(Trả lời ngắn) 23 bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn (có lời giải)

Question 1

Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số $Q\left( t \right) = 2{t^2} + t$, trong đó $t$ được tính bằng giây (s) và $Q$ được tính theo Culong $\left( C \right).$ Tính cường độ dòng điện tại thời điểm $t = 4$s.

Accepted Answer

17

Question 2

Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = -t^3 + 6t^2 + t + 5$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?

Accepted Answer

13

Question 3

Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là $s\left( t \right)$ (km) là hàm phụ thuộc theo biến $t$ (giây) tuân theo biểu thức sau: $s\left( t \right) = {e^{{t^2} + 3}} + 2t{e^{3t + 1}}$ (km). Vận tốc của tên lửa sau 1 giây là $m.{e^n}$ (km/s). Tính $T = m + n$ (Biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?

Accepted Answer

Ta có: (v left( t right) = s' left( t right) = 2t{e^{{t^2} + 3}} + 2{e^{3t + 1}} + 6t{e^{3t + 1}} Rightarrow v left( 1 right) = 2{e^4} + 2{e^4} + 6{e^4} = 10{e^4} ) (km/s) Vậy ( left { begin{array}{l}m = 10 n = 4 end{array} right. Rightarrow T = m + n = 10 + 4 = 14 )

Question 4

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao $2\;$m với vận tốc ban đầu là $24,5\;$(m/s). Trong Vật lý, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao $h$ (mét) của vật sau $t$ (giây) được cho bởi công thức $h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}.$ Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Accepted Answer

Xét hàm số: (h left( t right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2} ). Tập xác định của hàm số là ( mathbb{R} ). Ta có: [h' left( t right) = - 9,8t + 24,5; , ,h' left( t right) = 0 Leftrightarrow - 9,8t + 24,5 = 0 Leftrightarrow t = frac{5}{2} ] Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại (t = frac{5}{2} ) Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là (t = frac{5}{2} ) giây

Question 5

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật Logistic được mô hình hoá bằng hàm số $f\left( t \right) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0,$trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'\left( t \right)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Accepted Answer

Ta có: (f' left( t right) = frac{{ - 5000{{ left( {1 + 5{e^{ - t}}} right)}^ prime }}}{{{{ left( {1 + 5{e^{ - t}}} right)}^2}}} = frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{ left( {1 + 5{e^{ - t}}} right)}^2}}} ). Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi (f' left( t right) ) lớn nhất. Đặt (h left( t right) = frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{ left( {1 + 5{e^{ - t}}} right)}^2}}} ) có (h' left( t right) = frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{ left( {1 + 5{e^{ - t}}} right)}^2} - 2. left( { - 5{e^{ - t}}} right). left( {1 + 5{e^{ - t}}} right).25000{e^{ - t}}}}{{{{ left( {1 + 5{e^{ - t}}} right)}^4}}} ) ( begin{array}{l} = frac{{ - 25000{e^{ - t}} left( {1 + 5{e^{ - t}}} right) left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} right)}}{{{{ left( {1 + 5{e^{ - t}}} right)}^4}}} = frac{{ - 25000{e^{ - t}} left( {1 - 5{e^{ - t}}} right)}}{{{{ left( {1 + 5{e^{ - t}}} right)}^3}}} h' left( t right) = 0 Leftrightarrow frac{{ - 25000{e^{ - t}} left( {1 - 5{e^{ - t}}} right)}}{{{{ left( {1 + 5{e^{ - t}}} right)}^3}}} = 0 Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 Leftrightarrow {e^{ - t}} = frac{1}{5} Leftrightarrow t = ln 5 , , left( {thoa , ,man} right) end{array} ) Ta có bảng biến thiên với (t in left[ {0; + infty } right) ): Vậy sau khi phát hành khoảng ( ln 5 approx 1,6 ) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Question 6

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: $N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}({\rm{con}}),$trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.

