(Trả lời ngắn) 22 bài tập Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải)

Question 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} + x - 1$, $y = {x^4} + x - 1$, $x = - 1,x = 1$.

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

( frac{4}{{15}} ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = {x^2} + x - 1 ), (y = {x^4} + x - 1 ), (x = - 1,x = 1 ) là (S = int limits_{ - 1}^1 { left| {{x^2} - {x^4}} right|{ rm{d}}} x = int limits_{ - 1}^0 { left| {{x^2} - {x^4}} right|{ rm{d}}} x + int limits_0^1 { left| {{x^2} - {x^4}} right|{ rm{d}}} x ) ( = left| { int limits_{ - 1}^0 { left( {{x^2} - {x^4}} right){ rm{d}}} x} right| + left| { int limits_0^1 { left( {{x^2} - {x^4}} right){ rm{d}}} x} right| = left| { left( { frac{{{x^3}}}{3} - frac{{{x^5}}}{5}} right) left| begin{array}{l}0 - 1 end{array} right.} right| + left| { left( { frac{{{x^3}}}{3} - frac{{{x^5}}}{5}} right) left| begin{array}{l}1 0 end{array} right.} right| = frac{2}{{15}} + frac{2}{{15}} = frac{4}{{15}} ).

Question 2

Kí hiệu $S\left( t \right)$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2x + 1$, $y = 0$, $x = 1$, $x = t$$\left( {t > 1} \right)$. Tìm $t$ để $S\left( t \right) = 10$.

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

[t = 3 ] Ta có: [S left( t right) = int limits_1^t { left| {2x + 1} right|} { rm{ d}}x = int limits_1^t { left( {2x + 1} right)} { rm{ d}}x ]. Suy ra [S left( t right) = left. { left( {{x^2} + x} right)} right|_1^t = {t^2} + t - 2 ]. Do đó [S left( t right) = 10 Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 10 Leftrightarrow {t^2} + t - 12 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 3 t = - 4{ rm{ }} left( L right) end{array} right. ]. Vậy [t = 3 ].

Question 3

Giá trị dương của tham số $m$ sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = 2x + 3$ và các đường thẳng $y = 0,\,x = 0\,,\,x = m$ bằng $10$ là bao nhiêu?

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

(m = 2 ) Vì (m > 0 ) nên (2x + 3 > 0, , forall x in left[ {0 ,; ,m} right] ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = 2x + 3 ) và các đường thẳng (y = 0, ,x = 0 ,, ,x = m ) là: (S = int limits_0^m { left( {2x + 3} right).{ rm{d}}x} = left. { left( {{x^2} + 3x} right)} right|_0^m = {m^2} + 3m ). Theo giả thiết ta có: (S = 10 Leftrightarrow {m^2} + 3m = 10 Leftrightarrow {m^2} + 3m - 10 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = 2 m = - 5 , end{array} right. Leftrightarrow m = 2 , , , left( {{ rm{do}} , , ,m > 0} right) ).

Question 4

Hình vuông $OABC$ có cạnh bằng $4$ được chia thành hai phần bởi đường cong $\left( C \right)$ có phương trình $y = \frac{1}{4}{x^2}$. Gọi ${S_1}$ và ${S_2}$ lần lượt là diện tích của hai phần đó như hình vẽ bên dưới. Tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$ bằng bao nhiêu?

![Hình vuông (OABC) có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid1-1753868970.png)

Accepted Answer

2

Question 5

Cho hình thang cong $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = {{\rm{e}}^x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = \ln 4$. Đường thẳng $x = k$ $\left( {0 < k < \ln 4} \right)$ chia $\left( H \right)$ thành hai phần có diện tích là ${S_1}$ và ${S_2}$ như hình vẽ bên. Tìm $k$ để ${S_1} = 2{S_2}$.

![Hình thang cong giới hạn bởi y=e^x, y=0, x=0, x=ln4](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid2-1753869028.png)

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

k = \ln 3

Question 6

Cắt một vật thể $\left( T \right)$ bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x = 0$ và $x = 2$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\left( {0 \le x \le 2} \right)$ cắt vật thể đó có diện tích thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\sqrt {{x^3}} $. Tính thể tích vật thể $\left( T \right)$.

Accepted Answer

4

Question 7

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x = 1\,;\,x = 3$. Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($1 \le x \le 3$), mặt cắt là tam giác vuông có một góc ${45^0}$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt {4 - \frac{1}{2}{x^2}} $. Tính thể tích vật thể trên.

Trả lời: ………………..

