(Trả lời ngắn) 32 bài tập GTLN, GTNN của hàm số (có lời giải)

Question 1

Tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số $y=x^4-4x^2+3$ trên đoạn $[0;4]$.

Accepted Answer

M = 195, m = -1

Question 2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x + \cos x$ trên đoạn $[0; 2\pi]$.

Accepted Answer

Ta có $y = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$. Với $x \in [0; 2\pi]$, ta có $x + \frac{\pi}{4} \in [\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$.
- Giá trị lớn nhất: $\sqrt{2}$ khi $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}$.
- Giá trị nhỏ nhất: $-\sqrt{2}$ khi $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \Leftrightarrow x = \frac{5\pi}{4}$.
Vậy $\max_{[0; 2\pi]} y = \sqrt{2}$; $\min_{[0; 2\pi]} y = -\sqrt{2}$.

Question 3

Tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ trên đoạn $[0; 5]$.

Accepted Answer

M = 10, m = -22

Question 4

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1$ trên đoạn $[0; 3]$
b) $g(x) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; 5)$
c) $h(x) = x\sqrt{2-x^2}$

Accepted Answer

a) Xét hàm số $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 1$ trên đoạn $[0; 3]$. Ta có $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2$. Tính $f(0)=1, f(1)=6, f(2)=5, f(3)=10$. Vậy $\min_{[0;3]} f(x) = 1$ và $\max_{[0;3]} f(x) = 10$.
b) Xét hàm số $g(x) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; 5)$. Ta có $g'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (do $x > 0$). Bảng biến thiên cho thấy $\min_{(0;5)} g(x) = g(1) = 2$. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng $(0; 5)$.
c) Xét hàm số $h(x) = x\sqrt{2-x^2}$. Tập xác định $D = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$. Ta có $h'(x) = \sqrt{2-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}} = \frac{2-2x^2}{\sqrt{2-x^2}}$. $h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$. Tính $h(-\sqrt{2})=0, h(-1)=-1, h(1)=1, h(\sqrt{2})=0$. Vậy $\min_D h(x) = -1$ và $\max_D h(x) = 1$.

Question 5

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y = x^3 - 12x + 1$ trên đoạn $[-1; 3]$
b) $y = -x^3 + 24x^2 - 180x + 400$ trên đoạn $[3; 11]$
c) $y = \frac{2x + 1}{x - 2}$ trên đoạn $[3; 7]$
d) $y = \sin 2x$ trên đoạn $[0; \frac{7\pi}{12}]$

Accepted Answer

a) Trên $[-1; 3]$, $y' = 3x^2 - 12$. $y' = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (loại $x = -2$). Ta có: $y(-1) = 12, y(2) = -15, y(3) = -8$. Vậy $\max_{[-1;3]} y = 12, \min_{[-1;3]} y = -15$.
b) Trên $[3; 11]$, $y' = -3x^2 + 48x - 180$. $y' = 0 \Leftrightarrow x = 6$ hoặc $x = 10$. Ta có: $y(3) = 49, y(6) = -32, y(10) = 0, y(11) = -32$. Vậy $\max_{[3;11]} y = 49, \min_{[3;11]} y = -32$.
c) Trên $[3; 7]$, $y' = \frac{-5}{(x-2)^2} < 0$. Hàm số nghịch biến. Ta có: $y(3) = 7, y(7) = 3$. Vậy $\max_{[3;7]} y = 7, \min_{[3;7]} y = 3$.
d) Trên $[0; \frac{7\pi}{12}]$, $y' = 2\cos 2x$. $y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}$. Ta có: $y(0) = 0, y(\frac{\pi}{4}) = 1, y(\frac{7\pi}{12}) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Vậy $\max y = 1, \min y = -\frac{1}{2}$.

Question 6

Quan sát Hình 5 và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số trên các đoạn tương ứng.

![Đồ thị hàm số](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid9-1755064926.png)

Accepted Answer

a) Trên đoạn [1; 6], max f(x) = f(1) = 6 và min f(x) = f(5) = 1. b) Trên đoạn [-3; 3], max g(x) = g(-3) = g(-1) = 1 và min g(x) = g(1) = -1.

