Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 4. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Đề số 2)

Question 1

**PHẦN I. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x + {{\rm{e}}^{2x}}$ là

Accepted Answer

$\frac{{{x^2} + {{\rm{e}}^{2x}}}}{2} + C$.

Question 2

Cho hàm số $f\left( x \right) = - 1 + 2x + 3{x^2}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và trục hoành có giá trị bằng** **

Accepted Answer

$\frac{32}{27}$

Question 3

Cho $I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = \,} 3$. Khi đó $J = \int\limits_0^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 3} \right]{\rm{d}}x} $ bằng** **

Accepted Answer

$6$.

Question 4

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;c} \right]$ và $b$ là số thực tùy ý thuộc đoạn $\left[ {a;c} \right]$. Nếu biết $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = - 5$ và $\int\limits_b^c {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 10$, thì giá trị của $\int\limits_a^c {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x$ là:

Accepted Answer

$5$.

Question 5

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2026\sin x$.** **

Accepted Answer

$\int {2026\sin x{\rm{d}}x} = - 2026\cos x + C$.

Question 6

Cho $\int\limits_0^2 [f(x) - 3x^2] dx = 4$. Tích phân $\int\limits_0^2 f(x) dx$ bằng

Accepted Answer

$12$.

Question 7

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {3^{x - 1}} \cdot {5^{x + 1}}$ là** **

Accepted Answer

$\frac{{5 \cdot {{15}^x}}}{{3\ln 15}} + C$.

Question 8

Biết rằng $\int\limits_2^3 {\frac{{3x + 1}}{{2{x^2} - x - 1}}{\rm{d}}x} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 7$ trong đó $a,b,c \in \mathbb{Q}$. Giá trị của biểu thức $P = a + b + c$ là** **

Accepted Answer

**A. $\frac{4}{3}$**.

Question 9

Cho $y = F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = - 3{x^2} + 4x + 2$ và $F\left( 1 \right) = 2$ . Tính $F\left( { - 1} \right)$.** **

Accepted Answer

$F\left( { - 1} \right) = 0$.** **

Question 10

Cho $\int {\frac{1}{{x{{\ln }^2}x}}} \,{\rm{d}}x = F\left( x \right) + C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?** **

Accepted Answer

$F'\left( x \right) = \frac{1}{{x{{\ln }^2}x}}$.

Question 11

Diện tích phần gạch sọc trong hình vẽ bên bằng** **

**

![Diện tích phần gạch sọc trong hình vẽ bên bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/11-1750142673.png)

**

Accepted Answer

$\,\int\limits_{ - 3}^1 {\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)} \,{\rm{d}}x$.

Question 12

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $F\left( 5 \right) = 2 + F\left( 1 \right)$. Giá trị của $\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $ bằng** **

Accepted Answer

$2$.

Question 13

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \cos x$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Tập xác định của hàm số (f left( x right) = frac{x}{2} + cos x ) là [D = mathbb{R} ]. Ta có ( int {f left( x right){ rm{d}}x = int { left( { frac{x}{2} + cos x} right){ rm{d}}x = frac{{{x^2}}}{4}} + sin x} + C ). ( int limits_0^2 {f left( x right){ rm{d}}x = int limits_0^2 { left( { frac{x}{2} + cos x} right){ rm{d}}x} = } left. { left( { frac{{{x^2}}}{4} + sin x} right)} right|_0^2 = 1 + sin 2 ). Hàm số (F left( x right) ) là một nguyên hàm của hàm số (f left( x right) ) thì (F left( 1 right) - F left( 0 right) = int limits_0^1 { left( { frac{x}{2} + cos x} right){ rm{d}}x = left. { left( { frac{{{x^2}}}{4} + sin x} right)} right|} _0^1 = frac{1}{4} + sin 1 ). Suy ra (F left( 1 right) = left( { frac{1}{4} + sin 1} right) + F left( 0 right) = frac{5}{4} + sin 1 ). Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Question 14

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}$.

**a) **$\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + C$.

**b) **Hàm số $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}}$.

**c) **$\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( x \right){\rm{d}}} x = \frac{m}{n} + m\ln n$, với $m,n \in {\mathbb{N}^ * }$, $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tổng $m + 2025n = 4057$.

