(Trả lời ngắn) 13 bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (có lời giải)

Question 1

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;3;5), B(1;1;3), C(4; -2;3)$. Số đo của góc $\widehat{ABC}$ bằng bao nhiêu độ?

Accepted Answer

120°

Question 2

Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Flycam I ở vị trí $A$ cách vị trí điều khiển $150\;{\rm{m}}$ về phía nam và $200\;{\rm{m}}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $50\;{\rm{m}}$. Flycam II ở vị trí $B$ cách vị trí điều khiển $180\;{\rm{m}}$ về phía bắc và $240\;{\rm{m}}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $60\;{\rm{m}}$. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$với gốc $O$ là vị trí người điều khiển, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$có hướng trùng với hướng nam, trục $Oy$trùng với hướng đông, trục $Oz$vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu mét ( làm tròn đến hàng đơn vị )?

Accepted Answer

Ta có: Vị trí (A,B )có tọa độ lần lượt là: ((150;200;50),( - 180; - 240;60) ). Suy ra khoảng cách giữa hai flycam đó bằng: AB=(−180−150)2+(−240−200)2+(60−50)2≈550( m). Trả lời: 550 m

Question 3

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {3;2; - 1} \right),B\left( { - 1; - x;1} \right),C\left( {7; - 1;y} \right)$. Khi $A,B,C$ thẳng hàng thì giá trị biểu thức $x + y$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Ta có ( overrightarrow {AB} = left( { - 4; - x - 2;2} right) ); ( overrightarrow {AC} = left( {4; - 3;y + 1} right) ). Để (A,B,C ) thẳng hàng thì AB→=kAC→⇔−4=k.4−x−2=k.−32=k.y+1⇔k=−1x=−5y=−3 Vậy x+y=−5−3=−8

Question 4

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( {1; - 2;3} \right)$, $B\left( {4;1; - 1} \right)$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MA} = 4\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MB} $. Giá trị biểu thức $a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

6

Question 5

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;2;3} \right),B\left( { - 2; - 4;9} \right)$. Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$. Bình phương độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Gọi (M left( {x; ,y; ,z} right) ). Vì điểm (M ) thuộc đoạn (AB ) sao cho (MA = 2MB ) nên AB→=3MB→⇔3.−2−x=−33.−4−y=−63.9−z=6⇔x=−1y=−2z=7. ⇒M−1;−2;7⇒OM=1+4+49=54⇒OM2=54

Question 6

Trong không gian $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$. Ba đỉnh $A\left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 1} \right)$, $B\left( {2;{\mkern 1mu} 0;{\mkern 1mu} - 1} \right)$, $C\left( {6;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} 0} \right)$ và hình thang có diện tích bằng $6\sqrt 2 $. Giả sử đỉnh $D\left( {a;b;c} \right)$. Tính $a + b + c$.

Accepted Answer

6

Question 7

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho 3 điểm $A\left( {5\,;\, - 2;0} \right)\,,\,B\left( {4\,;\,5; - 2} \right)$ và $C\left( {0\,;\,3;2} \right)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $Q = 2\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt b $ trong đó $a,b \in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $a + b$.

Accepted Answer

Ta có Q=2MA→+MB→+MC→+3MB→+MC→=23MG⇀+GA→+GB→+GC→+32MI→+IB→+IC→ Với (G left( {3;2;0} right) ) là trọng tâm của tam giác (ABC )và (I left( {2;4;0} right) )là trung điểm (BC ), ta có: Q=23MG⇀+32MI→=6MG+MI Do (G ) và (I ) nằm cùng phía so với (Ox ) nên gọi (G' left( {3; - 2;0} right) ) là điểm đối xứng của (G ) qua (Ox ). Khi đó Q=23MG⇀+32MI→=6MG+MI=6MG'+MI≥6G'I=637 Đẳng thức xảy ra khi (M ) là giao điểm của (G'I ) và (Ox ).

Question 8

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( { - 2;3;1} \right)$, $B\left( {2;1;0} \right)$, $C\left( { - 3; - 1;1} \right)$. Gọi $D\left( {a;b;c} \right)$ là điểm sao cho $ABCD$ là hình thang có cạnh đáy $AD$ và diệt tích hình thang $ABCD$ bằng $4$ lần diện tích tam giác $ABC$. Tính $a + b + c$.

