(Trả lời ngắn) 30 bài tập Vectơ trong không gian (có lời giải)

Question 1

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A'D'$ và $C'D'$. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{A'B}$. Số đo của góc $\varphi$ là:

Accepted Answer

60 độ

Question 2

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A'D'$ và $C'D'$. Tích vô hướng $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{C'B} = n a^2$ ($n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

-0,5

Question 3

Cho hình lập phương $ABCD \cdot A'B'C'D'\left( {H.2.6} \right)$. Trong các vectơ $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AD'} $ :

a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {{\rm{ABCD}}} \right)$ ?

b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?

![(Trả lời ngắn) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H.2.6). Trong các vectơ (AC) ,(AD) ,(AD^' ): (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid1-1753711535.png)

Accepted Answer

a) Trong các vectơ ( overrightarrow {AC} , overrightarrow {AD} , overrightarrow {AD'} ), hai vectơ ( overrightarrow {AC} , overrightarrow {AD} ) có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD) b) Vì (ABCD cdot A'B'C'D' ) là hình lập phương nên (AD = DC = DD' ) Tam giác ADD' vuông tại (D ) nên theo định lý Pythagore ta có: (AD' = sqrt {A{D^2} + D{D^{{ rm{'}}2}}} = AD sqrt 2 ) Tam giác ADC vuông tại (D ) nên theo định lý Pythagore ta có: (AC = sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = AD sqrt 2 ) Do đó, (AD' = AC ) hay ( left| { overrightarrow {AC} } right| = left| { overrightarrow {AD'} } right| ). Vậy hai vectơ ( overrightarrow {AC} , overrightarrow {AD'} ) có cùng độ dài.

Question 4

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC \cdot A'B'C'\left( {H.2.25} \right)$. Tính các góc $\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ và $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right)$.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/1-1753711891.png)

Accepted Answer

Vì (ABC cdot A'B'C' ) là lăng trụ tam giác đều nên (AA'B'B ) là hình chữ nhật. Suy ra, ( overrightarrow {AA'} = overrightarrow {BB'} ). Do đó: ( left( { overrightarrow {AA'} , overrightarrow {BC} } right) = left( { overrightarrow {BB'} , overrightarrow {BC} } right) = widehat {B'BC} = {90^ circ } ) (do ({ rm{B}}{{ rm{B}}^{ rm{'}}}C'{ rm{C}} ) là hình chữ nhật)Vì AA'B'B là hình chữ nhật nên ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {A'B'} ).Do đó, ( left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {A'C'} } right) = left( { overrightarrow {A'B'} , overrightarrow {A'C'} } right) = widehat {C'A'B'} ).Vì tam giác (A'B'C' ) là tam giác đều nên ( widehat {C'A'B'} = {60^ circ } ). Do đó, ( left( { overrightarrow {AB} , widehat {A'C'}} right) = {60^ circ } ).

Question 5

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\vec{A'C}$ và $\vec{B'D'}$.

Accepted Answer

0

Question 6

Như đã biết, nếu có một lực $\vec F$ tác động vào một vật tại điểm $M$ và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường ${\rm{MN}}$ thì công ${\rm{A}}$ sinh ra được tính theo công thức $A = \vec F \cdot \overrightarrow {MN} $, trong đó lực ${\rm{F}}$ có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường $MN$ tính bằng mét và công $A$ tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực $\vec F$ có độ lớn không đổi để lâm một vật di chuyển một quãng đường không đối thì công sinh ra sê lớn nhất khi lực tác đônng cưng hướng với chuyển động của vật. Hây giải thích vì sao. Kết quả trên có thể được áp dụng như thể nảo khi kêo (hoặc đầy) các vật nặng?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/11-1753750351.png)

Accepted Answer

Ta có: (A = vec F cdot overrightarrow {MN} = left| { vec F left| cdot right| overrightarrow {MN} } right| cdot { rm{cos}} left( { vec F, overrightarrow {MN} } right) )vì lực ( vec F ) có độ lớn không đổi và vật di chuyển một quãng đường không đổi nên (A ) lớn nhất khi ({ rm{cos}} left( { vec F, overrightarrow {MN} } right) ) lớn nhất. Do đó, ({ rm{cos}} left( { vec F, overrightarrow {MN} } right) = 1 Leftrightarrow left( { vec F, overrightarrow {MN} } right) = {0^0} ). Khi đó, lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Vậy công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng, ta nên kéo (hoặc đẩy) cùng cùng hướng với chuyển động của vật.