Accepted Answer

Xét hàm số (N left( t right) = 1000 + frac{{100t}}{{100 + {t^2}}} left( {t > 0} right) ). Ta có: (N' left( t right) = frac{{100. left( {100 + {t^2}} right) - 100t.2t}}{{{{ left( {100 + {t^2}} right)}^2}}} = frac{{100. left( {100 - {t^2}} right)}}{{{{ left( {100 + {t^2}} right)}^2}}} ). Khi đó, với (t > 0, , ,N' left( t right) = 0 Leftrightarrow 100 - {t^2} = 0 Leftrightarrow {t^2} = 100 Leftrightarrow t = 10 ). Bảng biến thiên của hàm số (N left( t right) ) như sau: Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng ( left( {0; + infty } right) ) hàm số (N left( t right) ) đạt giá trị lớn nhất bằng 1005 tại (t = 10 ). Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng là 1005 con.

Question 7

Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức $V = k\left( {R - r} \right){r^2}{\rm{; }}0 \le r < R,$trong đó $k$ là hằng số, $R$ là bán kính bình thường của khí quản, $r$ là bán kính khí quản khi ho. Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu so với bán kính khí quản lúc bình thường thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?

Accepted Answer

Ta có: (V' = 2kRr - 3k{r^2} ). Nhận xét (V' = 0 Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{r = 0} {r = frac{{2R}}{3}} end{array}} right. ). Ta có (f left( 0 right) = 0; , ,f left( { frac{{2R}}{3}} right) = frac{{4k{R^3}}}{{27}} ) Vậy bán kính của khí quản khi ho bằng ( frac{2}{3} ) bán kính khí quản lúc bình thường thì tốc độ không khí đi vào là lớn nhất.

Question 8

Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Accepted Answer

Gọi [x ] là số lần tăng giá 100 nghìn đồng ( left( {x > 0} right) ). Khi đó, số căn được cho thuê là: (100 - x ) (căn) Tổng số tiền thu được trong một tháng là: ( begin{array}{l} left( {100 - x} right) left( {8000000 + 100000x} right) = 100000 left( {100 - x} right) left( {80 + x} right) = 100000 left( { - {x^2} + 20x + 8000} right) = 100000 left[ { - {{ left( {x - 10} right)}^2} + 8100} right] le 810000000, forall x > 0 end{array} ) Dấu "=" xảy ra khi (x = 10 ) (thỏa mãn) Vậy để thu được doanh thu là lớn nhất thì người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là: (8000000 + 100000.10 = 9000000 ) (đồng).

Question 9

Giả sử chi phí tiền xăng $C$ (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình $v$(km/h) theo công thức:

$C\left( v \right) = \frac{{16000}}{v} + \frac{5}{2}v\,\,\,\left( {0 < v \le 120} \right)$

Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của $C\left( v \right)$ theo $v$, người ta đã vẽ đồ thị hàm số $C\left( v \right)$ như hình bên.

![(Trả lời ngắn) Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình v (km/h) theo công thức: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid5-1754748641.png)

Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?

Accepted Answer

Tập xác định: (D = left( {0;120} right] ). Đạo hàm (C' left( v right) = - frac{{16000}}{{{v^2}}} + frac{5}{2} = frac{{5 left( {v - 80} right) left( {v + 80} right)}}{{2{v^2}}} = 0 Leftrightarrow v = - 80 ) (loại) hoặc (v = 80 ). Trên khoảng ( left( {0;80} right),C' left( v right) < 0 ) nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. Trên khoảng ( left( {80;120} right),C' left( v right) > 0 ) nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại (v = 80,{C_{CT}} = C left( {80} right) = 400 ). Giới hạn vô cực và tiệm cận: ( mathop { lim } limits_{v to {0^ + }} C left( v right) = mathop { lim } limits_{v to {0^ + }} left( { frac{{16000}}{v} + frac{5}{2}v} right) = + infty ) nên đường thẳng (v = 0 ) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu ( left( {80;400} right) ) và đi qua các điểm ( left( {40;500} right), left( {100;410} right) ), ( left( {120; frac{{1300}}{3}} right) ) như hình. Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy hàm số đạt GTNN khi (v = 80 ) và GTNN là 400. Như vậy, để tiết kiệm tiền xăng nhất, tài xế nên chạy xe với tốc độ trung bình là 80 km/h.

Question 10

Một công ty kinh doanh bất động sản có 20 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng/1 tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu tiền một tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất?