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

( frac{{11}}{6} ) Diện tích tam giác vuông cân là: (S(x) = frac{1}{2} sqrt {4 - frac{1}{2}{x^2}} . sqrt {4 - frac{1}{2}{x^2}} = frac{1}{2} left( {4 - frac{1}{2}{x^2}} right) ) ( Rightarrow ) Thể tích vật thể là: (V = int limits_1^3 { frac{1}{2} left( {4 - frac{1}{2}{x^2}} right)dx = frac{{11}}{6}} )

Question 8

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ xác định bởi các đường $y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}$, $y = 0$, $x = 0$ và $x = 3$ quanh trục $Ox$.

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

(V = frac{{81 pi }}{{35}} ) Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng ( left( H right) ) quanh trục [Ox ] là : (V = pi int limits_0^3 {{{ left( { frac{1}{3}{x^3} - {x^2}} right)}^2}{ rm{d}}x} = pi int limits_0^3 { left( { frac{1}{9}{x^6} - frac{2}{3}{x^5} + {x^4}} right){ rm{d}}x} = frac{{81 pi }}{{35}} ). Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là : (V = frac{{81 pi }}{{35}} ).

Question 9

Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{x}$, $y = 0$ và $x = 4$ quanh trục $Ox$. Đường thẳng $x = a\;\left( {0 < a < 4} \right)$ cắt đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ tại $M$ (hình vẽ). Gọi ${V_1}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Biết rằng $V = 2{V_1}$. Khi đó $a$ bằng bao nhiêu?

![Hình vẽ minh họa](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid3-1753869283.png)

Accepted Answer

3

Question 10

Khi cắt một vật thể hình chiếc niêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left( { - 2 \le x \le 2} \right)$, mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45ο và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt {4 - {x^2}} $ (dm) như hình vẽ. Tính thể tích của vật thể.

Trả lời: ………………..

![Khi cắt một vật thể hình chiếc niêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid4-1753869341.png)

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

Vì mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45° nên mặt cắt là tam giác vuông cân. Do đó diện tích của mặt cắt là: (S(x) = frac{1}{2}{ left( { sqrt {4 - {x^2}} } right)^2} = frac{1}{2} left( {4 - {x^2}} right) = 2 - frac{1}{2}{x^2} ) Thể tích vật thể là: (V = int_{ - 2}^2 { left( {2 - frac{1}{2}{x^2}} right)} dx = left. { left( {2x - frac{{{x^3}}}{6}} right)} right|_{ - 2}^2 = frac{8}{3} + frac{8}{3} = frac{{16}}{3} )

Question 11

Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {4 - x} $ $\left( {x \le 4} \right)$, trục tung và trục hoành như hình vẽ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi xoay D quanh trục Ox.

![Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sqrt (4 - x) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid5-1753869391.png)

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

Thể tích cần tính là: (V = pi int_0^4 {(4 - x)} dx = left. { pi left( {4x - frac{{{x^2}}}{2}} right)} right|_0^4 = 8 pi . )

Question 12

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang OABC có A(0; 1), B(2; 2), C(2; 0) như hình vẽ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang OABC quanh trục hoành.

![Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang OABC có A(0; 1), B(2; 2), C(2; 0) như hình vẽ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang OABC quanh trục hoành. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid6-1753869477.png)

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

Ta có OABC là hình thang vuông, có đường cao OC nằm trên trục Ox . Khi quay hình thang OABC quanh trục Ox ta được khối tròn xoay là khối nón cụt, có bán kính đáy bé ({r_1} = OA = 1 ), bán kính đáy lớn ({r_2} = BC = 2 ) và chiều cao (h ) ( = OC = 2 ). Thể tích cần tính là: (V = frac{1}{3} pi left( {r_1^2 + {r_1}{r_2} + r_2^2} right)h = frac{1}{3} pi left( {{1^2} + 1 cdot 2 + {2^2}} right) cdot 2 = frac{{14 pi }}{3} )

Question 13

Một vật chuyển động với tốc độ $v(t) = 3t + 4$ $({\rm{m}}/{\rm{s}})$, với thời gian t tính theo giây, ${\rm{t}} \in [0;5]$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ ${\rm{t}} = 0$ đến ${\rm{t}} = 5$.

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ (t = 0 ) đến (t = 5 ) là: (s = int_0^5 v (t)dt = int_0^5 {(3t + 4)} dt = left. { left( {3 frac{{{t^2}}}{2} + 4t} right)} right|_0^5 = 57,5 ;{ rm{m}} )

Question 14

Một chất điểm đang chuyển động với tốc độ $v_0 = 1\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ thì tăng tốc với gia tốc không đổi $a = 3\;{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}$. Hỏi tốc độ của chất điểm là bao nhiêu sau 10 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc?

