Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 6. Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Đề số 2)

Question 1

**PHẦN I. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec a = \left( {2; - 1;0} \right)$, $\vec b = \left( { - 1; - 3;2} \right)$ và $\vec c = \left( { - 2; - 4; - 3} \right)$, tọa độ của $\vec u = 2\vec a - 3\vec b + \vec c$ là

Accepted Answer

$(5; 3; -9)$

Question 2

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x - 2y + 2z - 3 = 0$. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$?** **

Accepted Answer

$N\left( {1;0;1} \right)$.

Question 3

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1\,;0\,;2} \right)$ và $B\left( { - 1\,;2\,;0} \right)$. Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là** **

Accepted Answer

$\left( {0\,;1\,;1} \right)$.

Question 4

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec m = \left( {1; - 1;1} \right)$ và $\vec n = \left( { - 1;1; - 1} \right)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\vec m$, $\vec n$ bằng** **

Accepted Answer

$ - 1$.

Question 5

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1;2; - 2} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + y - 3z + 1 = 0$. Phương trình đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left( P \right)$ là** **

Accepted Answer

**B.$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\y = 2 + t\z = - 2 - 3t\end{array} \right.$**.

Question 6

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1;3;2} \right),\,B\left( {1;0;1} \right),\,C\left( {5; - 3;2} \right)$. Biết rằng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2m$. Giá trị của *m* là** **

Accepted Answer

$m = 9$.** **

Question 7

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - 2y + z - 3 = 0$. Khoảng cách từ điểm $M\left( { - 1;2;0} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng ** **

Accepted Answer

$3$.

Question 8

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1; - 3;4} \right)$, đường thẳng $d$ có phương trình: $\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right)$: $2x + z - 2 = 0$. Phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $M$ vuông góc với $d$ và song song với $\left( P \right)$ là** **

Accepted Answer

$\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$. ** **

Question 9

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x - 2y - z + 5 = 0$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?** **

Accepted Answer

$\left( {{\beta _1}} \right):x - y + 5z - 3 = 0$.** **

Question 10

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( {1;2; - 3} \right),\,\,N$ và vectơ $\vec v = \left( {2; - 1; - 2} \right)$ thỏa mãn điều kiện $\vec v = \overrightarrow {MN} $. Tọa độ của điểm $N$ là** **

Accepted Answer

$\left( {3;1; - 5} \right)$.

Question 11

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 4z - 2 = 0$.** **

Accepted Answer

$I\left( {1; - 1;2} \right),\,\,R = 2\sqrt 2 $. ** **

Question 12

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {2; - 1;4} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $3x - 2y + z + 1 = 0$. Phương trình của mặt phẳng đi qua *M* và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ là** **

Accepted Answer

$3x - 2y + z - 12 = 0$.

Question 13

**PHẦN II. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý **a)**, **b)**, **c)**, **d)** ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA = 100\,\,{\rm{m}}$, chiều rộng $OD = 60\,\,{\rm{m}}$ và tọa độ điểm $B\left( {10;10;8} \right)$.

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/11-1750168297.png)

**a)** $\overrightarrow {OD} = \left( {0;60;0} \right)$.

**b)** $G\left( {100;\,\,0;\,\,60} \right)$.

**c)** Phương trình mặt phẳng $\left( {OBED} \right)$ là: $4x - 5z = 0$.

**d)** Khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $\left( {OBED} \right)$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) là $62,4\,\,{\rm{m}}$.