Accepted Answer

Giả sử giá thuê mỗi căn hộ là (x ) triệu đồng/1 tháng và số căn hộ cho thuê là (y ). Khi đó tổng số tiền thu được sẽ là (x.y ). Theo đề bài, ta có: (y = 20 - 5 left( {x - 2} right) ) (vì cứ mỗi lần tăng giá thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống). Do đó ta cần tìm giá trị của (x ) sao cho hàm số (f left( x right) = x left[ {20 - 5 left( {x - 2} right)} right] ) đạt giá trị lớn nhất. Ta có: (f' left( x right) = 30 - 10x ) ( = 0 Rightarrow 30 - 10x = 0 Rightarrow x = 3 ) Cuối cùng ta kiểm tra xem điểm cực này có phải là điểm cực đại hay không: Xác định khoảng: ( left[ { - infty ;3} right], , , left[ {3; + infty } right] ) Chọn ({x_1} = 2 Rightarrow f left( x right) = 10 ) , chọn ({x_2} = 4 Rightarrow f left( x right) = - 10 ) Vì đạo hàm dương với mọi (x < 3 ) là âm với mọi (x > 3 Rightarrow ) hàm số cực đại tại (x = 3 ) Vì vậy, công ty nên cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 triệu đồng/1 tháng để tổng số tiền thu được là lớn nhất.

Question 11

Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách là $300\;$km. Vận tốc dòng nước là $6$(km/h). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v$(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E\left( v \right) = c{v^3}t$ (trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng đơn vị Jun). Cá bơ ngược dòng quãng đường $300\;$km trên trong khoảng thời gian $t$ với vận tốc bằng bao nhiêu để năng lượng tiêu hao là thấp nhất?

Accepted Answer

Vận tốc khi cá bơi ngược dòng sẽ là (v - 6 , )(km/h). Thời gian để bơi quãng đường (300 ; )km là (t = frac{{300}}{{v - 6}} left( h right) ). Năng lượng tiêu hao là (E left( v right) = 300c frac{{{v^3}}}{{v - 6}} , left( J right) ). Do (c > 0 Rightarrow E{ left( v right)_{ min }} Leftrightarrow frac{{{v^3}}}{{v - 6}} = { left( {f left( v right)} right)_{ min }} ). Với (v > 6 ) ta có (f' left( v right) = frac{{3{v^2} left( {v - 6} right) - {v^3}}}{{{{ left( {v - 6} right)}^2}}} = frac{{2{v^3} - 18v}}{{{{ left( {v - 6} right)}^2}}} = 0 Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{v = 0} {v = 9.} end{array}} right. ) Lập bảng biến thiên ta nhận (v = 9 ) (do (v > 6 )). Vậy để năng lượng tiêu hao là thấp nhất thì vận tốc là (9 )(km/h).

Question 12

Thể tích $V$ của $1\;\text{kg}$ nước ở nhiệt độ $t$ ($t$ nằm trong khoảng từ 0°C đến 30°C) được cho bởi công thức:

$V(t) = 999,87 - 0,06426t + 0,0085043t^2 - 0,0000679t^3$ (đơn vị: $\text{cm}^3$).

Ở nhiệt độ bao nhiêu độ C thì nước có khối lượng riêng lớn nhất?

Accepted Answer

4°C

Question 13

Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được $N$ lô hàng nếu chi hết số tiền là $x$ (triệu đồng) vào việc quảng cáo. Biết rằng $N$ và $x$ liên hệ với nhau bằng biểu thức $N\left( x \right) = - {x^2} + 30x + 6,0 \le x \le 30$. Hãy tìm số lô hàng lớn nhất mà công ti có thể bán sau đợt quảng cáo?

Accepted Answer

Ta có (N left( x right) = - {x^2} + 30x + 6 Rightarrow N' left( x right) = - 2x + 30 Rightarrow N' left( x right) = 0 Leftrightarrow x = 15. ) Đồng thời, ta cũng có ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{N left( 0 right) = 6} {N left( {15} right) = 231} {N left( {30} right) = 6} end{array} Rightarrow {{ max }_{x in [0;30]}}N left( x right) = 231 Leftrightarrow x = 15.} right. ) Vậy nếu công ti dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ti sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.

