Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 4. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Đề số 1)

Question 1

Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3e^x$ là

Accepted Answer

C

Question 2

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{x}$ là ** **

Accepted Answer

$\frac{1}{2}{x^2} - 3x + 2\ln \left| x \right| + C$. ** **

Question 3

Biết $\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 37$ và $\int\limits_0^9 {\left[ {3f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 61$. Khi đó, $\int\limits_0^9 {g\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng** **

Accepted Answer

$25$.

Question 4

Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 1} $ và $\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = - 4} $. Tích phân $\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng** **

Accepted Answer

$ - 5$.** **

Question 5

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Biết rằng phần hình phẳng giới hạn bởi ${S_1}$ và ${S_2}$ (xem hình vẽ) có diện tích lần lượt bằng $7$ và $2$.

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/11-1750140912.png)

Tích phân $\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng

Accepted Answer

$5$.

Question 6

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\sin ^2}x$ là** **

Accepted Answer

$\frac{x}{2} - \frac{{\sin 2x}}{4} + C$.** **

Question 7

Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x - \frac{1}{x}$ thoả mãn $F\left( 1 \right) = 1$. Tính $F\left( { - 1} \right)$.** **

Accepted Answer

$F\left( { - 1} \right) = 1$.

Question 8

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^3}}}$ là** **

Accepted Answer

$ - \frac{1}{{2{x^2}}} + C$.

Question 9

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $c$ là số thực tùy ý thuộc đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Nếu $\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} $ và $\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x = 8} $ thì tích phân $\int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng** **

Accepted Answer

$ - 5$.

Question 10

Biết rằng $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {1;4} \right]$ và $F\left( 4 \right) = 9$, $F\left( 1 \right) = 3$. Giá trị của $\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + 2} \right]{\rm{d}}} x$ bằng** **

Accepted Answer

$12$.

Question 11

Nếu $\int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = - 2$ thì $\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {2 - 5f\left( x \right)} \right]} \,{\rm{d}}x$ bằng** **

Accepted Answer

$18$.

Question 12

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị $y = 2x - {x^2}$ và trục hoành. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho $\left( H \right)$ quay quanh trục hoành bằng** **

Accepted Answer

$\frac{{16\pi }}{{15}}$.

Question 13

**PHẦN II. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý **a)**, **b)**, **c)**, **d)** ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

** **Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = 8{x^3} + \sin x,\forall x \in \mathbb{R}$. Biết $f\left( 0 \right) = 3$.

**a) **Hàm số $y = f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)$.

**b) **$f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 3$.

**c) **$\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 3x + C} $, với $C$ là hằng số.

**d) **Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thoả $F\left( 0 \right) = 2$. Khi đó $F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1$.

Accepted Answer

Hàm số (y = f left( x right) ) là một nguyên hàm của hàm số (f' left( x right) ) nên ta có (f left( x right) = int {f' left( x right){ rm{d}}x} = int { left( {8{x^3} + sin x} right){ rm{d}}x = 8 int {{x^3}{ rm{d}}x + int { sin x{ rm{d}}x} = 2{x^4} - cos x + C} } ). Lại có (f left( 0 right) = 3 Rightarrow - 1 + C = 3 Rightarrow C = 4 Rightarrow f left( x right) = 2{x^4} - cos x + 4 ). Khi đó (F left( x right) = int {f left( x right){ rm{d}}x = int { left( {2{x^4} - cos x + 4} right){ rm{d}}x = } } frac{2}{5}{x^5} - sin x + 4x + C ). Mà (F left( 0 right) = 2 Rightarrow C = 2 Rightarrow F left( x right) = frac{2}{5}{x^5} - sin x + 4x + 2 Rightarrow F left( 1 right) = frac{{32}}{5} - sin 1 ). Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Question 14

Một công ty thiết kế mẫu huy hiệu để tặng cho khách hàng thân thiết của mình (xem hình vẽ bên). Trong đó $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $4\,{\rm{cm}}$, các đường cong $AOD$ và $BOC$ là một phần của các parabol đỉnh $O$. Với hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) thì điểm $A$ có tung độ bằng $1$. Biết phần tô đậm trong hình vẽ được phủ vàng với chi phí $1$ một triệu đồng/$1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, phần còn lại được phủ bạc với chi phí 300 nghìn đồng/$1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, các chi phí còn lại là 500 nghìn đồng.

