Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AC = a, các cạnh bên $SA = SB = SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó:

**a)** Đường thẳng SH là chiều cao của khối chóp S.ABC.

**b)** Thể tích khối chóp S.ABC bằng $\frac{{{a^3}}}{2}$.

**c)** Số đo của góc nhị diện [S, AB, C] lớn hơn 65°.

**d)** Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng $\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$.

Question

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AC = a, các cạnh bên $SA = SB = SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó:

**a)** Đường thẳng SH là chiều cao của khối chóp S.ABC.

**b)** Thể tích khối chóp S.ABC bằng $\frac{{{a^3}}}{2}$.

**c)** Số đo của góc nhị diện [S, AB, C] lớn hơn 65°.

**d)** Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng $\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}$.

Accepted Answer

a) Vì H là trung điểm của BC ( Rightarrow HA = HB = HC = frac{1}{2}BC = frac{1}{2}a sqrt 2 ). Mà SA = SB = SC = ( frac{{a sqrt 6 }}{2} ) nên SH ^ BC. Suy ra SH ^ (ABC). Vậy SH là chiều cao của khối chóp S.ABC. b) Có (SH = sqrt {S{C^2} - H{C^2}} = sqrt {{{ left( { frac{{a sqrt 6 }}{2}} right)}^2} - {{ left( { frac{{a sqrt 2 }}{2}} right)}^2}} = a ). Suy ra ({V_{S.ABC}} = frac{1}{3}SH. frac{1}{2}AB.AC = frac{1}{3}a. left( { frac{1}{2}a.a} right) = frac{{{a^3}}}{6} ). c) Ta có số đo [S, AB, C] bằng số đo [S, AB, H]. Kẻ AI ^ AB mà AB ^ SH (vì SH ^ (ABC)) Þ AB ^ (SHI) Þ AB ^ SI. Do đó ( widehat {SIH} ) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, AB, H]. Ta có (HI = frac{1}{2}AB = frac{1}{2}AC = frac{1}{2}a ) (do tam giác ABH vuông cân tại H). Trong tam giác vuông SIH, ta có ( tan widehat {SIH} = frac{{SH}}{{IH}} = frac{a}{{ frac{1}{2}a}} = 2 Rightarrow widehat {SIH} approx 63^ circ 26' ). d) Ta có H là trung điểm của BC nên d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)). Kẻ HK ^ SI thì HK ^ (SAB) suy ra d(H, (SAB)) = HK. Trong tam giác vuông SIH, ta có ( frac{1}{{H{K^2}}} = frac{1}{{S{H^2}}} + frac{1}{{H{I^2}}} = frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{{ left( { frac{a}{2}} right)}^2}}} = frac{5}{{{a^2}}} Rightarrow HK = frac{a}{{ sqrt 5 }} ). Suy ra (d left( {C, left( {SAB} right)} right) = 2HK = frac{{2a}}{{ sqrt 5 }} ). Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.