Question 14

Công ti truyền hình cáp Vista hiện có 100.000 thuê bao. Mỗi thuê bao đang trả cước thuê bao 40$/tháng. Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần giảm 0,25$ cước thuê bao, công ti có thể có thêm 1.000 thuê bao. Để doanh thu thu được là tối đa, công ti cần xác định mức cước thuê bao mỗi tháng là bao nhiêu?

Accepted Answer

32,5$

Question 15

Một bài báo trong tạp chí xã hội học phát biểu rằng nếu một chương trình chăm sóc sức khỏe đặc biệt cho người già được khởi xướng, thì $t$ năm sau khi nó được khởi động, $n$ ngàn người già có thể trực tiếp nhận được các phúc lợi, trong đó $n = \frac{{{t^3}}}{3} - 6{t^2} + 32t\,\,\,\left( {0 \le t \le 12} \right)$. Với giá trị nào của $t$ thì số người nhận phúc lợi tối đa là bao nhiêu?

Accepted Answer

Đạo hàm (n' left( t right) = 0 ) ta có (n' left( t right) = {t^2} - 12t + 32 = 0 Leftrightarrow left( {t - 4} right) left( {t - 8} right) = 0 Leftrightarrow left[ { begin{array}{*{20}{l}}{t = 4} {t = 8.} end{array}} right. ) Vì tập xác định của (n ) là một khoảng đóng ( left[ {0;12} right] ) nên (n ) đạt cực đại tuyệt đối tại (t = 0,t = 4,t = 8 ) hoặc (t = 12 ): (n left( 0 right) = frac{{{0^3}}}{3} - 6 left( {{0^2}} right) + 32.0 = 0; , ,n left( 4 right) = frac{{{4^3}}}{3} - 6 left( {{4^2}} right) + 32.4 = frac{{160}}{3} ) (n left( 8 right) = frac{{{8^3}}}{3} - 6 left( {{8^2}} right) + 32.8 = frac{{128}}{3}; , ,n left( {12} right) = frac{{{{12}^3}}}{3} - 6 left( {{{12}^2}} right) + 32.12 = frac{{288}}{3} = 96 ) Do đó (n ) đạt cực đại khi (t = 12 ) (năm).

Question 16

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s = - {t^3} + 6{t^2} + 17t$, với $t\left( s \right)$ là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s\left( m \right)$ là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 8 giây đầu tiên, vận tốc $v\left( {m/s} \right)$của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng?

Accepted Answer

Ta có : [v = s' = - 3{t^2} + 12t + 17 ] Ta đi tìm giá trị lớn nhất của [v = - 3{t^2} + 12t + 17 ] trên khoảng [ left( {0;8} right) ] Mặt khác: [v' = - 6{t^2} + 12 ] [ = 0 Rightarrow t = 2 ] Bảng biến thiên: Vậy vận tốc lớn nhất trong khoảng 8 giây đầu tiên là: [29 ](m/s).

Question 17

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Accepted Answer

Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là (x left( {x in { rm N}, , ,x > 0} right) ). Thời gian cần để sản xuất hết (8000 ) quả bóng là: ( frac{{8000}}{{30x}} ). Tổng chi phí để sản xuất là: (P left( x right) = 200x + frac{{8000}}{{30x}}.192 = 200x + frac{{51200}}{x} ) Ta có: (P' left( x right) = 200 - frac{{51200}}{{{x^2}}} = 0 Leftrightarrow {x^2} = 256 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 16 x = - 16 left( {loai} right) end{array} right. ). Bảng biến thiên: Vậy công ty nên sử dụng (16 ) máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.

Question 18

Cắt một đoạn dây dài $60{\rm{m}}$thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một tam giác đều có diện tích ${S_1}$, đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích ${S_2}$ (như hình vẽ dưới)

![(Trả lời ngắn) Cắt một đoạn dây dài thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một tam giác đều có diện tích s1 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid10-1754749366.png)

Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng $T = {S_1} + {S_2}$ là bao nhiêu?

