(Trả lời ngắn) 9 bài tập Công thức tính góc trong không gian (có lời giải)

Question 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $H\left( {2;1;2} \right)$, $H$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ xuống mặt phẳng $\left( P \right)$. Tính số đo góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x + y - 11 = 0$.

Accepted Answer

45°

Question 2

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$có phương trình $x - 2y + 2z - 5 = 0$. Xét mặt phẳng $(Q):x + (2m - 1)z + 7 = 0$, với $m$là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi }{4}$.

Accepted Answer

Đáp án: 2 Mặt phẳng [(P) ], [(Q) ] có vectơ pháp tuyến lần lượt là [ overrightarrow {{n_p}} = left( {1; - 2;2} right) ], [ overrightarrow {{n_Q}} = left( {1;0;2m - 1} right) ] Vì [(P) ] tạo với [(Q) ] góc [ frac{ pi }{4} ] nên [ begin{array}{l}{ rm{cos}} frac{ pi }{4} = left| {{ rm{cos}} left( { overrightarrow {{n_p}} ; overrightarrow {{n_Q}} } right)} right| Leftrightarrow frac{1}{{ sqrt 2 }} = frac{{ left| {1 + 2(2m - 1)} right|}}{{3. sqrt {1 + {{(2m - 1)}^2}} }} , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Leftrightarrow 2{ left( {4m - 1} right)^2} = 9 left( {4{m^2} - 4m + 2} right) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Leftrightarrow 4{m^2} - 20m + 16 = 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = 1 m = 4 end{array} right.. end{array} ]

Question 3

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm $O$. Gọi $I$ là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$ và điểm $M$ thuộc đoạn $OI$ sao cho $MO = 2MI$ (tham khảo hình vẽ). Tính sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {MC'D'} \right)$ và $\left( {MAB} \right)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

![(Trả lời ngắn) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A'B'C'D' và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/08/blobid1-1754988983.png)

Accepted Answer

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là (1 ), ta được tọa độ các điểm như sau : (M left( { frac{1}{2}; frac{1}{2}; frac{1}{6}} right) ) (,C' left( {0;1;0} right) ) (,D' left( {1;1;0} right) ) và (A left( {1;0;1} right) ) (,B left( {0;0;1} right) ). Khi đó ({ overrightarrow n _{ left( {MC'D'} right)}} = left( {0;1;3} right) ) (;{ overrightarrow n _{ left( {MAB} right)}} = left( {0;5;3} right) ) nên ( cos widehat { left( { left( {MAB} right), left( {MC'D'} right)} right)} ) ( = frac{{ left| {5.1 + 3.3} right|}}{{ sqrt {{5^2} + {3^2}} . sqrt {{1^2} + {3^2}} }} ) ( = frac{{7 sqrt {85} }}{{85}} ). Suy ra [ sin widehat { left( { left( {MAB} right), left( {MC'D'} right)} right)} ] [ = sqrt {1 - {{ left( { frac{{7 sqrt {85} }}{{85}}} right)}^2}} ] ( = frac{{6 sqrt {85} }}{{85}} ).

Question 4

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a$,$AC = a\sqrt 3 $. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là trung điểm $H$ của $BC$, $A'H = a\sqrt 5 $. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $A'B$ và $B'C$. Tính $\cos \varphi $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Accepted Answer

Ta chọn hệ trục tọa độ (Oxyz ) với (O equiv A ) như hình vẽ, chọn (a = 1 ) đơn vị, khi đó ta có tọa độ điểm (B left( {1;0;0} right) ), (C left( {0; sqrt 3 ;0} right) ) suy ra trung điểm của (BC ) là (H left( { frac{1}{2}; frac{{ sqrt 3 }}{2};0} right) ), vì (H ) là hình chiếu của (A' ) nên suy ra tọa độ của (A' left( { frac{1}{2}; frac{{ sqrt 3 }}{2}; sqrt 5 } right) ). Ta tìm tọa độ (B' ), gọi tọa độ (B' left( {x;y;z} right) ) khi đó ta có ( overrightarrow {A'B'} = overrightarrow {OB} ) nên tọa độ (B' left( { frac{3}{2}; frac{{ sqrt 3 }}{2}; sqrt 5 } right) ). Ta cũng có ( overrightarrow {B'C} = left( { - frac{3}{2}; frac{{ sqrt 3 }}{2}; - sqrt 5 } right) ) và ( overrightarrow {A'B} = left( { frac{1}{2}; - frac{{ sqrt 3 }}{2}; - sqrt 5 } right) ). Từ đó ta có ( cos varphi = frac{{ left| { overrightarrow {A'B} . overrightarrow {B'C} } right|}}{{ left| { overrightarrow {A'B} } right|. left| { overrightarrow {B'C} } right|}} ) ( = frac{7}{{2. sqrt 6 . sqrt 8 }} = frac{{7 sqrt 3 }}{{24}} ).

Question 5

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$, có $AB = a,\,AD = a\sqrt 2 ,$góc giữa $A'C$và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng 30°. Gọi $H$là hình chiếu vuông góc của $A$trên $A'B$và $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $A'D.$ Tính góc giữa hai mặt phẳng$\left( {AHK} \right)$ và $\left( {ABB'A'} \right)$ (đơn vị: độ).