Accepted Answer

Ta có (OD = 60 , ,{ rm{m}} ) và (D in Oy ) nên (D left( {0;60;0} right) ). Suy ra ( overrightarrow {OD} = left( {0;60;0} right) ). Có (OA = 100 , ,{ rm{m}} ) và (A in Ox ) nên (A left( {100 ,; ,0 ,; ,0} right) ). Suy ra ( overrightarrow {OA} = left( {100 ,; ,0 ,; ,0} right) ). Vì (OAGD ) là hình chữ nhật nên ( overrightarrow {OG} = overrightarrow {OD} + overrightarrow {OA} = left( {100;60;0} right) ). Do đó, (G left( {100; , ,60; , ,0} right) ). Ta có (B left( {10;10;8} right) ) nên ( overrightarrow {OB} = left( {10;10;8} right) ). Xét ( vec n = left[ { overrightarrow {OD} , overrightarrow {OB} } right] = left( {480;0; - 600} right) = 120 left( {4;0; - 5} right) ). Khi đó, ( vec n' = left( {4 ,; ,0 ,; , - 5} right) ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( left( {OBED} right) ). Mặt phẳng ( left( {OBED} right) ) đi qua [O left( {0;0;0} right) ] và có vectơ pháp tuyến ( vec n' = left( {4 ,; ,0 ,; , - 5} right) ) nên có phương trình là: (4x - 5z = 0 ). Khoảng cách từ điểm (G ) đến mặt phẳng ( left( {OBED} right) ) là: (d left( {G, left( {OBED} right)} right) = frac{{ left| {4 cdot 100 - 5 cdot 0} right|}}{{ sqrt {16 + 25} }} = frac{{400 sqrt {41} }}{{41}} approx 62,5 , ,{ rm{m}} ). Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Question 14

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 2025 = 0$.

**a) **Số đo góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $90^\circ $.

**b)** Biết hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $H\left( {3; - 1;2} \right)$, $\alpha $là số đo góc giữa mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và đường thẳng $\Delta $, khi đó ${\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{14}}$.

**c) **Đường thẳng ${d_1}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( {Oxy} \right)$. Gọi $\beta $ là góc giữa ${d_1}$ và mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$. Khi đó $\beta > 30^\circ $.

**d) **Đường thẳng ${d_2}$ vuông góc với $\left( P \right)$ tạo với $\left( Q \right):x + my - 3 = 0$ một góc $30^\circ $. Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ bằng $\frac{{ - 8}}{5}$.

Accepted Answer

a) Ta có ( Delta : frac{x}{{ - 1}} = frac{{y + 3}}{2} = frac{{z - 2}}{3} ) có vectơ chỉ phương là ( vec u = left( { - 1;2;3} right) ). Mặt phẳng ( left( P right):x + 2y - z + 2025 = 0 ) có vectơ pháp tuyến là ( vec v = left( {1;2; - 1} right) ). Ta có ( sin left( { Delta , left( P right)} right) = left| { cos left( { vec u, vec v} right)} right| = frac{{ left| { left( { - 1} right) cdot 1 + 2 cdot 2 + 3 cdot left( { - 1} right)} right|}}{{ sqrt {{{ left( { - 1} right)}^2} + {2^2} + {3^2}} cdot sqrt {{1^2} + {2^2} + {{ left( { - 1} right)}^2}} }} = 0 ). Suy ra số đo góc giữa đường thẳng ( Delta ) và mặt phẳng ( left( P right) ) bằng (0^ circ ). b) Hình chiếu của (O ) lên mặt phẳng ( left( alpha right) ) là (H left( {3; - 1;2} right) ) nên một vectơ pháp tuyến của ( left( alpha right) ) là ( overrightarrow {OH} = left( {3; - 1;2} right) ). Ta có ( sin alpha = left| { cos left( { vec u, overrightarrow {OH} } right)} right| = frac{{ left| { - 3 - 2 + 6} right|}}{{14}} = frac{1}{{14}} ). Suy ra ({ rm{cos}} alpha = frac{{ sqrt {195} }}{{14}} ). c) Mặt phẳng ( left( {Oxy} right) ) có vectơ pháp tuyến là ( vec k = left( {0;0;1} right) ). Đường thẳng ({d_1} ) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( left( P right) ) và ( left( {Oxy} right) ). Suy ra vectơ chỉ phương của ({d_1} ) là ( left[ { vec k, vec v} right] = left( { - 2 ,; ,1 ,; ,0} right) = vec a ). Mặt phẳng [ left( {Oxz} right) ] có vectơ pháp tuyến là ( vec j = left( {0;1;0} right) ). Ta có ( sin beta = left| { cos left( { vec a, vec j} right)} right| = frac{1}{{ sqrt 5 }} Rightarrow beta approx 27^ circ < 30^ circ ). d) Đường thẳng ({d_2} )vuông góc với ( left( P right) ) nên có vectơ chỉ phương là ( vec v = left( {1;2; - 1} right) ). Mặt phẳng [ left( Q right):x + my - 3 = 0 ] có vectơ pháp tuyến là ({ vec n_{ left( Q right)}} = left( {1;m;0} right) ). Ta có ( sin left( {{d_2}, left( Q right)} right) = left| { cos left( {{{ vec n}_{ left( Q right)}}, vec v} right)} right| = frac{{ left| {1 + 2m} right|}}{{ sqrt 6 cdot sqrt {{m^2} + 1} }} = sin 30^ circ = frac{1}{2} ) ( Leftrightarrow 2 left| {1 + 2m} right| = sqrt 6 cdot sqrt {{m^2} + 1} ) ( Leftrightarrow 2 left( {1 + 4m + 4{m^2}} right) = 3 left( {{m^2} + 1} right) ) ( Leftrightarrow 5{m^2} + 8m - 1 = 0 Leftrightarrow m = frac{{ - 4 pm sqrt {21} }}{5} ). Tổng tất cả các giá trị của tham số (m ) bằng ( frac{{ - 8}}{5} ). Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Question 15