Accepted Answer

Gọi độ dài đoạn dây gấp tam giác đều là (x ) thì độ dài đoạn dây gấp hình vuông là (60 - x )(mét) Khi đó (x = 3a Leftrightarrow a = frac{x}{3} Rightarrow {S_1} = frac{{{a^2} sqrt 3 }}{4} = frac{{{x^2} sqrt 3 }}{{36}} ) Mặt khác: (60 - x = 4b Rightarrow b = frac{{60 - x}}{4} Rightarrow {S^2} = {b^2} = { left( { frac{{60 - x}}{4}} right)^2} ) Khi đó ({S_1} + {S_2} = frac{{{x^2} sqrt 3 }}{{36}} + { left( { frac{{60 - x}}{4}} right)^2} Leftrightarrow f left( x right) = frac{{ left( {9 + 4 sqrt 3 } right){x^2} - 1080x + 32400}}{{144}} ) Dễ dàng tính được ({ left( {{S_1} + {S_2}} right)_{ min }} = min ,f left( x right) = f left( { frac{{540}}{{9 + 4 sqrt 3 }}} right) approx 97,87 , left( {{{ rm{m}}^2}} right) ).

Question 19

Cắt một đoạn dây dài $30{\rm{m}}$thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một đường tròn có diện tích ${S_1}$, đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích ${S_2}$ (như hình vẽ dưới)

![(Trả lời ngắn) Cắt một đoạn dây dài thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một đường tròn có diện tích s1 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid12-1754749431.png)

Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng $T = {S_1} + {S_2}$ là bao nhiêu?

Accepted Answer

Gọi độ dài đoạn dây gấp đường tròn là (x ) thì độ dài đoạn dây gấp hình vuông là (30 - x )(mét) Khi đó [x = 2 pi a Leftrightarrow a = frac{x}{{2 pi }} Rightarrow {S_1} = pi {a^2} = frac{{{x^2}}}{{4 pi }} ] Mặt khác: (30 - x = 4b Rightarrow b = frac{{30 - x}}{4} Rightarrow {S^2} = {b^2} = { left( { frac{{30 - x}}{4}} right)^2} ) Khi đó ({S_1} + {S_2} = frac{{{x^2}}}{{4 pi }} + { left( { frac{{30 - x}}{4}} right)^2} Leftrightarrow f left( x right) = frac{{ left( { pi + 4} right){x^2} - 60 pi x + 900 pi }}{{16 pi }} ) Dễ dàng tính được ({ left( {{S_1} + {S_2}} right)_{ min }} = min ,f left( x right) = f left( { frac{{30 pi }}{{ pi + 4}}} right) approx 31,51 , left( {{{ rm{m}}^2}} right) ).

Question 20

Một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích bằng $48$ và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chất liệu làm đáy và $4$ mặt bên của hộp có giá thành gấp ba lần giá thành của chất liệu làm nắp hộp. Gọi $h$ là chiều cao của hộp để giá thành của hộp là thấp nhất. Biết $h = \frac{m}{n}$ với $m$, $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tổng $m + n$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Gọi chiều dài, chiều rộng của hộp là (2x ) và (x ) ((x > 0) ). Khi đó, ta có thể tích của cái hộp là: [V = 2{x^2}.h Rightarrow 2{x^2}.h = 48 Leftrightarrow {x^2}.h = 24 ] Do giá thành làm đáy và mặt bên hộp là (3 ), giá thành làm nắp hộp là (1 )nên giá thành làm hộp là [L = 3 left( {2{x^2} + 2xh + 4xh} right) + 2{x^2} ] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta được: [L = 8{x^2} + 9xh + 9xh ge ] [3 sqrt[3]{{8{x^2}.9xh.9xh}} ] [ = 3 sqrt[3]{{648{{ left( {{x^2}h} right)}^2}}} = 216 ] Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: ( left { begin{array}{l}8{x^2} = 9xh {x^2}h = 24 end{array} right. ) ( Rightarrow left { begin{array}{l}x = frac{{9h}}{8} frac{{{9^2}}}{{{8^2}}}.{h^3} = 24 end{array} right. ) ( Rightarrow left { begin{array}{l}x = 3 h = frac{8}{3} end{array} right. ) Vậy (m = 8 ), (n = 3 ) và (m + n = 11 ).

(Trả lời ngắn) 23 bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn (có lời giải)

Xem trước câu hỏi