Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 5. Hình học không gian (Đề số 1)

Question 1

**PHẦN I. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA \bot \,\left( {ABCD} \right),$ $SA = 2a$. Khoảng cách từ trung điểm $M$ của $AB$ đến mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ là

Accepted Answer

$\frac{a}{2}$.

Question 2

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,\;OB,\;OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = OB = OC$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Số đo của góc giữa hai đường thẳng $OM$ và $AB$ là** **

Accepted Answer

$60^\circ $.

Question 3

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, cạnh đáy và cạnh bên bằng $a$. Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng ** **

Accepted Answer

$\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Question 4

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $2a$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $SA = a\sqrt 2 $. Số đo góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ là** **

Accepted Answer

$45^\circ $.

Question 5

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy, $SA = a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ là ** **

Accepted Answer

$a$.

Question 6

Cho tứ diện đều $ABCD$ và điểm $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính $\cos \left( {AB,\,DM} \right)$.** **

Accepted Answer

$\frac{{\sqrt 3 }}{6}$.

Question 7

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Biết số đo góc nhị diện $\left[ {A,BC,S} \right]$ bằng $45^\circ $. Tỉ số diện tích của hai tam giác $SBC$ và $ABC$ bằng** **

Accepted Answer

$\sqrt{2}$

Question 8

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $2$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB'$ và $CD'$ bằng** **

Accepted Answer

$2$.** **

Question 9

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,\,AB = a$, cạnh bên $SC = 3a$ và $SC$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là** **

Accepted Answer

$\frac{{{a^3}}}{2}$.** **

Question 10

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B,\,AB = a$ và $A'B = a\sqrt 3 $. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là** **

Accepted Answer

$\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$

Question 11

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có thể tích là *V *và độ dài cạnh bên $AA' = 6$. Trên các cạnh $A'A,B'B,C'C$ lần lượt lấy các điểm *M*, *N*, *P* sao cho $AM = 2,BN = x,CP = y$ với *x*, *y* là các số dương thỏa mãn $xy = 12$. Biết rằng thể tích khối đa diện $ABC.MNP$ bằng $\frac{1}{2}V$. Giá trị của ${x^2} + {y^2}$ bằng** **

Accepted Answer

$25$.** **

Question 12

Cho hình chóp $S.ABC$, trên các cạnh *AB*, *BC*, *SC* lần lượt lấy các điểm *M*, *N*, *P* sao cho $AM = 2MB,BN = 4NC,SP = PC$. Tỉ số thể tích của hai khối chóp *S*.*BMN* và *A*.*CPN* là** **

Accepted Answer

$\frac{8}{3}$.** **

Question 13

**PHẦN II. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý **a)**, **b)**, **c)**, **d)** ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh có độ dài bằng $a$; gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $B'C'$, $BB'$.

**a)** Góc giữa hai đường thẳng $AM$và $BC'$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AM$ và $MN$.

**b)** Đoạn thẳng $A'M$ có độ dài bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

**c)** Đoạn thẳng $MN$ có độ dài bằng $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

**d)** Góc giữa hai đường thẳng $AM$ và $BC'$ bằng $60^\circ $.

Accepted Answer

Ta có, (MN{ rm{//}}BC' ) nên ( left( {AM,BC'} right) = left( {AM,MN} right) ). Xét tam giác (A'B'M ) vuông tại (B' ) ta có: (A'M ) ( = sqrt {A'{{B'}^2} + B'{M^2}} ) ( = sqrt {{a^2} + frac{{{a^2}}}{4}} ) ( = frac{{a sqrt 5 }}{2} ). Xét tam giác (AA'M ) vuông tại (A' ) ta có: (AM = sqrt {A{{A'}^2} + A'{M^2}} ) ( = sqrt {{a^2} + frac{{5{a^2}}}{4}} ) ( = frac{{3a}}{2} ). Có (AN = A'M = frac{{a sqrt 5 }}{2} ); (MN = frac{{BC'}}{2} = frac{{a sqrt 2 }}{2} ). Trong ( Delta AMN ) ta có: ( cos widehat {AMN} ) ( = frac{{M{A^2} + M{N^2} - A{N^2}}}{{2 cdot MA cdot MN}} ) ( = frac{{ frac{{9{a^2}}}{4} + frac{{2{a^2}}}{4} - frac{{5{a^2}}}{4}}}{{2 cdot frac{{3a}}{2} cdot frac{{a sqrt 2 }}{2}}} ) ( = frac{{6{a^2}}}{4} cdot frac{4}{{6{a^2} sqrt 2 }} ) ( = frac{1}{{ sqrt 2 }} ). Suy ra ( widehat {AMN} = 45^ circ ). Vậy ( left( {AM,BC'} right) = left( {AM,MN} right) ) ( = ) ( widehat {AMN} = 45^ circ ). Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Question 14