Accepted Answer

Do (ABCD.A'B'C'D' ) là hình hộp chữ nhật nên (A'C' ) là hình chiếu vuông góc của (A'C ) trên (ABCD)⇒(A'C,(ABCD))=(A'C,A'C')=CA'C'^=300. Ta có (AC = sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a sqrt 3 ; tan widehat {CA'C'} = frac{{CC'}}{{A'C'}} Rightarrow CC' = a. ) Kết hợp với giả thiết ta được (ABB'A' ) là hình vuông và có (H ) là tâm. Gọi (E,F ) lần lượt là hình chiếu vuông góc của (K ) trên (A'D' & A'A. ) Ta có ( frac{1}{{A{K^2}}} = frac{1}{{A'{A^2}}} + frac{1}{{A{D^2}}} Rightarrow AK = frac{{a sqrt 6 }}{3}; ) (A'K = sqrt {A'{A^2} - A{K^2}} = frac{a}{{ sqrt 3 }}; ) ( frac{1}{{K{F^2}}} = frac{1}{{K{A^2}}} + frac{1}{{A'{K^2}}} Rightarrow KF = frac{{a sqrt 2 }}{3};KE = sqrt {A'{K^2} - K{F^2}} Rightarrow KE = frac{a}{3}. ) Ta chọn hệ trục tọa độ (Oxyz ) thỏa mãn (O equiv A' ) còn (D',{ rm{ }}B',{ rm{ }}A ) theo thứ tự thuộc các tia (Ox,{ rm{ }}Oy,{ rm{ }}Oz. ) Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là: (A(0;0;a),B'(0;a;0),H(0; frac{a}{2}; frac{a}{2}),K( frac{{a sqrt 2 }}{3};0; frac{a}{3}),E( frac{{a sqrt 2 }}{3};0;0),F(0;0; frac{{a sqrt 2 }}{3}). ) Mặt phẳng ( left( {ABB'A'} right) ) là mặt phẳng ((yOz) ) nên có VTPT là ({ overrightarrow n _1} = (1;0;0); ) Ta có ( left[ { overrightarrow {AK} , overrightarrow {AH} } right] = frac{{{a^2}}}{6}{ overrightarrow n _2},{ rm{ }}{ overrightarrow n _2}(2; sqrt 2 ; sqrt 2 ). ) Mặt phẳng ((AKH) )có VTPT là ({ overrightarrow n _2} = (2; sqrt 2 ; sqrt 2 ); ) Gọi ( alpha ) là góc giữa hai mặt phẳng ( left( {AHK} right) ) và ( left( {ABB'A'} right) ). Ta có cosα=cos(n→1,n→2)=12⇒α=450.

Question 6

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB=AC=a$, $\widehat{BAC}=120^\circ$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $B'C'$ và $CC'$. Biết thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng $\frac{\sqrt{3}a^3}{4}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $(AMN)$ và mặt phẳng $(ABC)$. Tính $\cos \alpha$.

Accepted Answer

C

Question 7

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AC = 2a$, tam giác $SAB$ và tam giác $SCB$ lần lượt vuông tại $A$, $C$. Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng $2a$. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCB} \right)$ ta được kết quả là $\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính a + b.

Accepted Answer

Chọn hệ trục tọa độ sao cho [B left( {0;0;0} right) ], [A left( {a sqrt 2 ;0;0} right) ], [C left( {0;a sqrt 2 ;0} right) ], [S left( {x;y;z} right) ]. Ta có [ left( {ABC} right):z = 0 ], [ overrightarrow {AS} = left( {x - a sqrt 2 ;y;z} right) ], [ overrightarrow {CS} = left( {x;y - a sqrt 2 ;z} right) ] Do [ overrightarrow {AS} . overrightarrow {AB} = 0 ] [ Rightarrow left( {x - a sqrt 2 } right)a sqrt 2 = 0 ] [ Rightarrow x = a sqrt 2 ], [d left( {S, left( {ABC} right)} right) = 2a ] [ Rightarrow z = 2a ] [ left( {z > 0} right) ] [ overrightarrow {CS} . overrightarrow {CB} = 0 ] [ Rightarrow left( {y - a sqrt 2 } right)a sqrt 2 = 0 ] [ Rightarrow y = a sqrt 2 ] [ Rightarrow S left( {a sqrt 2 ;a sqrt 2 ;2a} right) ]. Ta có [ overrightarrow {AS} = left( {0;a sqrt 2 ;2a} right) ], [ overrightarrow {CS} = left( {a sqrt 2 ;0;2a} right) ], [ overrightarrow {BS} = left( {a sqrt 2 ;a sqrt 2 ;2a} right) ]. [ left( {SBC} right) ] có 1 vtpt [ vec n = left( { - sqrt 2 ;0;1} right) ], [ left( {SAB} right) ] có 1 vtpt [ vec m = left( {0; sqrt 2 ; - 1} right) ] [ Rightarrow cos varphi ] [ = frac{1}{{ sqrt 3 . sqrt 3 }} ] [ = frac{1}{3} ].