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 36 và điểm A(-4; -1; 4). Xét các mệnh đề sau:

a) Tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là (2; -3; 0).

b) Mặt cầu (S) đi qua điểm A.

c) Điểm B(1; 7; 3) nằm bên ngoài mặt cầu (S).

d) Mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 11 = 0 tiếp xúc mặt cầu (S).

Accepted Answer

a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Question 16

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ $O$, các điểm $B\left( {2;0;0} \right)$, $C\left( {0;3;0} \right)$ và $B'\left( {0;0;4} \right)$.

![v (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/12-1750168829.png)

**a)** Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là $V = 24$.

**b)** Nếu $\overrightarrow u = \overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'C} $ thì $\overrightarrow u = \left( {6;3; - 8} \right)$.

**c)** Tọa độ của điểm $C'$ là $C'\left( { - 2;3;4} \right)$.

**d)** Chiếu hình lăng trụ đã cho lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$, ta được một đa giác có diện tích bằng $8$.

Accepted Answer

a) Tính được [ overrightarrow {AB} = left( {2;0;0} right), overrightarrow {AC} = left( {0;3;0} right), overrightarrow {AB'} = left( {0;0;4} right) Rightarrow AB = 2;AC = 3;AB' = 4 ]. Có [Oz bot left( {Oxy} right) ] và [AB' subset Oz ], [ left( {ABC} right) equiv left( {Oxy} right) ] nên [AB' bot left( {ABC} right) ]. Thể tích khối lăng trụ [ABC.A'B'C' ] là: [V = d left( {B', left( {ABC} right)} right) cdot {S_{ Delta ABC}} = AB' cdot frac{1}{2} cdot AB cdot AC = 4 cdot frac{1}{2} cdot 2 cdot 3 = 12 ]. b) Gọi [A' left( {x;y;z} right) Rightarrow overrightarrow {AA'} = left( {x;y;z} right) ]. Có [ overrightarrow {BB'} = left( { - 2;0;4} right) ], mà [ overrightarrow {BB'} = overrightarrow {AA'} ], suy ra toạ độ điểm [A' ] là [ left( { - 2;0;4} right) ]. Từ đó ta có [ overrightarrow {A'B} = left( {4;0; - 4} right), overrightarrow {A'C} = left( {2;3; - 4} right) ]. Vậy [ overrightarrow u = overrightarrow {A'B} + overrightarrow {A'C} ] thì [ overrightarrow u = left( {6;3; - 8} right) ]. c) Gọi [C' left( {a;b;c} right) Rightarrow overrightarrow {CC'} = left( {a;b - 3;c} right) ]. Ta có [ overrightarrow {BB'} = overrightarrow {CC'} ], mà [ overrightarrow {BB'} = left( { - 2;0;4} right) ], suy ra toạ độ điểm [C' ] là [ left( { - 2;3;4} right) ]. d) Hình chiếu vuông góc của điểm [B ] lên mặt phẳng [ left( {Oyz} right) ] là điểm [A ] (do [Ox bot left( {Oyz} right) ]). Do [Ox ,{ rm{//}} ,A'B' ] mà [Ox bot left( {Oyz} right) ] nên [A'B' bot left( {Oyz} right) ], từ đó suy ra hình chiếu vuông góc của điểm [A' ] lên mặt phẳng [ left( {Oyz} right) ] là điểm [B' ]. Gọi [{C_1} left( {m;n;p} right) ] là hình chiếu vuông góc của [C' ] lên mặt phẳng [ left( {Oyz} right) ] [ Rightarrow {C_1} left( {0;3;4} right) ]. Vậy hình chiếu của hình lăng trụ [ABC.A'B'C' ] lên mặt phẳng [ left( {Oyz} right) ]là hình chữ nhật [AB'{C_1}C ]. Diện tích đa giác là: [{S_{AB'{C_1}C}} = AB' cdot AC = 4 cdot 3 = 12 ]. Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Question 17

