(Trả lời ngắn) 4 bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian (có lời giải)

Question 1

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng: $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = t + 2\y = 3t - 1\z = 2t + 1\end{array} \right.$ và $\left( \Delta \right):\left\{ \begin{array}{l}x = m + 3\y = 3m - 2\z = 2m + 1\end{array} \right.$ có dạng $x + ay + bz + c = 0$. Tính $P = a + 2b + 3c$.

Accepted Answer

0

Question 2

Trong không gian $Oxyz$cho ba đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}},$${\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{1},$${\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1}$. Đường thẳng $\Delta $vuông góc với $d$ đồng thời cắt ${\Delta _1},{\Delta _2}$ tương ứng tại $H,K$ sao cho độ dài $HK$ nhỏ nhất. Biết rằng $\Delta $ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {h;k;1} \right).$ Tính giá trị $h - k$.

Accepted Answer

Đáp án: [h - k = 0 ] [H in { Delta _1} Leftrightarrow H left( {3 + 2t;t;1 + t} right) ]. [K in { Delta _2} Leftrightarrow K left( {1 + m;2 + 2m;m} right) ]. Ta có [ overrightarrow {HK} = left( {m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1} right) ]. Đường thẳng [d ] có một VTCP là [ overrightarrow {{u_d}} = left( {1;1; - 2} right) ]. [ Delta bot d Leftrightarrow ] [ overrightarrow {{u_d}} . overrightarrow {HK} = 0 ] [ Leftrightarrow m - t + 2 = 0 Leftrightarrow m = t - 2 Rightarrow overrightarrow {HK} = left( { - t - 4;t - 2; - 3} right). ] Ta có [H{K^2} = { left( { - t - 4} right)^2} + { left( {t - 2} right)^2} + { left( { - 3} right)^2} = 2{ left( {t + 1} right)^2} + 27 ge 27, forall t in mathbb{R} ] [ Rightarrow minHK = sqrt {27} , ]đạt được khi [t = - 1 ]. Khi đó ta có [ overrightarrow {HK} = left( { - 3; - 3; - 3} right) ], suy ra [ overrightarrow u left( {1;1;1} right) Rightarrow h = k = 1 Rightarrow h - k = 0. ]

Question 3

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {3\,;\,1\,;\,2} \right)$, $B\left( { - 3\,;\, - 1\,;\,0} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + 3z - 14 = 0$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $\Delta MAB$ vuông tại $M$. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Accepted Answer

Đáp án: (d left( {M ,, , left( {Oxy} right)} right) = 4 ) Gọi (M left( {x ,; ,y ,; ,z} right) ) là điểm cần tìm. ( overrightarrow {AM} = left( {x - 3 ,; ,y - 1 ,; ,z - 2} right) ), ( overrightarrow {BM} = left( {x + 3 ,; ,y + 1 ,; ,z} right) ). Vì ( Delta MAB ) vuông tại (M ) nên ( overrightarrow {AM} . overrightarrow {BM} = 0 Leftrightarrow left( {x - 3} right) left( {x + 3} right) + left( {y - 1} right) left( {y + 1} right) + z left( {z - 2} right) = 0 ) [ Leftrightarrow {x^2} - 9 + {y^2} - 1 + {z^2} - 2z = 0 Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + { left( {z - 1} right)^2} = 11 ]. ( Rightarrow M ) thuộc mặt cầu ( left( S right) ) có tâm (I left( {0 ,; ,0 ,; ,1} right) ) và bán kính (R = sqrt {11} ). Nhận xét thấy (d left( {I ,, , left( P right)} right) = frac{{ left| {0 + 0 + 3.1 - 14} right|}}{{ sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^3}} }} = sqrt {11} = R ). ( Rightarrow left( P right) ) tiếp xúc với ( left( S right) ) tại (M ) ( Rightarrow M ) là hình chiếu vuông góc của (I ) trên ( left( P right) ) Vậy (d left( {M ,, , left( {Oxy} right)} right) = left| 4 right| = 4 ).

Question 4

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $d:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y + 7}}{2} = \frac{{z - 12}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + 2y - 3z - 3 = 0$. Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $\left( \alpha \right)$, $A$ thuộc $d$ sao cho $AM = \sqrt {14} $. Tính khoảng cách từ $A$đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Accepted Answer

Đáp án: khoảng cách từ (A )đến mặt phẳng ( left( alpha right) ) bằng (3 ). Đường thẳng (d: frac{{x - 5}}{2} = frac{{y + 7}}{2} = frac{{z - 12}}{{ - 1}} ) có một vectơ chỉ phương là [ overrightarrow u = left( {2 ,; ,2 ,; , - 1} right) ]. Mặt phẳng ( left( alpha right):x + 2y - 3z - 3 = 0 )có một vectơ pháp tuyến là [ overrightarrow n = left( {1 ,; ,2 ,; , - 3} right) ]. Ta có: [ sin left( {d ,; , left( alpha right)} right) = frac{{ left| { overrightarrow {{u_d}} ,. , overrightarrow {{n_ alpha }} } right|}}{{ left| { overrightarrow {{u_d}} } right| ,. , left| { overrightarrow {{n_ alpha }} } right|}} = frac{{3 sqrt {14} }}{{14}} ]. Gọi [H ] là hình chiếu vuông góc của (A )lên mặt phẳng ( left( alpha right) ). Khi đó tam giác ( Delta MAH ) vuông tại [H ] nên [ sin left( {d ,; , left( alpha right)} right) = sin widehat {AMH} = frac{{AH}}{{AM}} ]. [ Rightarrow AH = AM ,. , sin left( {d ,; , left( alpha right)} right) = 3 ]. Vậy khoảng cách từ (A )đến mặt phẳng ( left( alpha right) ) bằng (3 ).

(Trả lời ngắn) 4 bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian (có lời giải)

Xem trước câu hỏi