Question 7

Cho tứ diện $ABCD$. Tính giá trị của biểu thức $P = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} $

Accepted Answer

0

Question 8

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là ${45^ \circ }$, hãy tính:

a) $\vec a \cdot \vec b$

b) $\left( {\vec a + 3\vec b} \right) \cdot \left( {\vec a - 2\vec b} \right)$

c) ${(\vec a + \vec b)^2}$.

Accepted Answer

a) ( vec a cdot vec b = left| { vec a left| cdot right| vec b} right| cdot { rm{cos}} left( { vec a, vec b} right) = 1 cdot 1 cdot { rm{cos}}{45^ circ } = frac{{ sqrt 2 }}{2} )b) ( left( { vec a + 3 vec b} right) cdot left( { vec a - 2 vec b} right) = { vec a^2} + vec a cdot vec b - 6{ vec b^2} = 1 + frac{{ sqrt 2 }}{2} - 6 cdot 1 = - 5 + frac{{ sqrt 2 }}{2} ) ({( vec a + vec b)^2} = { vec a^2} + 2 vec a cdot vec b + { vec b^2} = 1 + 2 cdot frac{{ sqrt 2 }}{2} + 1 = 2 + sqrt 2 )

Question 9

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $ABCD \cdot A'B'C'D'$ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2 . Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vố hướng của mối cập vectơ đó:
a) $\overrightarrow {AA'} $ và $\overrightarrow {C'C} $

b) $\overrightarrow {AA'} $ và $\overrightarrow {BC} $

c) $\overrightarrow {AC} $ và $\overrightarrow {B'A'} $.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/1-1753757572.png)

Accepted Answer

a) Vì (AA'//CC' ) nên hai vectơ ( overrightarrow {AA'} ) và ( overrightarrow {C'C} ) ngược hướng nhau. Suy ra, ( left( { overrightarrow {AA'} , overrightarrow {C'C} } right) = {180^ circ } ).Do đó, ( overrightarrow {AA'} cdot overrightarrow {C'C} = left| { overrightarrow {AA'} } right| cdot left| { overrightarrow {C'C} } right| cdot { rm{cos}} left( { overrightarrow {AA'} , overrightarrow {C'C} } right) = 2.2 cdot { rm{cos}}{180^ circ } = - 4 )b) Vì A'ADD' là hình chữ nhật nên ( widehat {A'AD} = {90^ circ } ) Vì (ABCD ) là hình vuông nên ( overrightarrow {BC} = overrightarrow {AD} ). Do đó, ( left( { overrightarrow {AA'} , overrightarrow {BC} } right) = left( { overrightarrow {AA'} , overrightarrow {AD} } right) = widehat {A'AD} = {90^ circ } )Ta có: ( overrightarrow {AA'} cdot overrightarrow {BC} = overrightarrow {AA'} cdot overrightarrow {AD} = left| { overrightarrow {AA'} } right| cdot left| { overrightarrow {AD} } right| cdot { rm{cos}} left( { overrightarrow {AA'} , overrightarrow {AD} } right) = 2 cdot 1 cdot { rm{cos}}{90^ circ } = 0 )c) Vì A'ABB' là hình chữ nhật nên ( overrightarrow {B'A'} = overrightarrow {BA} ).vì (ABCD ) là hình vuông nên ( widehat {CAB} = {45^ circ } ) và (AC = sqrt 2 )Ta có: ( overrightarrow {AC} cdot overrightarrow {B'A'} = - overrightarrow {AC} cdot overrightarrow {AB} = - left| { overrightarrow {AC} left| cdot right| overrightarrow {AB} } right| cdot { rm{cos}} left( { overrightarrow {AC} , overrightarrow {AB} } right) = - sqrt 2 cdot 1 cdot { rm{cos}}{45^ circ } = - 1 )

Question 10

Cho hình chóp $S.ABC$. Trên cạnh $SA$, lấy điểm $M$ sao cho $SM = 2AM$. Trên cạnh $BC$, lấy điểm $N$ sao cho $CN = 2BN$. Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}$.

Accepted Answer

$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

Question 11

Cho hình chóp tứ giác ${\rm{S}} \cdot {\rm{ABCD}}$. Nếu $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} $ thì ABCD là hình gì?

