Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 6. Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Đề số 1)

Question 1

**PHẦN I. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1\,; - 1\,;2} \right)$, $B\left( {2\,;0\,;1} \right)$, $C\left( {0\,; - 1\,;3} \right)$. Giá trị của $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} $ bằng

Accepted Answer

$ - 2$.

Question 2

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\y = 1 - 4t\z = 2 + t\end{array} \right.\;\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ chỉ phương? ** **

Accepted Answer

$\left( { - 2;4; - 1} \right)$.

Question 3

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A\left( {3; - 2;4} \right)$ đến mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ bằng** **

Accepted Answer

2.

Question 4

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2z - 7 = 0$. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng** **

Accepted Answer

3

Question 5

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M'$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {1;3; - 2} \right)$ trên trục $Oz$. Khi đó vectơ $\overrightarrow {MM'} $ có tọa độ là** **

Accepted Answer

$\left( { - 1; - 3;0} \right)$.

Question 6

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\y = 2 - t\z = - 3 + t\end{array} \right.\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$. Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ là** **

Accepted Answer

$\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1}$.

Question 7

Trong chương trình trại hè 2024 – 2025 một nhóm học sinh trường THPT X được giao làm 1 trại hè như hình vẽ. Để trang trí trại cần lắp 1 bóng đèn màu ở vị trí đỉnh trại $O$. Đặt ổ điện nằm trên mặt đất, hỏi độ dài đoạn dây điện ngắn nhất từ ổ điện đến bóng đèn là bao nhiêu để tiết kiệm chi phí. Biết $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc với nhau.

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/71-1750154248.png)

Accepted Answer

$\frac{{12\sqrt {61} }}{{61}}$.

Question 8

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1\,; - 2\,;3} \right)$ và $B\left( {3\,;1\,;1} \right)$. Đường thẳng $AB$ có phương trình là** **

Accepted Answer

$\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$.

Question 9

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)$. Gọi $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$. Tọa độ của điểm $B$ là** **

Accepted Answer

$B\left( {2\,;\, - 3\,;\, - 1} \right)$.

Question 10

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + 2y - z - 3 = 0$. Khi đó, góc giữa mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và mặt phẳng $\left( R \right):3x - 3y - 5z + 2 = 0$ gần nhất với giá trị nào sau đây? ** **

Accepted Answer

$82,8^\circ $.

Question 11

Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $O$ là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây là đúng?** **

Accepted Answer

$\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)$ .

Question 12

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {4;\,1;\,0} \right)$ và $B\left( {2;\, - 1;\,2} \right)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là** **

Accepted Answer

$x + y - z - 2 = 0$.

Question 13

**PHẦN II. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý **a)**, **b)**, **c)**, **d)** ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho tứ diện $S.ABC$ có ba cạnh $SA,{\rm{ }}SB,{\rm{ }}SC$ đôi một vuông góc với nhau và $SA = 2,$$SB = 2,SC = 3$. Gọi điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

**a) **$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 $.

**b) **$\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {GS} $.

**c)** Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {SA} $ và $\overrightarrow {CG} $ bằng $\frac{4}{3}$.

**d) **Tang góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {BS} $ và $\overrightarrow {GC} $ bằng $\sqrt {10} $.

Accepted Answer

Điểm (G ) là trọng tâm của tam giác (ABC ) nên ta có: ( overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0 ). Khi đó, ( overrightarrow {SA} + overrightarrow {SB} + overrightarrow {SC} = left( { overrightarrow {SG} + overrightarrow {GA} } right) + left( { overrightarrow {SG} + overrightarrow {GB} } right) + left( { overrightarrow {SG} + overrightarrow {GC} } right) = 3 overrightarrow {SG} ). Gọi (M ) là trung điểm của (AB ), ta có: ( overrightarrow {SA} cdot overrightarrow {CG} = overrightarrow {SA} cdot frac{2}{3} overrightarrow {CM} = frac{2}{3} overrightarrow {SA} cdot left( { overrightarrow {CS} + overrightarrow {SM} } right) = frac{2}{3} overrightarrow {SA} cdot overrightarrow {CS} + frac{2}{3} overrightarrow {SA} cdot overrightarrow {SM} ). Vì (SA bot SC ) nên ( overrightarrow {SA} cdot overrightarrow {CS} = 0 ). Ta có ( frac{2}{3} overrightarrow {SA} cdot overrightarrow {SM} = frac{2}{3}SA cdot SM cdot cos widehat {ASM} = frac{2}{3} cdot 2 cdot sqrt 2 cdot cos 45^ circ = frac{4}{3} ). Do đó, ( overrightarrow {SA} cdot overrightarrow {CG} = frac{4}{3} ). Gọi (N ) là trung điểm của (SA ), ta có: ( overrightarrow {BS} = 2 overrightarrow {MN} , , overrightarrow {GC} = frac{2}{3} overrightarrow {MC} Rightarrow left( { overrightarrow {BS} , , overrightarrow {GC} } right) = left( { overrightarrow {MN} , , overrightarrow {MC} } right) = widehat {CMN}. ) Ta có (MN{ rm{//}}SB, ,SA bot SB ) nên (MN bot SA ). Lại có (MN bot SC , , left( {{ rm{do}} , ,SC bot left( {SAB} right)} right) ). Do đó, (MN bot left( {SAC} right) ). Suy ra (MN bot CN ). Tam giác (CNM ) vuông tại (N ) nên ( tan widehat {CMN} = frac{{CN}}{{MN}} = frac{{ sqrt {10} }}{1} = sqrt {10} ). Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Question 14

