Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 5. Hình học không gian (Đề số 2)

Question 1

**PHẦN I. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a$, $BC = 2a$ và $AA' = 3a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $A'C'$ bằng

![C (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/1-1750146144.png)

Accepted Answer

$3a$.

Question 2

Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$. Tính ${\rm{cos}}\varphi $.

Accepted Answer

${\rm{cos}}\varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Question 3

Một tấm bìa hình vuông có cạnh 50 cm. Người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 16 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Thể tích khối hộp chữ nhật vừa tạo thành là** **

Accepted Answer

5184 ${\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$. ** **

Question 4

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $5a$.

![V (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/11-1750146287.png)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B'$ và $AD$ bằng** **

Accepted Answer

$5a$.

Question 5

Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $BC$. Số đo của góc $\left( {IJ,CD} \right)$ bằng** **

Accepted Answer

$60^\circ $.

Question 6

Một tấm ván hình chữ nhật $ABCD$ được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu $2{\rm{\;m}}$. Cho biết $AB = 1\;\,{\rm{m;}}\,\,AD = 3,5\;\,{\rm{m}}$. Tính tan của góc giữa đường thẳng $BD$ và đáy hố (*làm tròn kết quả đến hàng phần trăm*).

**

![V (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/12-1750146392.png)

**

Accepted Answer

$0,66$.

Question 7

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA$ vuông góc với mặt đáy. Góc nào dưới đây là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$?

![V (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/13-1750146445.png)

Accepted Answer

$\widehat {SDA}$.

Question 8

Một khúc gỗ có dạng và độ dài các cạnh được cho như hình vẽ. Thể tích khúc gỗ là** **

**

![Thể tích khúc gỗ là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/14-1750146500.png)

**

Accepted Answer

$V = 36$.

Question 9

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = a,$ $AA' = \sqrt 6 a$. Góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ có số đo bằng** **

**

![B (ảnh 1)](https://assets.nganla.com/migrated/2026/05/08/1778227705474369321.png)

**

Accepted Answer

$60^\circ $.

Question 10

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB = a$, $AC = a\sqrt 3 $, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng** **

Accepted Answer

$\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$.

Question 11

Cho hình chóp $S.ABC$, đáy *ABC có *$AB = 10{\rm{ cm}}$, $BC = 12{\rm{ cm}}$, $AC = 14{\rm{ cm}}$, các mặt bên cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau và đều bằng $\alpha $ thỏa mãn $\tan \alpha = 3$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là

Accepted Answer

192 cm^3

Question 12

Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ đáy là hình thang cân *ABCD* có $AC \bot BD,AC = 2a$, cạnh $AA'$ tạo với mặt phẳng đáy góc $60^\circ $. Hình chiếu vuông góc của $A'$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là điểm *H* thuộc đoạn *AC* sao cho $AH = \frac{1}{3}HC$. Thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ là** **

Accepted Answer

${a^3}\sqrt 3 $.

Question 13

**PHẦN II. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý **a)**, **b)**, **c)**, **d)** ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$, $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = a\sqrt 3 $. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$.

**a) **$SA \bot BC$.

**b)** Độ dài trung tuyến $AM = a$.

**c) **$BC \bot \left( {SAM} \right)$.

**d)** Số đo góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng $60^\circ $.

Accepted Answer

Do (SA bot left( {ABC} right) Rightarrow SA bot BC ). Ta có [AM ] là trung tuyến trong tam giác đều [ABC ] cạnh (2a ) nên (AM = 2a cdot frac{{ sqrt 3 }}{2} = a sqrt 3 ) và [BC bot AM ]. Kết hợp [BC bot SA ] suy ra (BC bot left( {SAM} right) ). Do đó, [BC bot SM ]. Hai mặt phẳng [ left( {SBC} right) ] và [ left( {ABC} right) ] cắt nhau theo giao tuyến [BC ]. Hơn nữa ta có [BC bot SM ] và [BC bot AM ] nên [ left( { left( {SBC} right) ,, , left( {ABC} right)} right) = left( {SM ,, ,AM} right) = widehat {SMA} ]. Xét tam giác vuông (SAM ) ta có [ tan widehat {SMA} = frac{{SA}}{{MA}} = frac{{a sqrt 3 }}{{a sqrt 3 }} = 1 Rightarrow widehat {SMA} = 45^ circ ]. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Question 14

Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt bên $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt đáy và tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$ và điểm $H$ là trung điểm $AB$. Biết tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và cạnh $AC = a\sqrt 3 $.

