Cho hàm số $f\left( x \right) = 4{\cos ^2}\frac{x}{2}$.

a) $\int {f\left( x \right)dx} = - 2\sin x + C$.

b) Biết rằng $\int {f\left( x \right)} dx = ax + b\sin x + C,a,b \in \mathbb{Z}$. Khi đó $a + b = 4$.

c) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 1$ là $F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1$.

d) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$ là $F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) - \pi $.

Question

Cho hàm số $f\left( x \right) = 4{\cos ^2}\frac{x}{2}$.

a) $\int {f\left( x \right)dx} = - 2\sin x + C$.

b) Biết rằng $\int {f\left( x \right)} dx = ax + b\sin x + C,a,b \in \mathbb{Z}$. Khi đó $a + b = 4$.

c) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 1$ là $F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) + 1$.

d) Nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$ là $F\left( x \right) = 2\left( {x + \sin x} \right) - \pi $.

Accepted Answer

a) Ta có ({ left( { - 2 sin x + C} right)^ prime } = - 4 cos x ne 4{ cos ^2} frac{x}{2} ) nên hàm số (F left( x right) = - 2 sin x ) không phải là nguyên hàm của hàm số (f left( x right) ) đã cho. b) Ta có ( int {f left( x right)dx} = int {4{{ cos }^2} frac{x}{2}dx} = int {4. frac{{1 + cos x}}{2}dx} = 2 int { left( {1 + cos x} right)dx} = 2 left( {x + sin x} right) + C ). Suy ra ( left { begin{array}{l}a = 2 b = 2 end{array} right. Rightarrow a + b = 4 ). c) Theo câu b, (F left( x right) = 2 left( {x + sin x} right) + C ). Vì (F left( 0 right) = 1 Rightarrow C = 1 ). Vậy (F left( x right) = 2 left( {x + sin x} right) + 1 ). d) Theo câu b, (F left( x right) = 2 left( {x + sin x} right) + C ). Vì (F left( { frac{ pi }{2}} right) = 0 ) nên (2 left( { frac{ pi }{2} + sin frac{ pi }{2}} right) + C = 0 Rightarrow C = - pi - 2 ). Vậy ta có (F left( x right) = 2 left( {x + sin } right) - pi - 2 ). Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.