**PHẦN III. **Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1;0;0} \right)$, $B\left( {0;b;0} \right)$, $C\left( {0;0;c} \right)$ trong đó $b,c$ là các số hữu tỷ dương và mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $y - z + 1 = 0$. Biết rằng mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ và khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng $\frac{1}{3}$. Tính $b + c$.

Accepted Answer

Ta có phương trình mặt phẳng [ left( {ABC} right) ]: [ frac{x}{1} + frac{y}{b} + frac{z}{c} = 1 Leftrightarrow frac{x}{1} + frac{y}{b} + frac{z}{c} - 1 = 0 ]. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [ left( {ABC} right) ] là [{ vec n_{ left( {ABC} right)}} = left( {1; frac{1}{b}; frac{1}{c}} right) ]. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [ left( P right) ] là [{ vec n_{ left( P right)}} = left( {0;1; - 1} right) ]. Theo giả thiết: [ left( {ABC} right) bot left( P right) ] nên [{ vec n_{ left( {ABC} right)}} cdot { vec n_{ left( P right)}} = 0 ] hay [ frac{1}{b} - frac{1}{c} = 0 , , Leftrightarrow , ,b = c , , left( 1 right) ]. Mà [d left( {O, left( {ABC} right)} right) = frac{{ left| { - 1} right|}}{{ sqrt {1 + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}}} }} = frac{1}{3} ] hay [ sqrt {1 + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}}} = 3 , , Leftrightarrow , ,1 + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{c^2}}} = 9 , , left( 2 right) ]. Thay [ left( 1 right) ] vào [ left( 2 right) ] ta được: [1 + frac{1}{{{b^2}}} + frac{1}{{{b^2}}} = 9 , Leftrightarrow frac{2}{{{b^2}}} = 8 Leftrightarrow {b^2} = frac{1}{4} Rightarrow b = frac{1}{2} ] (vì [b ]là số hữu tỷ dương). Suy ra [c = frac{1}{2} ]. Vậy [b + c = 1 ]. Đáp án: (1 ).

Question 18

Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ $Oxyz$ (gốc $O$ đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc $6$ giờ máy bay $A$ xuất phát từ Đà Nẵng đến TP. Hồ Chí Minh theo tia $OA$ lần lượt hợp với ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $800$ km/h. Mười phút sau máy bay $B$ đi Hà Nội theo tia $OB$ hợp với ba tia $Ox'$, $Oy'$, $Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $900$ km/h (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị kilômét và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay $A$ và $B$ lúc $6$ giờ $30$ phút.