Cho hình minh hoạ sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục toạ độ $Oxyz$, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

![c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/1-1750155133.png)

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Toạ độ điểm $A$ là $\left( {4;0;0} \right)$.

b) Toạ độ điểm $H$ là $\left( {0;5;3} \right)$.

c) Góc dốc của mái nhà, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng $FG$, hai mặt lần lượt là $\left( {FGQP} \right)$ và $\left( {FGHE} \right)$ xấp xỉ bằng $26,6^\circ $.

d) Người ta cần nối một sợi dây điện từ điểm $A$ đến mặt mái $\left( {PQHE} \right)$. Độ dài tối thiểu của sợi dây điện nhỏ hơn $4,4$.

Accepted Answer

Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác (OABC ) là hình chữ nhật, suy ra ({x_A} = {x_B} = 4 ). Do (A ) nằm trên trục (Ox ) nên toạ độ điểm (A ) là ( left( {4;0;0} right) ). Tường nhà là hình chữ nhật nên tứ giác (OCHE ) là hình chữ nhật, suy ra ({y_H} = {y_C} = 5;{z_H} = {z_E} = 3 ). Do (H ) nằm trên mặt phẳng ( left( {Oyz} right) ) nên toạ độ điểm (H ) là ( left( {0;5;3} right) ). Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng (FG ), hai mặt lần lượt là ( left( {FGQP} right) )và ( left( {FGHE} right) ). Do mặt phẳng ( left( {Oxz} right) ) vuông góc với hai mặt phẳng ( left( {FGQP} right) )và ( left( {FGHE} right) ) nên ( widehat {PFE} ) là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó. Ta có ( overrightarrow {FP} = left( { - 2 ,;0 ,; ,1} right), , , overrightarrow {FE} = left( { - 4;0 ,; ,0} right) ). Suy ra ( cos widehat {PFE} = cos left( { overrightarrow {FP} , overrightarrow {FE} } right) = frac{{ overrightarrow {FP} cdot overrightarrow {FE} }}{{ left| { overrightarrow {FP} } right| cdot left| { overrightarrow {FE} } right|}} ) ( = frac{{ left( { - 2} right) cdot left( { - 4} right) + 0 cdot 0 + 1 cdot 0}}{{ sqrt {{{ left( { - 2} right)}^2} + {0^2} + {1^2}} cdot sqrt {{{ left( { - 4} right)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = frac{{2 sqrt 5 }}{5} ). Do đó, ( widehat {PFE} = 26,6^ circ ). Vậy góc dốc của mái nhà khoảng (26,6^ circ ). Ta có ( overrightarrow {PQ} = left( {0 ,; ,5 ,; ,0} right), , , overrightarrow {PE} = left( { - 2 ,; ,0 ,; - 1} right) ). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( left( {PQHE} right) ) là ( overrightarrow n = left[ { overrightarrow {PQ} , overrightarrow {PE} } right] = left( { - 5 ,; ,0 ,; ,10} right) ). Phương trình mặt phẳng ( left( {PQHE} right) ) là ( - x + 2z - 6 = 0 ). Vậy độ dài tối thiểu của sợi dây điện bằng khoảng cách từ (A ) đến mặt phẳng ( left( {PQHE} right) ): (d left( {A, , left( {PQHE} right)} right) = frac{{ left| { - 4 - 6} right|}}{{ sqrt 5 }} = 2 sqrt 5 approx 4,47 > 4,4 ). Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Question 15

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1;\,2;\,5} \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + 2y + 2z - 6 = 0$.

**a)** Vectơ $\overrightarrow n = \left( {1;2;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$.

**b)** Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình là$x + 2y + 2z + 15 = 0$.

**c)** Phương trình mặt phẳng $\left( \gamma \right)$ đi qua hai điểm $O$ và $A$ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $2x - y = 0$.