**d) **Gọi $G\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $G\left( 1 \right) = 4$ và $G\left( 3 \right) + G\left( { - 9} \right) = 20$. Khi đó $G\left( { - 6} \right) = a\ln 2 + b\ln 3 + c$, với $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Tổng $a + b + c = \frac{2}{3}$.

Accepted Answer

Ta có [ int {f left( x right)} ,{ rm{d}}x = int { frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}} ,{ rm{d}}x = int { left( {x + 5 - frac{7}{x}} right)} ,{ rm{d}}x = frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7 ln left| x right| + C ]. Ta thấy [f' left( x right) = 1 + frac{7}{{{x^2}}} = frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}} = g left( x right) ]. Do đó, [f left( x right) ] là một nguyên hàm của hàm số [g left( x right) ]. Ta có [ int limits_{ - 2}^{ - 1} {f left( x right){ rm{d}}} x = left. { left( { frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7 ln left| x right|} right)} right|_{ - 2}^{ - 1} = left( { frac{1}{2} - 5} right) - left( {2 - 10 - 7 ln 2} right) = frac{7}{2} + 7 ln 2 ]. Khi đó [m = 7, , ,n = 2 ] nên [m + 2025n = 4057 ]. Ta có hàm số [G left( x right) ] là một nguyên hàm của hàm số [f left( x right) ] thì [G left( x right) = frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7 ln left| x right| + C = left { begin{array}{l} frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7 ln x + {C_1}, forall x in left( {0; + infty } right) frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7 ln left( { - x} right) + {C_2}, forall x in left( { - infty ;0} right). end{array} right. ] Ta có [G left( 1 right) = 4 Leftrightarrow frac{1}{2} + 5 + {C_1} = 4 Leftrightarrow {C_1} = - frac{3}{2} ]. [G left( 3 right) + G left( { - 9} right) = 20 Leftrightarrow frac{{{3^2}}}{2} + 5 cdot 3 - 7 ln 3 - frac{3}{2} + frac{{{{ left( { - 9} right)}^2}}}{2} + 5 cdot left( { - 9} right) - 7 ln 9 + {C_2} = 20 ] [ Leftrightarrow {C_2} = frac{{13}}{2} + 21 ln 3 ]. Khi đó [G left( { - 6} right) = frac{{{{ left( { - 6} right)}^2}}}{2} + 5. left( { - 6} right) - 7 ln 6 + frac{{13}}{2} + 21 ln 3 = - 7 ln 2 + 14 ln 3 - frac{{11}}{2} ]. Suy ra [a = - 7, , ,b = 14, , ,c = - frac{{11}}{2} ] nên [a + b + c = frac{3}{2} ]. Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Question 15

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P'\left( x \right) = - 0,0008x + 10,4$. Ở đây $P\left( x \right)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm. Xét các khẳng định sau:

Accepted Answer

Ta có (P left( x right) = int {P' left( x right)} ,{ rm{d}}x = int { left( { - 0,0008x + 10,4} right){ rm{d}}x = - 0,0004{x^2} + 10,4x + C} ). Lợi nhuận ban đầu chưa có nên (P left( 0 right) = 0 Rightarrow C = 0 ). Vậy (P left( x right) = - 0,0004{x^2} + 10,4x ). Ta có (P left( {50} right) = - 0,0004 cdot {50^2} + 10,4 cdot 50 = 519 ) (triệu đồng). Vậy lợi nhuận khi bán được (50 ) sản phẩm đầu tiên là (519 ) triệu đồng. Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ (50 ) lên (a ) đơn vị sản phẩm là: ( int limits_{50}^a {P' left( x right)} ,{ rm{d}}x = int limits_{50}^a { left( { - 0,0008x + 10,4} right)} ,{ rm{d}}x = left. { left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} right)} right|_{50}^a = - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519 ). Theo đề ta có ( - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519 > 517 ) ( Leftrightarrow - 0,0004{a^2} + 10,4a - 1036 > 0 Leftrightarrow 100 < a < 25 ,900 ). Vậy giá trị nhỏ nhất của (a ) là (101 ). Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ (50 ) lên (55 ) đơn vị sản phẩm là: ( int limits_{50}^{55} {P' left( x right)} ,{ rm{d}}x = int limits_{50}^{55} { left( { - 0,0008x + 10,4} right)} ,{ rm{d}}x = left. { left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} right)} right|_{50}^{55} = 51,79 ) (triệu đồng). Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Question 16

Cho hàm số $f\left( x \right) = 1 + \frac{1}{x}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và hàm số $g\left( x \right) = - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4}$ có đồ thị $\left( d \right)$ (xem hình bên).