Question 7

Tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số $g(x) = x + \frac{4}{x^2}$ trên đoạn $[1; 4]$.

Accepted Answer

A

Question 8

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $y=x-2+\dfrac{1}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty)$.

Accepted Answer

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng (0;+∞)

Question 9

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $f(x) = \frac{x^2+9}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.

Accepted Answer

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(0; +\infty)$ là $\min_{(0; +\infty)} f(x) = 6$ tại $x = 3$. Hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng này.

Question 10

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2\sqrt{1 - x^2} + x^2$

Accepted Answer

Tập xác định: $D = [-1; 1]$. $y' = \frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}} + 2x = 2x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)$. $y' = 0 \iff x = 0$ hoặc $1 - x^2 = 1 \iff x = 0$ (do $x=0$ hoặc $x = \pm 1$). Tại $x=0 \implies y=2$. Tại $x=\pm 1 \implies y=1$. Vậy $\max y = 2$ và $\min y = 1$.

Question 11

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.

Accepted Answer

Giá trị lớn nhất là 1, giá trị nhỏ nhất là $\frac{1}{2}$.

Question 12

Hộp sữa 1 L được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh $x$ (dm). Tìm $x$ (dm) để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất (giả sử 1 L = 1 dm³).

Accepted Answer

1

Question 13

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $ y = f(x) = x + \frac{1}{x} - 7 $ trên khoảng $ (0; +\infty) $.

Accepted Answer

Giá trị nhỏ nhất là -5 tại x = 1; hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng (0; +∞).

Question 14

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = x^3 - 3x - 4$ trên nửa khoảng $[-3; 2)$.

b) $y = \dfrac{3x^2 - 4x}{x^2 - 1}$ trên khoảng $(-1; +\infty)$.

Accepted Answer

a) $\min_{[-3; 2)} y = y(-3) = -22$.

b) Hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(-1; +\infty)$.

Question 15

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = {x^3} + 3{x^2} + {m^2} - 5$ trên đoạn $\left[ { - 1\,;\,2} \right]$ bằng 19.

Accepted Answer

Ta có [f(x) = {x^3} + 3{x^2} + {m^2} - 5 ]. [f'(x) = 3{x^2} + 6x ]. [f'(x) = 0 Leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 x = - 2 end{array} right. ]. Ta có: (f left( 0 right) = {m^2} - 5 ), (f left( { - 1} right) = {m^2} - 3 ), (f left( 2 right) = {m^2} + 15 ) Do (f left( x right) ) liên tục trên đoạn [ left[ { - 1 ,; ,2} right] ] khi đó: ( mathop { max } limits_{x in left[ { - 1;2} right]} f left( x right) = max left { {f left( 0 right),f left( { - 1} right),f left( 2 right)} right } = f left( 2 right) = {m^2} + 15 ) Suy ra [f(x) ] đạt GTLN tại [x = 2 ]. Khi đó [{m^2} + 15 = 19 Leftrightarrow {m^2} = 4 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = 2 m = - 2 end{array} right. ].

Question 16

Cho hàm số $y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}$ với $m > 1$. Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ {1;4} \right]$ bằng 3.

Accepted Answer

5

Question 17

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: $N(t) = 1000 + \frac{100t}{100 + t^2}$ (con), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây ($t > 0$). Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.

Accepted Answer

1005

Question 18

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $5$ cm. Tính diện tích lớn nhất có thể có của tam giác đó.

Accepted Answer

6,25

Question 19

Khối lượng $q$ (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán $p$ (nghìn đồng/kg) theo công thức $p = 15 - \frac{1}{2}q$. Doanh thu $R$ từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức $R = p \cdot q$. Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Accepted Answer

Giá bán để đạt doanh thu cao nhất là 7,5 nghìn đồng/kg, doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng.

Question 20

Một hợp tác xã nuôi cá trong hồ. Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có $n$ con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng $P(n) = 480 - 20n$ (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Accepted Answer

12

(Trả lời ngắn) 32 bài tập GTLN, GTNN của hàm số (có lời giải)

Xem trước câu hỏi