![c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/1-1750141403.png)

**a) **Parabol chứa đường cong $AOD$ có phương trình là $y = \frac{1}{{16}}{x^2}$.

**b) **Parabol chứa đường cong $BOC$ có phương trình là $y = - \frac{3}{4}{x^2}$.

**c) **Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ lớn hơn $5,5\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.

**d) **Chí sản xuất $1$ chiếc huy hiệu trên nhỏ hơn $9$ triệu đồng.

Accepted Answer

Vì (ABCD ) là hình vuông có cạnh bằng (4 ,{ rm{cm}} ) và điểm (A ) có tung độ bằng (1 ) nên điểm (B ) có tung độ bằng ( - 3 ). Ta có hình vẽ sau: Gọi parabol chứa đường cong (AOD ) có phương trình là (y = a{x^2} ). Vì parabol đi qua điểm (A left( { - 2;1} right) ) nên ta có: (1 = a cdot { left( { - 2} right)^2} Leftrightarrow a = frac{1}{4} ) ( Rightarrow y = frac{1}{4}{x^2} ). Gọi parabol chứa đường cong (BOC ) có phương trình là (y = a'{x^2} ). Vì parabol đi qua điểm (C left( {2; - 3} right) ) nên ta có: ( - 3 = a cdot {2^2} Leftrightarrow a = - frac{3}{4} ) ( Rightarrow y = - frac{3}{4}{x^2} ). Phần tô đậm (AOB ) được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số (y = frac{1}{4}{x^2} ), (y = - frac{3}{4}{x^2} ) và hai đường thẳng (x = - 2 ), (x = 0 ) nên có diện tích là ({S_1} = int limits_{ - 2}^0 { left[ { frac{1}{4}{x^2} - left( { - frac{3}{4}} right){x^2}} right]{ rm{d}}x} = frac{8}{3} , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} ). Phần tô đậm (COD ) được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số (y = frac{1}{4}{x^2} ), (y = - frac{3}{4}{x^2} ) và hai đường thẳng (x = 0 ), (x = 2 ) nên có diện tích là ({S_2} = int limits_0^2 { left[ { frac{1}{4}{x^2} - left( { - frac{3}{4}} right){x^2}} right]{ rm{d}}x} = frac{8}{3} , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} ). Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ là [S = {S_1} + {S_2} = frac{8}{3} + frac{8}{3} = frac{{16}}{3} , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} < 5,5 , ,({ rm{c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}) ]. Diện tích hình vuông (ABCD ) là ({S_{ABCD}} = {4^2} = 16 , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} ). Diện tích phần không tô đậm là ({S_k} = 16 - frac{{16}}{3} = frac{{32}}{3} , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} ). Tổng chi phí để làm chiếc huy hiệu: (T = 1 ,000 ,000 cdot frac{{16}}{3} + 300 ,000 cdot frac{{32}}{3} + 500 ,000 approx 9 ,033 ,333 ) (đồng). Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Question 15

Cho một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc $v\left( t \right)$ (đơn vị: ${\rm{m/s}}$) có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị có dạng các đoạn thẳng tương ứng theo thời gian $t$ giây khi $0 \le t \le 3$, $8 \le t \le 15$ và có dạng đường parabol tương ứng thời gian $t$ giây khi $3 \le t \le 8$.

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/12-1750141457.png)

Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Question 16

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}$. Xét các mệnh đề sau:

Accepted Answer

a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Question 17

**PHẦN III. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Người ta cho một chiếc xe điện mô hình chạy thử nghiệm trên một đường thẳng trong 24 giây với vận tốc $v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}t\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\;\;0 \le t \le 8\4\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\;8 < t < 16\ - \frac{1}{2}t + 12\;\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\;\;16 \le t \le 24\end{array} \right.$(decimét/giây), trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc xe bắt đầu chuyển động. Trong 24 giây chạy thử nghiệm đó, chiếc xe mô hình đi được quãng đường bao nhiêu decimét?