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

31

Question 15

Hình minh họa mặt cắt của một bức thường cũ có dạng hình chữ nhật với một cổng ra và có dạng hình parabol với các kích thước được cho hinh hình bên. Người ta dự định sơn lại mặt ngoài của béc tường đó. Chi phí để sơn bức tường là 15000 đồng/1m2 . Tổng chi phí để sơn toàn bộ mặt ngoài của bức tường là bao nhiêu

![Hình minh họa mặt cắt của một bức thường cũ có dạng hình chữ nhật với một cổng ra và có dạng hình parabol với các kích thước được cho hinh hình bên. Người ta dự định sơn lại mặt ngoài của béc tường đó. Chi phí để sơn bức tường là 15000 đồng/1m2 . Tổng chi phí để sơn toàn bộ mặt ngoài của bức tường là bao nhiêu (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid7-1753869647.png)

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

Ta tính diện tích phần cổng hình parabol. Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân bên trái cổng parabol như hình sau: Gọi phương trình parabol là (y = f(x) = a{x^2} + bx + c(a ne 0) ). Parabol đi qua các điểm ((0;0),(2;4,8) ) và ((4;0) ) nên ta có: Do đó, (y = f(x) = - 1,2{x^2} + 4,8x ). Diện tích phần cổng hình parabol chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = f(x) = - 1,2{x^2} + 4,8x ), trục $O x$ và hai đường thẳng (x = 0,x = 4 ). Ta có ({S_p} = int_0^4 { left( { - 1,2{x^2} + 4,8x} right)} dx = left. { left( { - 0,4{x^3} + 2,4{x^2}} right)} right|_0^4 = 12,8 left( { ;{{ rm{m}}^2}} right) ). Diện tích phần mặt ngoài của bức tường cần sơn là: (S = 10 cdot (2 + 4 + 2) - 12,8 = 67,2 left( {{m^2}} right){ rm{. }} ) Tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường đó là: (67,2 cdot 15000 = 1008000{ rm{ (d?ng)}}{ rm{. }} )

Question 16

Người ta dự định lắp kính cho cửa một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng mái vòm cao 21 m và rộng 70 m

![Người ta  dự định lắp kính cho cửa một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng mái vòm cao 21 m và rộng 70 m (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid9-1753869724.png)

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

Chọn hệ tọa độ Oxy với gốc tọa độ O trùng với chân cửa bên trái như hình dưới đây. Gọi đồ thị hàm số biểu thị cho cửa đã cho có dạng (y = a{x^2} + bx + c(a ne 0) ). Đồ thị hàm số này đi qua gốc tọa độ (O(0;0) ) và các điểm ((35;21),(70;0) ) nên ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{{ rm{c}} = 0} {{ rm{a}} cdot {{35}^2} + { rm{b}} cdot 35 + { rm{c}} = 21 Leftrightarrow } {{ rm{a}} cdot {{70}^2} + { rm{b}} cdot 70 + { rm{c}} = 0} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{ rm{a}} = - frac{3}{{175}}} { ;{ rm{b}} = frac{6}{5}} {{ rm{c}} = 0} end{array}} right.} right.{ rm{. }} )Suy ra (y = - frac{3}{{175}}{x^2} + frac{6}{5}x ) Diện tích mặt kính cần lắp (V ) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = - frac{3}{{175}}{x^2} + frac{6}{5}x ), trục O và hai đường thẳng ({ rm{x}} = 0,{ rm{x}} = 70 ). Ta có” (V = int_0^{70} { left( { - frac{3}{{175}}{x^2} + frac{6}{5}x} right)} dx = left. { left( { - frac{{{x^3}}}{{175}} + frac{{3{x^2}}}{5}} right)} right|_0^{70} = - frac{{{{70}^3}}}{{175}} + frac{{3 cdot {{70}^2}}}{5} = 980 left( { ;{{ rm{m}}^2}} right) )

Question 17

Cửa vòm lấy ánh sáng của một tòa nhà được thiết kế dạng parabol với kích thước như hình vẽ. Người ta định lắp kính cho cửa này. Tính diện tích kính cần lắp, biết rằng người ta chỉ sử dụng một lớp kính và bỏ qua diện tích của khung cửa.

