(Trả lời ngắn) 27 bài tập Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (có lời giải)

Question 1

Nếu hai biến cố $A$, $B$ thoả mãn $P(B) = 0,4$; $P(A|B) = 0,5$; $P(A|\bar{B}) = 0,3$ thì $P(A)$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

0,38

Question 2

Nếu hai biến cố $A$, $B$ thoả mãn $P(A) = 0,3$; $P(B) = 0,6$; $P(A|B) = 0,4$ thì $P(B|A)$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

0,8

Question 3

Cho hai biến cố xung khắc $A$, $B$ với $P(A) = 0,15$ và $P(B) = 0,45$. Tính $P(A|B)$.

Accepted Answer

0

Question 4

Cho hai biến cố $A$, $B$ với $0 < {\rm{P}}(B) < 1$ và ${\rm{P}}(A \cap B) = 0,2;{\rm{P}}(A \cap \bar B) = 0,3$. Tính ${\rm{P}}(A)$.

Accepted Answer

0,5

Question 5

Cho hai biến cố $A$, $B$ sao cho $P(A) = 0,5$; $P(B) = 0,2$; $P(A|B) = 0,25$. Tính $P(B|A)$.

Accepted Answer

0,1

Question 6

Cho hai biến cố $A$, $B$ sao cho $P(A) = 0,6$; $P(B) = 0,4$; $P(A|B) = 0,3$. Tính $P(B|A)$.

Accepted Answer

0,2

Question 7

Cho hai biến cố $A$, $B$ sao cho ${\rm{P}}(A) = 0,4$; ${\rm{P}}(B) = 0,8;{\rm{P}}(B\mid A) = 0,3$. Tính ${\rm{P}}(A\mid B)$.

Accepted Answer

Áp dụng công thức Bayes, ta có: ({ rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) = frac{{P(A) cdot P(B mid A)}}{{P(B)}} = frac{{0,4 cdot 0,3}}{{0,8}} = 0,15 )

Question 8

Cho hai biến cố $A$, $B$ với ${\rm{P}}(B) = 0,6;{\rm{P}}(A\mid B) = 0,7$ và ${\rm{P}}(A\mid \bar B) = 0,4$. Tính ${\rm{P}}(A)$.

Accepted Answer

Ta có (P(B) = 0,6 ). Suy ra (P( bar B) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4 ). Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}({ rm{A}}) = { rm{P}}({ rm{B}}) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid { rm{B}}) + { rm{P}}( bar B) cdot { rm{P}}({ rm{A}} mid bar B) = 0,6 cdot 0,7 + 0,4 cdot 0,4 = 0,58.{ rm{ }} )

Question 9

Cho hai biến cố xung khắc $A$, $B$ với $P(A) = 0,2$ và $P(B) = 0,4$. Tính $P(A|B)$.

Accepted Answer

0

Question 10

Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,2% và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có 6% những người không bị bệnh X lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh X là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Accepted Answer

0,03

Question 11

Có hai thùng I và II chứa các sản phẩm có khối lượng và hình dạng như nhau. Thùng I có 5 chính phẩm và 4 phế phẩm, thùng 2 có 6 chính phẩm và 8 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ thùng I sang thùng II. Sau đó, lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ thùng II để sử dụng. Xác suất lấy được chính phẩm từ thùng II là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Accepted Answer

Xét các biến cố: (A ): "Lấy được 1 chính phẩm từ thùng I sang thùng II"; (B ): "Lây được 1 chính phẩm từ thùng II". Khi đó, (P left( A right) = frac{5}{9}; , ,P left( { overline A } right) = frac{4}{9}; , ,P left( {B|A} right) = frac{7}{{15}}; , ,P left( {B| overline A } right) = frac{6}{{15}} = frac{2}{5} ). Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố (B ) là: (P left( B right) = P left( A right).P left( {B|A} right) + P left( { overline A } right).P left( {B| overline A } right) = frac{5}{9}. frac{7}{{15}} + frac{4}{9}. frac{2}{5} approx 0,44 ).

Question 12

Tỉ lệ bị bệnh cúm tại một địa phương bằng $0,25$. Khi thực hiện xét nghiệm chẩn đoán, nếu người có bệnh cúm thì khả năng phản ứng dương tính là $96\% $, nếu người không bị bệnh cúm thì khả năng phàn ứng dương tính $8\% $. Chọn ngẫu nhiên 1 người tại địa phương đó. Xác suất người được chọn có phản ứng dương tính là bao nhiêu?