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ và $AC = a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ là trung điểm $H$ của $BC$. Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ tạo với $\left( {ABC} \right)$ một góc $60^\circ $.

**a) **** **Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Khi đó, $MH \bot AB.$

**b)** Số đo $\widehat {SMH}$ bằng $60^\circ $.

**c)** Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $SM$. Khi đó, $HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

**d) **Gọi $I$ là trung điểm $SC$. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{4}$.

Accepted Answer

Ta có (M ) là trung điểm cạnh (AB ) thì (MH ) là đường trung bình của tam giác (ABC ) nên (MH = frac{a}{2},MH{ rm{//}}AC ) ( Rightarrow MH bot AB ). Ta có (SH bot left( {ABC} right) Rightarrow SH bot AB ) và (MH bot AB ) nên ( left( {SMH} right) bot AB Rightarrow SM bot AB ). Suy ra góc giữa ( left( {SAB} right) ) và ( left( {ABC} right) ) là góc giữa (SM ) và (MH ); lại có (SH bot MH ) nên góc này bằng [ widehat {SMH} ]. Từ giả thiết suy ra [ widehat {SMH} = 60^ circ ]. Có (K ) là hình chiếu của (H ) lên (SM )thì (HK bot left( {SAB} right) ). Xét tam giác vuông ( Delta SHM ) có, (SH = MH cdot tan 60^ circ = frac{{a sqrt 3 }}{2} Rightarrow HK = frac{{a sqrt 3 }}{4}. ) Ta có ( left { begin{array}{l}{ rm{d}} left( {I, left( {SAB} right)} right){ rm{ = }} frac{1}{2}{ rm{d}} left( {C, left( {SAB} right)} right) { rm{d}} left( {H, left( {SAB} right)} right) = frac{1}{2}{ rm{d}} left( {C, left( {SAB} right)} right) end{array} right. ) ( Rightarrow { rm{d}} left( {I, left( {SAB} right)} right) = { rm{d}} left( {H, left( {SAB} right)} right) = HK = frac{{a sqrt 3 }}{4} ). Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Question 15

**PHẦN III. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AB = AD = 2a,$ $CD = a$. Gọi $I$ là trung điểm cạnh $AD,$ biết hai mặt phẳng $\left( {SBI} \right)$, $\left( {SCI} \right)$ cùng vuông góc với đáy và $SI = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}$. Số đo góc nhị diện $\left[ {S,BC,D} \right]$ bằng bao nhiêu độ?

Accepted Answer

Ta có (SI ) vuông góc với đáy ( left( {ABCD} right) ) và (BC = sqrt {{{ left( {2a} right)}^2} + {a^2}} = a sqrt 5 ). Vẽ [IH bot CB ] tại [H ]. Do đó, (IH ) là hình chiếu của (SH ) lên mặt phẳng ( left( {ABCD} right) ) nên [SH bot CB ] (theo định lý ba đường vuông góc). Khi đó, [ widehat {SHI} ] là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện ( left[ {S,BC,D} right] ). Ta có [{S_{ICB}} = {S_{ABCD}} - {S_{IDC}} - {S_{AIB}} ] [ = 3{a^2} - frac{{{a^2}}}{2} - {a^2} = frac{{3{a^2}}}{2} ] [ Rightarrow IH cdot CB = 3{a^2} ] [ Rightarrow IH = frac{{3a sqrt 5 }}{5} ]. Ta có [ tan widehat {SHI} = frac{{SI}}{{IH}} ] [ = frac{{ frac{{3a sqrt 5 }}{5}}}{{ frac{{3a sqrt 5 }}{5}}} = 1 ] [ Rightarrow widehat {SHI} = 45^ circ ]. Đáp án: [45 ].