**d)** Điểm $M\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right) \in \left( \alpha \right)$ sao cho $A,O,M$ thẳng hàng. Khi đó $5a + 10b + c = 12$.

Accepted Answer

Theo định nghĩa vectơ ( overrightarrow n = left( {1;2;2} right) ) là một vectơ pháp tuyến của ( left( alpha right) ). Mặt phẳng ( left( beta right) ) đi qua điểm (A ) và song song với mặt phẳng ( left( alpha right) ) nên [{ vec n_{ left( beta right)}} = left( {1;2;2} right) ]. Do đó, ( left( beta right) ) có phương trình: (x - 1 + 2 left( {y - 2} right) + 2 left( {z - 5} right) = 0 Leftrightarrow x + 2y + 2z - 15 = 0 ). Mặt phẳng ( left( gamma right) ) đi qua hai điểm (O ) và (A ) đồng thời vuông góc với mặt phẳng ( left( alpha right) ) nên [ left { begin{array}{l}{{ vec n}_{ left( gamma right)}} bot overrightarrow {OA} = left( {1;2;5} right) {{ vec n}_{ left( gamma right)}} bot overrightarrow n = left( {1;2;2} right) end{array} right. Rightarrow { vec n_{ left( gamma right)}} = left[ { overrightarrow {OA} ,, , overrightarrow n } right] = left( { - 6;3;0} right) = - 3 left( {2; - 1;0} right) ]. Do đó ( left( gamma right) ) có phương trình: (2x - y = 0 ). Do (M in left( alpha right):x = 6 - 2y - 2z Rightarrow M left( {6 - 2b - 2c;b;c} right); , ,a = 6 - 2b - 2c ). Vì (A,O,M ) thẳng hàng nên ( overrightarrow {OM} ) cùng phương ( overrightarrow {OA} ). Mà ( overrightarrow {OM} = left( {6 - 2b - 2c;b;c} right); , , overrightarrow {OA} = left( {1;2;5} right) ). Suy ra ( frac{{6 - 2b - 2c}}{1} = frac{b}{2} = frac{c}{5} Rightarrow left { begin{array}{l}b = frac{4}{5} c = 2. end{array} right. ) ( Rightarrow M left( { frac{2}{5}; frac{4}{5};2} right) Rightarrow 5a + 10b + c = 2 + 8 + 2 = 12 ). Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Question 16

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\y = 1 + t\z = 2 - 3t\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

**a) **Điểm $M\left( { - 2;2; - 1} \right)$ nằm trên đường thẳng ${d_2}$.

**b) **Hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$vuông góc với nhau.

**c)** Côsin của góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ bằng $ - \frac{5}{{14}}$.

**d)** Hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau.

Accepted Answer

Ta xét hệ: ( left { begin{array}{l} - 2 = - 2t 2 = 1 + t - 1 = 2 - 3t end{array} right. ; Leftrightarrow left { begin{array}{l}t = 1 t = 1 t = 1 end{array} right. Leftrightarrow t = 1 ). Do đó [M in {d_2} ]. Ta có ({ vec u_1} = left( { - 1;2;3} right) ) và ({ vec u_2} = left( { - 2;1; - 3} right) ) lần lượt là hai vectơ chỉ phương của ({d_1} ) và ({d_2} ). Thấy [{ vec u_1} cdot { vec u_2} = 2 + 2 - 9 = - 5 ne 0 ] nên hai đường thẳng ({d_1} ) và ({d_2} ) không vuông góc với nhau. Ta có [ cos left( {{d_1},{d_2}} right) = left| { cos left( {{{ vec u}_1},{{ vec u}_2}} right)} right| = frac{{ left| {{{ vec u}_1} cdot {{ vec u}_2}} right|}}{{ left| {{{ vec u}_1}} right| cdot left| {{{ vec u}_2}} right|}} = frac{{ left| { - 5} right|}}{{ sqrt {{{ left( { - 1} right)}^2} + {2^2} + {3^2}} cdot sqrt {{{ left( { - 2} right)}^2} + {1^2} + {{ left( { - 3} right)}^2}} }} = frac{5}{{14}} ]. Ta có [ left[ { overrightarrow {{u_1}} , overrightarrow {{u_2}} } right] = left( { - 9; - 9;3} right) ne overrightarrow 0 ]. Lấy (A left( {3; - 1;1} right) in {d_1}, , ,B left( {0;1;2} right) in {d_2} Rightarrow overrightarrow {AB} = left( { - 3;2;1} right) ). Do [ left[ { overrightarrow {{u_1}} , overrightarrow {{u_2}} } right] cdot overrightarrow {AB} = 27 - 18 + 3 ne 0 ] nên hai đường thẳng ({d_1} ) và ({d_2} ) chéo nhau. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

Question 17

Trong không gian cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn $\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} + x\overrightarrow {OD} $ với O là một điểm bất kì. Biết rằng bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi $x = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của $n - m$.

