm số (Đề số 2)

Xem trước câu hỏi