**a) **$SH \bot \left( {ABC} \right)$.

**b)** $d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = a\sqrt 3 $.

**c)** $d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.** **

**d) **$d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{{13}}$.

Accepted Answer

Ta có (H ) là trung điểm (AB ), mà tam giác (SAB ) đều nên (SH bot AB ). Ngoài ra ( left( {SAB} right) bot left( {ABC} right) ) nên (SH bot left( {ABC} right) ). Khi đó, (d left( {S, left( {ABC} right)} right) = SH = frac{{2a cdot sqrt 3 }}{2} = a sqrt 3 ) (do tam giác (SAB ) đều cạnh (2a) ). Kẻ đường cao (CK ) của tam giác (ABC ). Ta có: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{CK bot AB} {CK bot SH} end{array} Rightarrow CK bot left( {SAB} right) Rightarrow d left( {C, left( {SAB} right)} right) = CK} right. ). Xét tam giác (ABC ) vuông tại (C ) có: (BC = sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = sqrt {4{a^2} - 3{a^2}} = a;CK = frac{{CA cdot CB}}{{AB}} = frac{{a sqrt 3 cdot a}}{{2a}} = frac{{a sqrt 3 }}{2} ). Vậy (d left( {C, left( {SAB} right)} right) = CK = frac{{a sqrt 3 }}{2} ). Do (H ) là trung điểm (AB ) nên gọi (M ) là trung điểm (AC ), kẻ (HI bot SM ) tại (I ), ta có: (d left( {B, left( {SAC} right)} right) = 2d left( {H, left( {SAC} right)} right) = 2HI ). Ta có (SH = a sqrt 3 ,, ,HM = frac{a}{2} ), (HI = frac{{a sqrt {39} }}{{13}} ). Khi đó (d left( {B, left( {SAC} right)} right) = 2d left( {H, left( {SAC} right)} right) = 2HI = frac{{2a sqrt {39} }}{{13}} ). Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Question 15

Ông An xây một bể bơi, ban đầu có dạng là hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Sau đó ông làm lại mặt đáy như hình vẽ.

![Cạnh BC của thành bể vuông góc với đường thẳng chứa MN của đáy bể. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/16-1750146925.png)

Biết rằng $A'B'MN$ và $MNEF$ là các hình chữ nhật, $\left( {MNEF} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'D'} \right)$, $AB = 20\,{\rm{m}}$, $AD = 50\,{\rm{m}}$, $AA' = 1,8\,{\rm{m}}$, $MF = 30\,{\rm{m}}$, $DE = 1,5\,{\rm{m}}$.

**a)** Cạnh *BC* của thành bể vuông góc với đường thẳng chứa *MN* của đáy bể.

**b) **Góc giữa thành bể $ABB'A'$ và mặt phẳng chứa phần đáy $\left( {MNA'B'} \right)$ gần bằng $65^\circ 45'$.

**c) **Khoảng cách từ điểm *B* của góc bể đến mặt phẳng chứa phần đáy $\left( {MNA'B'} \right)$ xấp xỉ bằng $1,6599\,\,{\rm{m}}$.

**d) **Ông An bơm nước vào bể để phục vụ cho việc kinh doanh, đến khi mặt nước cách mép trên của thành bể $0,2\,{\rm{m}}$ thì ông dừng lại, và giá tiền nước là 15 000 đồng/m3. Khi đó số tiền nước mà ông An phải trả là 20 400 000 đồng.

Accepted Answer

Ta có (MN ,{ rm{//}} ,A'B' ) (do (A'B'MN ) là hình chữ nhật). Lại có (A'B' bot left( {BCC'B'} right) ), suy ra (MN bot left( {BCC'B'} right) , , Rightarrow , ,MN bot BC ). Ta có [ left( {ABB'A'} right) cap left( {MNA'B'} right) = A'B' ], [BB' bot A'B', ,B'M bot A'B' ]. Do đó, góc giữa thành bể [ABB'A' ] và mặt phẳng chứa phần đáy [ left( {MNA'B'} right) ] là ( widehat {BB'M} ). Kẻ (MK bot B'C' ) tại K. Ta có (MK = FC' = 1,8 - 1,5 = 0,3 , ,({ rm{m)}} ); (B'K = 50 - 30 = 20 , ,({ rm{m)}} ). Do đó, ( tan widehat {MB'K} = frac{{MK}}{{B'K}} = frac{{0,3}}{{20}} = frac{3}{{200}} ). Suy ra ( widehat {MB'K} approx 0^ circ 52' , , Rightarrow , , widehat {BB'M} approx 90^ circ - 0^ circ 52' = 89^ circ 8' ). Kẻ (BH bot B'M ) tại H. Khi đó BH là khoảng cách từ B đến mặt phẳng [ left( {MNA'B'} right) ]. Ta có (BH = BB' cdot sin widehat {BB'H} = 1,8 cdot sin 89^ circ 8' approx 1,79979 , ,{ rm{(m)}} ). Thể tích của bể ban đầu khi chưa làm phần đáy là ({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 20 cdot 50 cdot 1,8 = 1800 , ,({{ rm{m}}^{ rm{3}}}) ). Thể tích của phần đáy khi làm lại là ({V_{MFC'B'.NED'A'}} = left( {30 + 50} right) cdot frac{{0,3}}{2} cdot 20 = 240 , ,{ rm{(}}{{ rm{m}}^{ rm{3}}}) ). Nếu bơm nước đến khi mặt nước cách mép trên của thành bể (0,2 ,{ rm{m}} ) dừng lại thì thể tích phần không có nước phía trên là ({V_0} = 20 cdot 50 cdot 0,2 = 200 , ,({{ rm{m}}^{ rm{3}}}) ). Thể tích nước là (V = 1800 - 240 - 200 = 1 ,360 , ,{ rm{(}}{{ rm{m}}^{ rm{3}}}{ rm{)}} ). Số tiền nước ông An phải trả là (1 ,360 cdot 15 ,000 = 20 ,400 ,000 , )(đồng). Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Question 16

Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang, ở đó độ dốc 100% tương ứng với góc 90 độ (độ dốc 10% tương ứng với góc 9 độ). Giả sử có hai điểm A, B nằm ở độ cao lần lượt là 200 m và 220 m so với mực nước biển và đoạn dốc AB dài 120 m. Độ dốc đó bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Accepted Answer

10,7

Question 17

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $I$ là điểm thuộc $SO$ sao cho $SI = \frac{1}{3}SO$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thay đổi đi qua $B$ và $I$ cắt các cạnh $SA,\,SC,\,SD$ lần lượt tại $M,\,N,\,P$. Gọi $m,\,n$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}$. Tính giá trị của biểu thức $25m + 15n$.

Accepted Answer

Áp dụng định lý Menelaus ta có ( frac{{PS}}{{PD}} cdot frac{{IO}}{{IS}} cdot frac{{BD}}{{BO}} = 1 Leftrightarrow frac{{PS}}{{PD}} cdot 2 cdot 2 = 1 Leftrightarrow frac{{PS}}{{PD}} = frac{1}{4} Rightarrow frac{{SD}}{{SP}} = 5 ). Khi (N equiv C ), áp dụng định lý Menelaus, có ( frac{{MS}}{{MA}} cdot frac{{IO}}{{IS}} cdot frac{{CA}}{{CO}} = 1 Leftrightarrow frac{{MS}}{{MA}} = frac{{IS}}{{IO}} cdot frac{{CO}}{{CA}} = frac{1}{4} Rightarrow frac{{MS}}{{MA}} = frac{1}{4} ). , khi đó ta có với (1 le x le 5 ). Ta có (x left( {6 - x} right) = - { left( {x - 3} right)^2} + 9 ) mà (1 le x le 5 Rightarrow 5 le x left( {6 - x} right) le 9 Rightarrow frac{1}{{15}} le frac{3}{{5x left( {6 - x} right)}} le frac{3}{{25}} ). và . Vậy (25m + 15n = 25 cdot frac{3}{{25}} + 15 cdot frac{1}{{15}} = 4 ). Đáp án: [4 ].

Question 18

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB = 2$, $AD = DC = CB = 1$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 3$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $DM$ (*viết kết quả dưới dạng số thập phân*).

Accepted Answer

Ta có [M ] là trung điểm của [AB ]. Theo giả thiết suy ra [ABCD ] là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính [AB ] [ Rightarrow left { begin{array}{l} widehat {ACB} = 90^ circ ; widehat {ABC} = 60^ circ AC = sqrt 3 end{array} right. ]. Vì [DM{ rm{//}}BC Rightarrow DM{ rm{//}} left( {SBC} right) ]. Do đó [d left( {DM,SB} right) = d left( {DM, left( {SBC} right)} right) = d left( {M, left( {SBC} right)} right) = frac{1}{2}d left( {A, left( {SBC} right)} right) ] (vì [MB = frac{1}{2}AB ]). Kẻ [AH bot SC ] tại [H ]. Ta có [ left { begin{array}{l}BC bot AC BC bot SA end{array} right. Rightarrow BC bot left( {SAC} right) ] [ Rightarrow AH bot BC ]. Khi đó [ left { begin{array}{l}AH bot SC AH bot BC end{array} right. Rightarrow AH bot left( {SBC} right) Rightarrow d left( {A, left( {SBC} right)} right) = AH ]. Xét tam giác [SAC ] vuông tại [A ], ta có [A{H^2} = frac{{A{C^2} cdot S{A^2}}}{{A{C^2} + S{A^2}}} = frac{{{{ left( { sqrt 3 } right)}^2} cdot {3^2}}}{{{{ left( { sqrt 3 } right)}^2} + {3^2}}} = frac{9}{4} ] [ Rightarrow AH = frac{3}{2} ]. Vậy [d left( {DM,SB} right) = frac{1}{2}d left( {A, left( {SBC} right)} right) = frac{1}{2}AH = frac{3}{4} = 0,75 ].

Question 19

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $BC$ và $SM$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ được viết dưới dạng $\frac{a^3\sqrt{m}}{n}$, với $m$ là số nguyên tố. Khi đó, $m - n$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

-22

Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 5. Hình học không gian (Đề số 2)

Xem trước câu hỏi