Question 16

Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao $10\,{\rm{cm}}$ và đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $12\,{\rm{cm}}$. Tính khối lượng của miếng pho mát theo đơn vị gam, biết khối lượng riêng của loại pho mát đó là $3\,\,{\rm{g/c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$.

Accepted Answer

Diện tích đáy của miếng pho mát là: (S = frac{1}{2} cdot 12 cdot 12 = 72 , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} ). Thể tích của miếng pho mát là: (V = Sh = 72 cdot 10 = 720 , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{3}}}{ rm{)}} ). Khối lượng của miếng pho mát là: (m = DV = 3 cdot 720 = 2160 , ,{ rm{(g)}} ). Đáp án: (2 ,160 ).

Question 17

Cho hình chóp $S.ABC$, có $SA = SB = SC$, đáy là tam giác đều cạnh bằng $7$. Biết thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $\frac{{343\sqrt 3 }}{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

Accepted Answer

Do hình chóp [S.ABC ] đều nên (SG ) là đường cao của hình chóp ( (G ) là trọng tâm tam giác đều (ABC )). Kẻ (MH bot SA ) tại (H ) thì (MH ) là đoạn vuông góc chung của (SA ) và (BC ). Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng (SA ) và (BC ) bằng (MH ). Do ( Delta ABC ) đều nên (AM = frac{{AB sqrt 3 }}{2} = frac{{7 sqrt 3 }}{2} ). Suy ra (AG = frac{2}{3}AM = frac{{7 sqrt 3 }}{3} ). Ta có ({V_{S.ABC}} = frac{1}{3} cdot frac{{{7^2} sqrt 3 }}{4} cdot SG = frac{{343 sqrt 3 }}{3} ) ( Rightarrow SG = 28 ). Lại có (SA = sqrt {A{G^2} + S{G^2}} = frac{{49 sqrt 3 }}{3} ). Ta có ( Delta AHM ) đồng dạng với ( Delta AGS ) ( Rightarrow frac{{AM}}{{SA}} = frac{{MH}}{{SG}} Rightarrow MH = frac{{SG cdot AM}}{{SA}} = frac{{3 cdot 28 cdot 7 sqrt 3 }}{{2 cdot 49 sqrt 3 }} = 6 ). Đáp án: (6 ).

Question 18

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Biết $BC = SB = a,SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$. Tìm số đo của góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ (*làm tròn kết quả đến đơn vị độ*).

Accepted Answer

Gọi (H,K ) lần lượt là hình chiếu vuông góc của (O,B ) trên mặt phẳng ( left( {SCD} right) ). Khi đó góc giữa đường thẳng (SB ) và mặt phẳng ( left( {SCD} right) ) là góc ( widehat {BSK} = varphi ). Ta có ( sin varphi = frac{{BK}}{{BS}} ). Mặt khác (BK{ rm{//}} ,OH ) và ( frac{{BK}}{{OH}} = frac{{BD}}{{OD}} = 2 ). Kẻ (OM bot CD ), trong tam giác vuông (SOM ) có ( frac{1}{{O{H^2}}} = frac{1}{{O{S^2}}} + frac{1}{{O{M^2}}} = frac{1}{{O{S^2}}} + frac{1}{{O{B^2}}} + frac{1}{{O{C^2}}} ) Ta có ( Delta SBO = Delta CBO ) suy ra (CO = SO = frac{{a sqrt 6 }}{3} ) và (OB = sqrt {S{B^2} - S{O^2}} = frac{{a sqrt 3 }}{3} ). Þ ( frac{1}{{O{H^2}}} = frac{1}{{O{S^2}}} + frac{1}{{O{B^2}}} + frac{1}{{O{C^2}}} = frac{1}{{{{ left( { frac{{a sqrt 6 }}{3}} right)}^2}}} + frac{1}{{{{ left( { frac{{a sqrt 3 }}{3}} right)}^2}}} + frac{1}{{{{ left( { frac{{a sqrt 6 }}{3}} right)}^2}}} ) Þ (OH = frac{a}{{ sqrt 6 }} ). Þ (BK = 2OH = frac{{2a}}{{ sqrt 6 }} )Þ ( sin varphi = frac{{ frac{{2a}}{{ sqrt 6 }}}}{a} = frac{2}{{ sqrt 6 }} ). Suy ra ( varphi approx 55^ circ ). Đáp án: (55 ).

Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 5. Hình học không gian (Đề số 1)

Xem trước câu hỏi