![Cửa vòm lấy ánh sáng của một tòa nhà được thiết kế dạng parabol với kích thước như hình vẽ. Người ta định lắp kính cho cửa này. Tính diện tích kính cần lắp, biết rằng người ta chỉ sử dụng một lớp kính và bỏ qua diện tích của khung cửa. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid11-1753869774.png)

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

Cửa có hình dạng một parabol ((P) ) với phương trình (y = a{x^2} + bx + c ). Parabol ((P) ) có đỉnh (I left( {0; frac{9}{4}} right) ) nên (c = frac{9}{4} ), suy ra ((P):y = a{x^2} + bx + frac{9}{4} ). Vì parabol ((P) ) đi qua các điểm (A left( { - frac{3}{2},0} right),B left( { frac{3}{2};0} right) ) nên ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{ frac{9}{4}a - frac{3}{2}b = - frac{9}{4}} { frac{9}{4}a + frac{3}{2}b = - frac{9}{4}} end{array}} right. ), suy ra ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1} {b = 0} end{array}} right. ) Do đó ((P):y = - {x^2} + frac{9}{4} ). Gọi (S left( { ;{{ rm{m}}^2}} right) ) là diện tích kính cẩn lắp. Ta có (S ) bằng diện tích hình phẳng ((H) ) giới hạn bởi parabol, trục hoành và các đường thẳng (x = - frac{3}{2},x = frac{3}{2} ). (S = int_{ - frac{3}{2}}^{ frac{3}{2}} { left( { - {x^2} + frac{9}{4}} right)} { rm{d}}x = left. { left( { - frac{{{x^3}}}{3} + frac{9}{4}x} right)} right|_{ - frac{3}{2}}^{ frac{3}{2}} = frac{9}{2} left( {{m^2}} right) ) Vậy diện tích kính cản lắp là ( frac{9}{2}{m^2} ).

Question 18

Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao $x({\rm{dm}})(0 \le x \le 4)$ thì mặt nước là hình vuông có cạnh $\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{4}} ({\rm{dm}})$. Tính dung tích của bình.

![Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid12-1753869825.png)

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

Chọn trục Ox như hình vẽ, hai đáy của bình nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại (x = 0 ) và (x = h ). Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ (x(0 le x le 4) ) cắt bình theo mặt cắt là hình vuông và có diện tích là (S(x) = 2 + frac{{{x^2}}}{4} left( {{ rm{d}}{{ rm{m}}^2}} right) ). Do đó dung tích của bình là (V = int_0^4 { left( {2 + frac{{{x^2}}}{4}} right)} dx = left. { left( {2x + frac{{{x^3}}}{{12}}} right)} right|_0^4 = frac{{40}}{3} left( {{ rm{d}}{{ rm{m}}^3}} right) ).

Question 19

Hình vẽ mô phỏng phần bên trong của một chậu cây có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của đồ thị hàm số $y = \sqrt{x} + \frac{3}{2}$ với $0 \le x \le 4$ quanh trục hoành. Tính thể tích phần bên trong (dung tích) của chậu cây, biết đơn vị trên các trục Ox, Oy là decimet.

![Hình vẽ mô phỏng phần bên trong của một chậu cây có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của đồ thị hàm số (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid13-1753869871.png)

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

33\pi

Question 20

Sau khi đo kích thức hai thùng rượu vang như hình bên, bạn Quân xác định thù rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - 0,011{x^2} - 0,071x + 40$, trục Ox và hai đường thẳng x = -35, x = 35 quay quanh trục Ox. Tính thể tích thùng rượu vang đó biết đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimet.

![Sau khi đo kích thức hai thùng rượu vang như hình bên, bạn Quân xác định thù rượu vang có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid14-1753870010.png)

Trả lời: ………………..

Accepted Answer

Thể tích thùng rượu vang đó là: ({ rm{V}} = pi int_{ - 35}^{35} {{{ left( { - 0,011{{ rm{x}}^2} - 0,071{ rm{x}} + 40} right)}^2}} { rm{dx}} ) ( = pi int_{ - 35}^{35} { left( {0,000121{{ rm{x}}^4} + 0,005041{{ rm{x}}^2} + 1600 + 0,001562{{ rm{x}}^3} - 0,88{{ rm{x}}^2} - 5,68{ rm{x}}} right)} { rm{dx}} ) ( = pi int_{ - 35}^{35} { left( {0,000121{{ rm{x}}^4} + 0,001562{{ rm{x}}^3} - 0,874959{{ rm{x}}^2} - 5,68{ rm{x}} + 1600} right)} { rm{dx}} ) ( = left. { pi left( {0,0000242{{ rm{x}}^5} + 0,0003905{{ rm{x}}^4} - 0,291653{{ rm{x}}^3} - 2,84{{ rm{x}}^2} + 1600{ rm{x}}} right)} right|_{ - 35}^{35} ) ( = pi [41873,40106 - ( - 47659,41294)] approx 281275,6307 left( { ;{ rm{c}}{{ rm{m}}^2}} right). )

(Trả lời ngắn) 22 bài tập Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải)

Xem trước câu hỏi