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/2-1753759155.png)

Accepted Answer

Nếu ( overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} ) thì tứ giác (ABCD ) là hình bình hành:Ta có: ( overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} Leftrightarrow overrightarrow {SA} - overrightarrow {SB} = overrightarrow {SD} - overrightarrow {SC} Leftrightarrow overrightarrow {BA} = overrightarrow {CD} )Suy ra, hai vectơ ( overrightarrow {BA} ) và ( overrightarrow {CD} ) cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.Suy ra, (AB = CD,{ rm{AB}}//{ rm{CD}} ). Khi đó, tứ giác ({ rm{ABCD}} ) là hình bình hành.Vậy tứ giác (ABCD ) là hình bình hành nếu và chỉ nếu ( overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} )

Question 12

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A'B'C'$ có $\overrightarrow {AA'} = \vec a,\overrightarrow {AB} = \vec b$ và $\overrightarrow {AC} = \vec c$. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vecto $\vec a,\vec b,\vec c$ :

a) $\overrightarrow {AB'} $;

b) $\overrightarrow {B'C} $

c) $\overrightarrow {BC'} $.

![(Trả lời ngắn) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có (AA' ) =a,(AB)=b và (AC)=c. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vecto (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid0-1753759320.png)

Accepted Answer

a) Vì A'ABB' là hình bình hành nên ( overrightarrow {AB'} = overrightarrow {AA'} + overrightarrow {AB} = vec a + vec b )b) Vì A'ABB' là hình bình hành nên ( overrightarrow {AA'} = overrightarrow {BB'} = vec a ) Ta có: ( overrightarrow {BC} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {AC} = - vec b + vec c )vì (C'CBB' ) là hình bình hành nên ( overrightarrow {B'C'} = overrightarrow {BC} = - vec b + vec c ) ( overrightarrow {B'C} = overrightarrow {B'C'} + overrightarrow {B'B} = - vec b + vec c - vec a ) c) Vì C'CBB' là hình bình hành nên ( overrightarrow {BC'} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {BB'} = - vec b + vec c + vec a )

Question 13

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A'B'C'D'$ có $AB = 2,AD = 3$ và $AA' = 4$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BD} $ và $\overrightarrow {BD'} $.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/23-1753759445.png)

Accepted Answer

Vì (B'BAA' ) là hình chữ nhật nên (BB' = AA' = DD' = 4 Rightarrow left| { overrightarrow {BB'} } right| = 4 )Vì tứ giác (ABCD ) là hình chữ nhật nên tam giác (BAD ) vuông tại (A ).Do đó, (BD = sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = sqrt {{2^2} + {3^2}} = sqrt {13} ) (định lí Pythagore), suy ra: ( left| { overrightarrow {BD} } right| = sqrt {13} )Vì BB'D'D là hình chữ nhật nên tam giác DD'B vuông tại DTheo định lí Pythagore ta có: (BD' = sqrt {B{D^2} + D{D^{{ rm{'}}2}}} = sqrt {13 + {4^2}} = sqrt {29} Rightarrow left| { overrightarrow {BD'} } right| = sqrt {29} )

Question 14

Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A'B'C'$. Tìm các vectơ tổng $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AA'} $.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/3-1753759559.png)

Accepted Answer

Ta có (ABC cdot A'B'C' ) là hình lăng trụ nên (AA'C'C ) là hình bình hành, suy ra ( overrightarrow {A'C'} = overrightarrow {AC} ). Do đó ( overrightarrow {BA} + overrightarrow {A'C'} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {AC} = overrightarrow {BC} ). Tương tự, ta cũng có (AA'B'B ) là hình bình hành, suy ra ( overrightarrow {AA'} = overrightarrow {BB'} ). Do đó ( overrightarrow {BC} + overrightarrow {AA'} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {BB'} = overrightarrow {BC'} ).

Question 15

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Thực hiện các phép toán sau đây:

a) $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CG} $;

b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {EH} $.

![(Trả lời ngắn) Cho hình hộp ABCD.EFGH. Thực hiện các phép toán sau đây: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/blobid1-1753760959.png)

Accepted Answer

a) Theo quy tắc hình hộp, ta có ( overrightarrow {CB} + overrightarrow {CD} + overrightarrow {CG} = overrightarrow {CE} ). b) Ta có ( overrightarrow {CG} = overrightarrow {AE} , overrightarrow {EH} = overrightarrow {AD} ). Suy ra: ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {CG} + overrightarrow {EH} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {AE} + overrightarrow {AD} ). Theo quy tắc hình hộp, ta có ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AE} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AG} ). Vậy ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {CG} + overrightarrow {EH} = overrightarrow {AG} ).