Accepted Answer

Trong 24 giây chạy thử nghiệm đó, chiếc xe mô hình đi được quãng đường là: [s = int limits_0^{24} {v left( t right){ rm{d}}t} = int limits_0^8 { frac{1}{2}t{ rm{d}}t + int limits_8^{16} {4{ rm{d}}t} + } int limits_{16}^{24} { left( { - frac{1}{2}t + 12} right){ rm{d}}t} , ; , = left. { left( { frac{1}{4}{t^2}} right)} right|_0^8 + left. { left( {4t} right)} right|_8^{16} + left. { left( { - frac{1}{4}{t^2} + 12t} right)} right|_{16}^{24} = 64 , ,{ rm{(dm)}} ]. Đáp án: [64 ].

Question 18

Hình vẽ bên cho biết một miền D (được tô đậm) nằm trong hình vuông cạnh bằng 4, miền D này gồm những điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông. Tính diện tích miền D, với kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.

![Tính diện tích miền D, với kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/13-1750141572.png)

Accepted Answer

3,5

Question 19

Trong các làng nghề chế tạo đá mỹ nghệ, người ta làm được nhiều đồ trang sức bằng đá rất đẹp. Một người thợ thủ công chế tạo vòng đeo tay hình tròn bằng đá xanh, biết rằng bán kính vòng ngoài của vòng là $7\,{\rm{cm}}$, bán kính vòng trong là $5\,{\rm{cm}}$ (hình vẽ). Tính thể tích của chiếc vòng (theo đơn vị đo là centimét khối và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

![Tính thể tích của chiếc vòng (theo đơn vị đo là centimét khối và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/7-1750141637.png)

Accepted Answer

Gắn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ là tâm của chiếc vòng, trục (Ox ) là trục đối xứng của vòng, (Oy ) đi qua tâm một thiết diện cắt ngang của vòng. Khi đó phương trình đường tròn thiết diện là ( left( C right):{x^2} + { left( {y - 6} right)^2} = 1 Leftrightarrow y = 6 pm sqrt {1 - {x^2}} ). Vòng được tạo ra bằng cách quay đường tròn ( left( C right):{x^2} + { left( {y - 6} right)^2} = 1 ) quanh trục (Ox ). Thể tích của chiếc vòng là: [{V_{Ox}} = pi left[ { int limits_{ - 1}^1 {{{ left( {6 + sqrt {1 - {x^2}} } right)}^2}{ rm{d}}x - } int limits_{ - 1}^1 {{{ left( {6 - sqrt {1 - {x^2}} } right)}^2}{ rm{d}}x} } right] = pi int limits_{ - 1}^1 {24 sqrt {1 - {x^2}} } { rm{d}}x = 12{ pi ^2} approx 118 , , left( {{ rm{c}}{{ rm{m}}^{ rm{3}}}} right) ]. Đáp án: (118 ).

Question 20

Cho hai khối trụ có bán kính đáy bằng $3$ và có trục là hai đường thẳng cắt nhau và vuông góc với nhau (xem hình vẽ). Gọi $\left( H \right)$ là phần giao nhau của hai khối trụ đó. Tính thể tích của $\left( H \right)$.

![c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/8-1750141704.png)

Accepted Answer

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Mặt phẳng vuông góc với tia (Ox ) tại điểm có hoành độ (x ), cắt hình ( left( H right) ) theo thiết diện là một hình vuông có cạnh (AB ). Ta có ({ left( { frac{1}{2}AB} right)^2} = {R^2} - {x^2} = 9 - {x^2} Rightarrow A{B^2} = 36 - 4{x^2} ). Vậy diện tích thiết diện là (S left( x right) = A{B^2} = 36 - 4{x^2} ). Thể tích của ( left( H right) ) là (V = 2 int limits_0^3 {S left( x right) ,} { rm{d}}x = 2 int limits_0^3 { left( {36 - 4{x^2}} right) ,} { rm{d}}x = 144 ). Đáp án: (144 ).

Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 4. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Đề số 1)

Xem trước câu hỏi