![c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/13-1750169006.png)

Accepted Answer

Từ (6{ rm{h}}00 ) đến (6{ rm{h}}30 ) máy bay (A ) đi được quãng đường là: (OA = 800 cdot 0,5 = 400 ) (km). Vì (OA ) tạo với ba trục tọa độ các góc bằng nhau nên suy ra (OM = ON = OP ). Đặt (OM = ON = OP = x ) ( Rightarrow OA = x sqrt 3 = 400 ) ( Leftrightarrow x = frac{{400 sqrt 3 }}{3} ) ( Rightarrow A left( { frac{{400 sqrt 3 }}{3}; frac{{400 sqrt 3 }}{3}; frac{{400 sqrt 3 }}{3}} right) ). Tương tự, từ (6{ rm{h}}10 ) đến (6{ rm{h}}30 ) máy bay (B ) đi được quãng đường là: (OB = 900 cdot frac{1}{3} = 300 ) (km). Vì (OB ) tạo với ba trục các góc bằng nhau nên suy ra (B left( { - 100 sqrt 3 ; - 100 sqrt 3 ;100 sqrt 3 } right) ). Vậy (AB = sqrt {33 cdot {{10}^4}} approx 574 ) (km). Đáp án: 574.

Question 19

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right)$, $B\left( { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)$ và điểm $M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,1} \right)$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và diện tích tam giác $MAB$ nhỏ nhất. Khi đó ${a^3} + {b^3}$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Ta có ( overrightarrow {AM} = left( {a + 1 ,; , ,b - 2 ,; , , - 3} right) ) và ( overrightarrow {BM} = left( {a + 1 ,; , ,b + 2 ,; , , - 1} right) ). Tam giác (MAB ) vuông tại (M ) nên ( overrightarrow {AM} cdot overrightarrow {BM} = 0 Leftrightarrow { left( {a + 1} right)^2} + {b^2} = 1 ) ( Rightarrow {b^2} le 1 Rightarrow - 1 le b le 1 ). Ta có [ left[ { overrightarrow {AM} , , overrightarrow {BM} } right] = left( {2b + 8 ,; , , - 2 left( {a + 1} right) ,; , ,4 left( {a + 1} right)} right) ]. [ Rightarrow {S_{ Delta MAB}} = frac{1}{2} sqrt {4{{ left( {b + 4} right)}^2} + 20{{ left( {a + 1} right)}^2}} = sqrt {{b^2} + 8b + 16 + 5 left( {1 - {b^2}} right)} = sqrt { - 4{b^2} + 8b + 21} ]. Đặt (f left( b right) = - 4{b^2} + 8b + 21 Rightarrow f' left( b right) = - 8b + 8 ge 0, , , forall b in left[ { - 1; ,1} right] ) ( Rightarrow mathop { min } limits_{ left[ { - 1; ,1} right]} f left( b right) = f left( { - 1} right) = 9 ). ( Rightarrow ) [{S_{ Delta MAB}} ] có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi (b = - 1 ) ( Rightarrow ,a = - 1 Rightarrow ) ({a^3} + {b^3} = - 2 ). Đáp án: ( - 2 ).

Question 20

Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam $2\,{\rm{m}}$, cách bạn nữ $4\,{\rm{m}}$. Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với mặt đất. Biết rằng phương trình của $\left( P \right)$ trong không gian $Oxyz$ được mô tả như trong hình vẽ và có dạng $\left( P \right):ax + by + cz = 0$. Khi đó giá trị của ${a^2} - {b^2} + {c^2}$ bằng bao nhiêu?

![c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/14-1750169083.png)

Accepted Answer

Khoảng cách giữa hai bạn học sinh là ( sqrt {{4^2} - {2^2}} = 2 sqrt 3 ). Gọi (M ) là điểm mà quả bóng rơi trên mặt đất. Khi đó (M left( {2;2 sqrt 3 ;0} right) ). Mặt phẳng ( left( P right) ) có cặp vectơ chỉ phương là ( vec k = left( {0;0;1} right) ) và ( overrightarrow {OM} = left( {2;2 sqrt 3 ;0} right) ) nên mặt phẳng ( left( P right) ) có vectơ pháp tuyến là ( overrightarrow n = left( { - 2 sqrt 3 ;2;0} right) ) nên phương trình mặt phẳng ( left( P right): - 2 sqrt 3 x + 2y = 0 ). Vậy ({a^2} - {b^2} + {c^2} = { left( { - 2 sqrt 3 } right)^2} - {2^2} + {0^2} = 8 ). Đáp án: (8 ).

Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 6. Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Đề số 2)

Xem trước câu hỏi