![c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/12-1750142816.png)

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Accepted Answer

Ta có ( int {f left( x right){ rm{d}}x = int { left( {1 + frac{1}{x}} right){ rm{d}}x = x + ln left| x right| + C} } ) với (C ) là hằng số. Vì (f left( x right) ) có một nguyên hàm là hàm số (F left( x right) ) nên ta có (F left( x right) = x + ln left| x right| + C ). Theo giả thiết (F left( 1 right) = 0 ), ta có (1 + C = 0 Leftrightarrow C = - 1 ) nên (F left( x right) = x + ln left| x right| - 1 ). Vậy (F left( 2 right) = 2 + ln 2 - 1 = ln 2 + 1 ). Ta có diện tích phần hình phẳng ({H_1} ) là: ({S_1} = int limits_1^4 { left[ { left( { - frac{1}{4}x + frac{9}{4}} right) - left( {1 + frac{1}{x}} right)} right]{ rm{d}}x = } int limits_1^4 { left( { - frac{1}{4}x - frac{1}{x} + frac{5}{4}} right){ rm{d}}x} ) ( = left. { left( { - frac{1}{4}. frac{{{x^2}}}{2} - ln left| x right| + frac{5}{4}x} right)} right|_1^4 = frac{{15}}{8} - ln 4 ). Ta có diện tích hình phẳng ({H_2} ) là: [{S_2} = int limits_1^4 { left( {1 + frac{1}{x}} right){ rm{d}}x = left. { left( {x + ln left| x right|} right)} right|_1^4} ] ( = 3 + ln 4 ). Khi đó ( frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{ frac{{15}}{8} - ln 4}}{{3 + ln 4}} ). Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Question 17

**PHẦN III. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $f\left( x \right) = 16{x^3} - 15{x^2} + 2x\int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} - 21$. Giá trị của $f\left( 2 \right)$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Ta đặt (m = int limits_1^2 {f left( t right)dt = int limits_1^2 { left( {16{t^3} - 15{t^2} + 2mt - 21} right){ rm{d}}t} left. { = left( {4{t^4} - 5{t^3} + m{t^2} - 21t} right)} right|_1^2 = 4 + 3m} ). Khi đó ta có (m = 4 + 3m ) ( Leftrightarrow m = - 2 ). Thay (m = - 2 ) vào hàm số ta có (f left( x right) = 16{x^3} - 15{x^2} - 4x - 21 ). Suy ra (f left( 2 right) = 39 ). Đáp án: (39 ).

Question 18

Một cái hồ lô trang trí được thiết kế phần chứa nước có thể tích bằng với thể tích của một vật thể $\left( V \right)$ trong không gian. Biết rằng, điểm $M$ thuộc $\left( V \right)$ khi và chỉ khi $MA \le \sqrt 2 \,{\rm{dm}}$ hoặc $MB \le \sqrt 5 \,{\rm{dm}}$, trong đó $A$ và $B$ là hai điểm cố định, $AB = 3\,\,{\rm{dm}}$. Thể tích phần chứa nước của hồ lô đó là bao nhiêu lít? (*làm tròn kết quả đến hàng phần chục*).