Accepted Answer

5

Question 18

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( {1;1;1} \right)$, $B\left( { - 2;1;0} \right)$ và $C\left( {2; - 3;1} \right)$. Điểm $S\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)$ sao cho $P = S{A^2} + S{B^2} + 3S{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $T = a - 5b + 5c$.

Accepted Answer

Gọi (I ) là điểm sao cho [ overrightarrow {IA} + overrightarrow {IB} + 3 overrightarrow {IC} = overrightarrow 0 Rightarrow I left( {1; - frac{7}{5}; frac{4}{5}} right) ]. Ta có [P = S{A^2} + S{B^2} + 3S{C^2} = { overrightarrow {SA} ^2} + { overrightarrow {SB} ^2} + 3{ overrightarrow {SC} ^2} ] [ = { left( { overrightarrow {SI} + overrightarrow {IA} } right)^2} + { left( { overrightarrow {SI} + overrightarrow {IB} } right)^2} + 3{ left( { overrightarrow {SI} + overrightarrow {IC} } right)^2} = 5S{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2} ]. Do các điểm (A,B,C,I ) xác định nên [P = S{A^2} + S{B^2} + 3S{C^2} ] đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi (SI ) nhỏ nhất hay (S ) là hình chiếu vuông góc của điểm (I ) trên mặt phẳng ( left( {Oyz} right) ). Do đó (S left( {0; - frac{7}{5}; frac{4}{5}} right). ) Vậy (T = a - 5b + 5c = 0 - 5 cdot left( { - frac{7}{5}} right) + 5 cdot frac{4}{5} = 11 ). Đáp án: (11 ).

Question 19

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { - 1;\;2;\;0} \right),\;B\left( {1;\;1;\;3} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 3z - 5 = 0$. Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua hai điểm $A,\;B$ và vuông góc $\left( P \right)$ có phương trình là $2x - ay - bz + c = 0.$ Tính giá trị của biểu thức $a + 2b + 3c$.

Accepted Answer

Gọi ( vec n ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( left( Q right) ). Vì ( left( Q right) ) đi qua hai điểm (A, ;B ) và vuông góc ( left( P right) ) nên ( vec n bot overrightarrow {AB} ) và ( vec n bot { vec n_{ left( P right)}} ) với ( overrightarrow {AB} = left( {2; , - 1; ,3} right) ) và ({ vec n_{ left( P right)}} = left( {1; , - 2; ,3} right) ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( left( P right) ). Xét ( vec n = left[ { overrightarrow {AB} , ,{{ vec n}_{ left( P right)}}} right] = left( {3; , - 3; , - 3} right) = 3 left( {1; , - 1; , - 1} right) ). Do đó ({ vec n_{ left( Q right)}} = left( {1; , - 1; , - 1} right) ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( left( Q right) ). Vậy mặt phẳng ( left( Q right) ) đi qua điểm (A left( { - 1; ;2; ;0} right) )và có vectơ pháp tuyến ({ vec n_{ left( Q right)}} = left( {1; , - 1; , - 1} right) ) nên có phương trình là: ( left( {x + 1} right) - left( {y - 2} right) - z = 0 ) ( Leftrightarrow x - y - z + 3 = 0 ) ( Leftrightarrow 2x - 2y - 2z + 6 = 0 ). Suy ra (a = 2, ,b = 2, ,c = 6 ) nên (a + 2b + 3c = 24 ). Đáp án: (24 ).

Question 20

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;0; - 2} \right),\,\,B\left( {3;2;2} \right)$. Tập hợp điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thay đổi thỏa mãn $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 10$ nằm trên mặt cầu bán kính $R$. Tìm bán kính $R$.

Accepted Answer

Ta có ( overrightarrow {AM} = left( {x - 1;y;z + 2} right), , , overrightarrow {BM} = left( {x - 3;y - 2;z - 2} right) ). Theo giả thiết ( overrightarrow {MA} cdot overrightarrow {MB} = 10 Leftrightarrow overrightarrow {AM} cdot overrightarrow {BM} = 10 ) ( Leftrightarrow left( {x - 1} right) left( {x - 3} right) + y left( {y - 2} right) + left( {z + 2} right) left( {z - 2} right) = 10 ) ( Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 11 = 0 ) ( Leftrightarrow { left( {x - 2} right)^2} + { left( {y - 1} right)^2} + {z^2} = 16 ). Vậy tập hợp điểm (M left( {x;y;z} right) ) nằm trên mặt cầu bán kính (R = sqrt {16} = 4 ). Đáp án: (4 ).

Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 6. Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Đề số 1)

Xem trước câu hỏi