Accepted Answer

Xét các biến cố (A ): "Chọn được người bi bệnh cúm"; (B ): "Chọn được người có phản ứng dương tính". Khi đó (P left( A right) = 0,25; , ,P left( { overline A } right) = 0,75; , ,P left( {B|A} right) = 0,96; , ,P left( {B| overline A } right) = 0,08 ). Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố (B ) là: (P left( B right) = P left( A right).P left( {B|A} right) + P left( { overline A } right).P left( {B| overline A } right) = 0,25.0,96 + 0,75.0,08 = 0,3 ).

Question 13

Thực hiện khảo sát tại một địa phương mà số trẻ em nam gấp 1,5 lần số trẻ em nữ, có 8% số trẻ em nam bị hen phế quản, 5% số trẻ em nữ bị hen phế quản. Chọn ngẫu nhiên 1 trẻ em. Giả sử trẻ em được chọn bị hen phế quản. Xác suất chọn được trẻ em nam là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Accepted Answer

0,7

Question 14

Truờng Bình Phúc có $20{\rm{\% }}$ học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có $85{\rm{\% }}$ học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có $10{\rm{\% }}$ số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu?

Accepted Answer

Xét các biến cố: (A ): "Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc"; (B ): “Chọn được học sinh biết chơi đàn guitar”. Khi đó, [P left( A right) = 0,2; , ,P left( { overline A } right) = 0,8; , ,P left( {B|A} right) = 0,85; , ,P left( {B| overline A } right) = 0,1 ]. Theo công thức xác suất toàn phần ta có: (P left( B right) = P left( A right).P left( {B|A} right) + P left( { overline A } right).P left( {B| overline A } right) = 0,2.0,85 + 0,8.0,1 = 0,25 ). Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, biết học sinh đó chơi được đàn guitar, là: (P left( {A|B} right) = frac{{P left( A right).P left( {B backslash A} right)}}{{P left( B right)}} = frac{{0,2.0,85}}{{0,25}} = 0,68 ).

Question 15

Kết quả khảo sát tại một xã cho thấy có $20\% $ cư dân hút thuốc lá. Tỉ lệ cư dân thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp trong số những người hút thuốc lá và không hút thuốc lá lần lượt là $70\% ,15\% $. Nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là bao nhiêu?

Accepted Answer

Giả sử ta gặp một cư dân của xã, gọi - A là biến cố "Người đó có hút thuốc lá" - B là biến cố "Người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp". Ta có sơ đồ hình cây sau: Ta có: [P(B) = P(A){ rm{ }}.P(B|A) + P( overline A ){ rm{ }}.P(B| overline A ) = 0,14 + 0,12 = 0,26 ].Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thì xác suất người đó thường xuyên gặp các vấn đềsức khoẻ về đường hô hấp là [26 % ]. Theo công thức Bayes, ta có: [P(A|B) = frac{{P left( A right).P left( {B|A} right)}}{{P left( B right)}} = frac{{0,14}}{{0,26}} approx 0,54 ]Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đườnghô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là khoảng [54 % ]

Question 16

Một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất ra cùng một loại sản phẩm. Xác suất để phân xưởng I, phân xưởng II và phân xưởng III sản xuất được sản phẩm loại một lần lượt là $0,7$, $0,8$ và $0,6$. Từ một lô hàng gồm $20\% $ sản phẩm của phân xưởng I, $50\% $ sản phẩm của phân xưởng II và $30\% $ sản phẩm của phân xưởng III người ta lấy ra một sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để sản phẩm được kiểm tra là loại một.

Accepted Answer

- Gọi (A ) là sự kiện "sản phẩm được kiểm tra là loại một"; ({B_1},{B_2},{B_3} ) lần lượt là sự kiện "sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I, II và III sản xuất". - Hệ ( left { {{B_1},{B_2},{B_3}} right } ) tạo thành một hệ đầy đủ với (P left( {{B_1}} right) = 0,2,P left( {{B_2}} right) = 0,5 ) và (P left( {{B_3}} right) = 0,3 ). - Áp dụng công thức xác suất đầy đủ với (P left( {A mid {B_1}} right) = 0,7,P left( {A mid {B_2}} right) = 0,8 ) và (P left( {A mid {B_3}} right) = 0,6 ) ta nhận được ( begin{array}{l}P(A) = P left( {{B_1}} right)P left( {A mid {B_1}} right) + P left( {{B_2}} right)P left( {A mid {B_2}} right) + P left( {{B_3}} right)P left( {A mid {B_3}} right) { rm{ }} = 0,2 times 0,7 + 0,5 times 0,8 + 0,3 times 0,6 = 0,72 = 72 % end{array} )