Accepted Answer

Ta có hình vẽ: [MA le sqrt 2 ,{ rm{dm}} ], suy ra (M )thuộc khối cầu tâm (A ) bán kính bằng ( sqrt 2 ). (MB le sqrt 5 ,{ rm{dm}} ), suy ra (M ) thuộc khối cầu tâm (B ) bán kính bằng ( sqrt 5 ). [AB = 3 , ,{ rm{dm}} ] nên hai khối cầu này giao nhau và mặt phẳng giao tuyến của hai mặt cầu của hai khối cầu này vuông góc với (AB ) tại điểm (C ) thỏa mãn ( overrightarrow {CB} = - 2 overrightarrow {CA} . ) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta tính được thể tích hồ lô là: (V = pi int limits_{ - sqrt 2 }^1 { left( {2 - {x^2}} right){ rm{d}}x} + pi int limits_1^{3 + sqrt 5 } { left[ {5 - {{ left( {x - 3} right)}^2}} right]{ rm{d}}x} , , approx 57,6 ) (dm3) ( = 57,6 ) lít. Đáp án: (57,6 ).

Question 19

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ độ cao $2\,\,{\rm{m}}$ với vận tốc tại thời điểm $t$ cho bởi công thức $v\left( t \right) = 100 - 9,8t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ ($t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên). Tìm độ cao (tính theo ${\rm{km}}$) của viên đạn so với mặt đất ở thời điểm 1 giây sau khi viên đạn đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Accepted Answer

0,51

Question 20

Để chuẩn bị quảng bá sản phẩm, người ta trang trí tấm pano dạng parabol như hình vẽ bên, biết $OS = 8\,\,{\rm{m}}$, $AB = 6\,\,{\rm{m}}$ với $O$ là trung điểm của $AB$. Tấm pano được chia thành ba phần để trang trí với mức chi phí khác nhau: phần trên là phần kẻ sọc giá $100\,000$ đồng/m², phần giữa là hình quạt tâm $O$ bán kính $3\,\,{\rm{m}}$ được tô đậm giá $200\,000$ đồng/m², phần còn lại giá $150\,000$ đồng/m². Tính tổng chi phí để trang trí tấm pano (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

![Tính tổng chi phí để trang trí tấm pano (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/13-1750143012.png)

Accepted Answer

Chọn hệ trục [Oxy ] với tia [Ox ] trùng với tia [OB ], tia [Oy ] trùng với tia [OS ] như hình vẽ. Khi đó ta có: [A left( { - 3;0} right) ], [B left( {3;0} right) ], [S left( {0;8} right) ]. Suy ra parabol có phương trình là: [y = - frac{8}{9}{x^2} + 8 ] [ left( P right) ]. Rìa của hình quạt là cung tròn của đường tròn [ left( C right) ] có phương trình: [{x^2} + {y^2} = 9 Leftrightarrow y = pm sqrt {9 - {x^2}} ]. Hoành độ điểm [N ] là nghiệm phương trình [ - frac{8}{9}{x^2} + 8 = sqrt {9 - {x^2}} , ,0 < x < 3 ] [ Rightarrow x = frac{{3 sqrt {55} }}{8} ]. Ta có [{y_N} = - frac{8}{9}{x_N}^2 + 8 = frac{9}{8} ]. Suy ra [N left( { frac{{3 sqrt {55} }}{8}; frac{9}{8}} right) ]. Phương trình đường thẳng [ON ]: [y = frac{3}{{ sqrt {55} }}x ]. Vì tấm pano đối xứng qua trục [Oy ] nên ta có: Diện tích phần kẻ sọc: [{S_1} = 2 cdot int limits_0^{ frac{{3 sqrt {55} }}{8}} { left( { - frac{8}{9}{x^2} + 8 - sqrt {9 - {x^2}} } right){ rm{d}}x} approx 17,94 , ]m2. Diện tích phần tô đậm: [{S_2} = 2 cdot int limits_0^{ frac{{3 sqrt {55} }}{8}} { left( { sqrt {9 - {x^2}} - frac{3}{{ sqrt {55} }}x} right)} ,{ rm{d}}x approx 10,68 , ]m2. Diện tích phần còn lại: [S = int limits_{ - 3}^3 { left( { - frac{8}{9}{x^2} + 8} right){ rm{d}}x} - left( {{S_1} + {S_2}} right) approx 3,38 , ]m2. Tổng chi phí để trang trí tấm pano là: [100{S_1} + 200{S_2} + 150S approx 4 ,440 ] (nghìn đồng) [ approx 4,44 ] (triệu đồng). Đáp án: (4,44 ).

Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 4. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Đề số 2)

Xem trước câu hỏi