Question 16

Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc ${100^ \circ }$ và có độ lớn lần lượt là $25{\rm{\;N}}$ và $12{\rm{\;N}}$. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn $4{\rm{\;N}}$. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/1q-1753761253.png)

Accepted Answer

Gọi ({ vec F_1},{ vec F_2},{ vec F_3} ) là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm (O ) lần lượt có độ lớn là (25{ rm{ ;N}},12{ rm{ ;N}},4{ rm{ ;N}} ). Vẽ ( overrightarrow {OA} = { vec F_1}, overrightarrow {OB} = overrightarrow {{F_2}} , overrightarrow {OC} = { vec F_3} ). Dựng hình bình hành (OADB ) và hình bình hành (ODEC ). Hợp lực tác động vào vật là ( vec F = overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} = overrightarrow {OD} + overrightarrow {OC} = overrightarrow {OE} ) Áp dụng định lí côsin trong tam giác (OBD ), ta có (O{D^2} = B{D^2} + O{B^2} - 2 cdot BD cdot OB cdot { rm{cos}} widehat {OBD} = O{A^2} + O{B^2} + 2 cdot OA cdot OB cdot { rm{cos}}{100^ circ } ). Vì (OC bot left( {OADB} right) ) nên (OC bot OD ), suy ra (ODEC ) là hình chữ nhật. Do đó tam giác (ODE ) vuông tại (D ). Ta có (O{E^2} = O{C^2} + O{D^2} = O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2 cdot OA cdot OB cdot { rm{cos}}{100^ circ } ). Suy ra (OE = sqrt {O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2 cdot OA cdot OB cdot { rm{cos}}{{100}^ circ }} ) ( = sqrt {{4^2} + {{25}^2} + {{12}^2} + 2 cdot 25 cdot 12 cdot { rm{cos}}{{100}^ circ }} approx 26,092. ) Vậy độ lớn của hợp lực là (F = OE approx 26{ rm{ ;N}} ).

Question 17

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Tìm các vectơ hiệu $\overrightarrow {SD} - \overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {BS} - \overrightarrow {AD} $.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/1s-1753761360.png)

Accepted Answer

a) Theo quy tắc hiệu, ta có ( overrightarrow {SD} - overrightarrow {SA} = overrightarrow {AD} ).b) Do (ABCD ) là hình bình hành nên ta có ( overrightarrow {BC} = overrightarrow {AD} ), suy ra ( overrightarrow {BS} - overrightarrow {AD} = overrightarrow {BS} - overrightarrow {BC} ). Theo quy tắc hiệu, ta có ( overrightarrow {BS} - overrightarrow {BC} = overrightarrow {CS} ).Vậy ( overrightarrow {BS} - overrightarrow {AD} = overrightarrow {CS} ).

Question 18

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Tìm vectơ $\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {D'A'} $.

Accepted Answer

$\overrightarrow {CA'}$

Question 19

Cho hình lập phương $ABCD \cdot A'B'C'D'$. Xác định góc $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right),\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right)$.

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/1w-1753761936.png)

Accepted Answer

Ta có ( overrightarrow {AD} = overrightarrow {A'D'} ), suy ra ( left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {A'D'} } right) = left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {AD} } right) = widehat {DAB} = {90^ circ }. ) Ta có ( overrightarrow {A'C'} = overrightarrow {AC} ), suy ra ( left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {A'C'} } right) = left( { overrightarrow {AB} , overrightarrow {AC} } right) = widehat {CAB} = {45^ circ } )

Question 20

Cho tứ diện $ABCD$. G là trọng tâm của tam giác $BCD$ (Hình 2.15). Tính $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} $

![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/07/2a-1753762410.png)

Accepted Answer

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có: ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = overrightarrow {AG} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {AG} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {AG} + overrightarrow {GD} ) ( = 3 overrightarrow {AG} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} ) Vì (G ) là trọng tâm tam giác (BCD ) nên: ( overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GD} = vec 0 ) Suy ra ( overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} = 3 overrightarrow {AG} ).

(Trả lời ngắn) 30 bài tập Vectơ trong không gian (có lời giải)

Xem trước câu hỏi