Question 17

Có 10 lọ hóa chất trong đó có 4 lọ loại I, 6 lọ loại II. Nếu dùng lọ loại I thì kết quả tốt với xác suất 0, 9 , nếu dùng lọ loại II thì kết quả tốt với xác suất 0, 5 . Xác suất để lọ hóa chất tốt này thuộc loại I bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Accepted Answer

a) Gọi ({B_1} ) là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại I", ({B_2} ) là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất loại II", (A ) là biến cố: "Lấy được lọ hóa chất có kết quả tốt". Ta thấy ( left { {{B_1},{B_2}} right } ) là hệ đầy đủ các biến cố và ( begin{array}{l} mathbb{P} left( {{B_1}} right) = frac{4}{{10}}, mathbb{P} left( {{B_2}} right) = frac{6}{{10}} mathbb{P} left( {A mid {B_1}} right) = 0,9, mathbb{P} left( {A mid {B_2}} right) = 0,5 end{array} ) ( ) Theo công thức xác suất đầy đủ ( begin{array}{*{20}{l}}{ mathbb{P}(A)}&{ = mathbb{P} left( {{B_1}} right) mathbb{P} left( {A mid {B_1}} right) + mathbb{P} left( {{B_2}} right) mathbb{P} left( {A mid {B_2}} right)} {}&{ = frac{4}{{10}} times 0,9 + frac{6}{{10}} times 0,5} {}&{ = 0,66} end{array} ) ( ) Ta cần tính xác suất ( mathbb{P} left( {{B_1} mid A} right) ), theo công thức Bayes [ mathbb{P} left( {{B_1} mid A} right) = frac{{ mathbb{P} left( {{B_1}} right) mathbb{P} left( {A mid {B_1}} right)}}{{ mathbb{P}(A)}} = frac{{ frac{4}{{10}} times 0,9}}{{0,66}} = frac{6}{{11}} approx 0,545 ]

Question 18

Tỉ lệ bị bệnh cúm tại một địa phương bằng $0,25$. Khi thực hiện xét nghiệm chẩn đoán, nếu người có bệnh cúm thì khả năng phản ứng dương tính là $96\% $, nếu người không bị bệnh cúm thì khả năng phàn ứng dương tính $8\% $. Chọn ngẫu nhiên 1 người tại địa phương đó. Xác suất người được chọn có phản ứng dương tính là bao nhiêu?

Accepted Answer

Xét các biến cố (A ): "Chọn được người bi bệnh cúm"; (B ): "Chọn được người có phản ứng dương tính". Khi đó (P left( A right) = 0,25; , ,P left( { overline A } right) = 0,75; , ,P left( {B|A} right) = 0,96; , ,P left( {B| overline A } right) = 0,08 ). Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố (B ) là: (P left( B right) = P left( A right).P left( {B|A} right) + P left( { overline A } right).P left( {B| overline A } right) = 0,25.0,96 + 0,75.0,08 = 0,3 ).

Question 19

Trường Bình Phúc có 20% học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu?

Accepted Answer

0,68

Question 20

Chuồng 1 có 5 con gà mái, 2 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái, 5 con gà trống. Bác Mai bắt một con gà trong số đó theo cách sau: "Bác tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu số chấm chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng I . Nếu số chấm không chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng II. Sau đó, từ chuồng đã chọn bác bắt ngẫu nhiên một con gà”. Tính xác suất để bác Mai bắt được con gà mái.

Accepted Answer

Gọi A là biến cố: “Chọn chuồng I"; (B ) là biến cố: "Bắt được gà mái". Vi nếu tung xúc xắc mà số chấm xuất hiện chia hết cho 3 thì bác chọn chuồng I nên ta có (P(A) = frac{2}{6} = frac{1}{3} ). Suy ra (P( bar A) = 1 - P(A) = frac{2}{3} ). Từ dữ kiện bài ra, ta suy ra được: (P(B mid A) = frac{5}{7},P(B mid bar A) = frac{3}{8} ) Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}({ rm{B}}) = { rm{P}}({ rm{A}}) cdot { rm{P}}({ rm{B}} mid { rm{A}}) + P( bar A) cdot P(B mid bar A) = frac{1}{3} cdot frac{5}{7} + frac{2}{3} cdot frac{3}{8} = frac{{41}}{{84}} approx 0,4881 ) Vậy xác suất để bác Mai bắt được con gà mái là 0,4881 .

(Trả lời ngắn) 27 bài tập Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (có lời giải)

Xem trước câu hỏi