Question 8

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác cân đỉnh $A$. Biết $BC = a\sqrt 3 $ và ABC^=30o, cạnh bên $AA' = a$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow {CM} = 3\overrightarrow {CC'} $. Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {AB'M} \right)$, khi đó tính $\sin \alpha $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Accepted Answer

Gọi (O ) là trung điểm (BC ). Ta có: BO=AB.cos30o⇔AB=BOcos30o=a32.32=a=AC và AO=AB.sin30o=a2 Theo đề bài: 2CM→=3CC'→⇔CM→=32CC'→⇔CC'→+C'M→=32CC'→⇔C'M→=12CC'→⇒C'M=a2 Coi (a = 1 ). Gắn hệ trục tọa độ (Oxyz )như hình vẽ với (O left( {0; ,0; ,0} right) ), (A left( {0; , frac{1}{2}; ,0} right) ), (B left( { frac{{ sqrt 3 }}{2}; ,0; ,0} right) ), (C left( { - frac{{ sqrt 3 }}{2}; ,0; ,0} right) ), (B' left( { frac{{ sqrt 3 }}{2}; ,0; ,1} right) ), (M left( { - frac{{ sqrt 3 }}{2}; ,0; , frac{3}{2}} right) ). Khi đó ( left( {ABC} right) equiv left( {Oxy} right):z = 0 Rightarrow left( {ABC} right) ) có một véc-tơ pháp tuyến là ( overrightarrow k = left( {0; ,0; ,1} right) ). Ta có: ( overrightarrow {AB'} = left( { frac{{ sqrt 3 }}{2}; , - frac{1}{2}; ,1} right) ), ( overrightarrow {AM} = left( { - frac{{ sqrt 3 }}{2}; , - frac{1}{2}; , frac{3}{2}} right) ) ( Rightarrow overrightarrow {{n_{ left( {AB'M} right)}}} = 4 left[ { overrightarrow {AB'} , overrightarrow {AM} } right] = left( {1; ,5 sqrt 3 ; ,2 sqrt 3 } right) ). Gọi ( alpha ) là góc giữa hai mặt phẳng ( left( {ABC} right) ) và ( left( {AB'M} right) ). Vậy [{ rm{cos}} alpha = frac{{ left| { overrightarrow k . overrightarrow {{n_{ left( {AB'M} right)}}} } right|}}{{ left| { overrightarrow k } right|. left| { overrightarrow {{n_{ left( {AB'M} right)}}} } right|}} = frac{{ left| {2 sqrt 3 } right|}}{{1.2 sqrt {22} }} = sqrt { frac{3}{{22}}} Rightarrow { rm{sin}} alpha = sqrt {1 - { rm{co}}{{ rm{s}}^2} alpha } = sqrt { frac{{19}}{{22}}} = frac{{ sqrt {418} }}{{22}} ].

Question 9

Cho khối tứ diện $ABCD$ có $BC = 3$, $CD = 4$, $\widehat {ABC} = \widehat {ADC} = \widehat {BCD} = {90^0}$. Góc giữa đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng 600. Tính côsin góc giữa hai phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) .

Accepted Answer

Dựng [AO bot left( {BCD} right) ] khi đó [O ] là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật [BCDO ]. Góc giữa đường thẳng (AD ) và (BC ) là góc giữa đường thẳng (AD ) và (OD ) và bằng ADO^=600 Xét tam giác ADO vuông tại O: tan600=OAOD⇒OA=33. Gắn hệ tọa độ [Oxyz ] vào hình chóp như hình vẽ. Ta có: [O left( {0;0;0} right) ]; [B left( {4;0;0} right) ]; [D left( {0;3;0} right) ]; [C left( {4;3;0} right) ]; [A left( {0;0;3 sqrt 3 } right) ]. [ overrightarrow {AB} = left( {4;0; - 3 sqrt 3 } right) ]; [ overrightarrow {BC} = left( {0;3;0} right) ]; [ overrightarrow {AD} = left( {0;3; - 3 sqrt 3 } right) ]; [ overrightarrow {CD} = left( { - 4;0;0} right) ]. Mặt phẳng [ left( {ABC} right) ] nhận véctơ [ overrightarrow {{n_1}} = left[ { overrightarrow {AB} , overrightarrow {BC} } right] = left( {9 sqrt 3 ;0;12} right) ] làm véctơ pháp tuyến. Mặt phẳng [ left( {ADC} right) ] nhận véctơ [ overrightarrow {{n_2}} = left[ { overrightarrow {AD} , overrightarrow {CD} } right] = left( {0;12 sqrt 3 ;12} right) ] làm véctơ pháp tuyến. Nên [ cos left( { left( {ABC} right); left( {ADC} right)} right) = frac{{ left| { overrightarrow {{n_1}} . overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{ left| { overrightarrow {{n_1}} } right|. left| { overrightarrow {{n_2}} } right|}} = frac{4}{{ sqrt {43} .2}} = frac{{2 sqrt {43} }}{{43}} cdot ]

(Trả lời ngắn) 9 bài tập Công thức tính góc trong không gian (có lời giải)

Xem trước câu hỏi