Accepted Answer

Ta có [{S_{ABCD}} = 4{S_{ABC}} Leftrightarrow frac{1}{2}d left( {BC,AD} right) left( {BC + AD} right) = 4. frac{1}{2}d left( {BC,AD} right)BC ] [ Leftrightarrow BC + AD = 4BC Leftrightarrow AD = 3BC ]. Do (ABCD ) là hình thang có đáy (AD ) ( Rightarrow overrightarrow {AD} = 3 overrightarrow {BC} ) ⇔a+2=−15b−3=−6c−1=3⇔a=−17b=−3c=4⇒a+b+c=−16

Question 9

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec a = (3; 1; -2)$ và $\vec b = (-2; 0; -3)$. Tích vô hướng $\vec a \cdot (2\vec a + \vec b)$ bằng

Accepted Answer

28

Question 10

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A\left( {2; - 1;1} \right)$, $B\left( {3;0; - 1} \right)$, $C\left( {2; - 1;3} \right)$, $D \in Oy$ và thể tích tứ diện $ABCD$ bằng $5$. Tổng tung độ của các điểm $D$ thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng

Accepted Answer

-6

Question 11

Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc $20\left( {km} \right)$ và về phía Tây $10\left( {km} \right)$, đồng thời cách mặt đất $0,7\left( {km} \right)$. Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Đông $30\left( {km} \right)$ và về phía Nam $25\left( {km} \right)$, đồng thời cách mặt đất $1\left( {km} \right)$. Xác định khoảng cách giữa hai chiếc máy bay.

![(Trả lời ngắn) Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Bắc (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid4-1754100048.png)

Accepted Answer

Chọn hệ trục tọa độ (Oxyz ), với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng ( left( {Oxy} right) ) trùng với mặt đất, trục (Ox ) hướng về phía Bắc, trục (Oy ) hướng về phía Tây, trục (Oz ) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ). Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ ( left( {20;10;0,7} right) ). Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ ( left( { - 30; - 25;1} right) ). Do đó khoảng cách giữa hai chiếc máy bay là: [ sqrt {{{ left( {20 + 30} right)}^2} + {{ left( {10 + 25} right)}^2} + {{ left( {0,7 - 1} right)}^2}} approx 61 left( {km} right) ]

Question 12

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí cầu thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông $100\left( {km} \right)$ và về phía Nam $80\left( {km} \right)$, đồng thời cách mặt đất $1\left( {km} \right)$. Chiếc khinh khí cầu thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc $70\left( {km} \right)$ và về phía Tây $60\left( {km} \right)$, đồng thời cách mặt đất $0,8\left( {km} \right)$.

![(Trả lời ngắn) Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí cầu thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid6-1754100124.png)

Xác định khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai.

Accepted Answer

Chọn hệ trục tọa độ (Oxyz ), với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu, mặt phẳng ( left( {Oxy} right) ) trùng với mặt đất, trục (Ox ) hướng về phía Bắc, trục (Oy ) hướng về phía Tây, trục (Oz ) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ). Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ ( left( { - 80; - 100;1} right) ). Chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ ( left( {70;60;0,8} right) ). Khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai là: [ sqrt {{{ left( { - 80 - 70} right)}^2} + {{ left( { - 100 - 60} right)}^2} + {{ left( {1 - 0,8} right)}^2}} approx 219 left( {km} right) ]

Question 13

Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông $60\left( {km} \right)$ và về phía Nam $40\left( {km} \right)$, đồng thời cách mặt đất $2\left( {km} \right)$. Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc $80\left( {km} \right)$ và về phía Tây $50\left( {km} \right)$, đồng thời cách mặt đất $4\left( {km} \right)$. Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.

![(Trả lời ngắn) Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid8-1754100560.png)

Xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó.

Accepted Answer

Chọn hệ trục tọa độ (Oxyz ), với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng ( left( {Oxy} right) ) trùng với mặt đất, trục (Ox ) hướng về phía Bắc, trục (Oy ) hướng về phía Tây, trục (Oz ) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ). Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ ( left( { - 60; - 40;2} right) ). Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ ( left( {80;50;4} right) ). Do chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng nên ở vị trí trung điểm, suy ra chiếc máy bay thứ ba có tọa độ ( left( { frac{{ - 60 + 80}}{2}; frac{{ - 40 + 50}}{2}; frac{{2 + 4}}{2}} right) = left( {10;5;3} right) ). Khoảng cách giữa chiếc máy bay thứ nhất và chiếc máy bay thứ hai: [ sqrt {{{ left( { - 60 - 80} right)}^2} + {{ left( { - 40 - 50} right)}^2} + {{ left( {2 - 4} right)}^2}} approx 166,4 left( {km} right) ] Khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó là: [ sqrt {{{10}^2} + {5^2} + {3^2}} approx 11,6 left( {km} right) ]

(Trả lời ngắn) 13 bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (có lời giải)

Xem trước câu hỏi