Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2 $, $AC = a\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. Khi đó:

a) $AD//(SBC)$.

b) Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng: $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD,AB$ bằng: $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

d) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng: $\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = a\sqrt 2 $, $AC = a\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. Khi đó:

a) $AD//(SBC)$.

b) Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng: $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SD,AB$ bằng: $\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

d) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng: $\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.

Accepted Answer

a) b) Ta có: (AD//BC Rightarrow AD//(SBC) Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) ). Trong mặt phẳng ((SAB) ), kẻ (AH bot SB ) tại (H ). (1) Ta có: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{BC bot AB} {BC bot SA} end{array} Rightarrow BC bot (SAB) Rightarrow AH bot BC} right. ). (2) Từ (1) và (2) suy ra (AH bot (SBC) ) hay (d(A,(SBC)) = AH ). Tam giác (SAB ) vuông tại (A ) có đường cao (AH ) nên: ( frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{S{A^2}}} + frac{1}{{A{B^2}}} Rightarrow AH = frac{{SA cdot AB}}{{ sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = frac{{2a cdot a sqrt 2 }}{{ sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = frac{{2a sqrt 3 }}{3}{ rm{. }} ) Vậy (d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = AH = frac{{2a sqrt 3 }}{3} ). c) Trong mặt phẳng ((SAD) ), kẻ (AK bot SD ) tại (K ). (3) Ta có: ( left { { begin{array}{*{20}{l}}{AB bot SA} {AB bot AD} end{array} Rightarrow AB bot (SAD) Rightarrow AB bot AK} right. ).(4) Từ (3) và (4) suy ra (AK ) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau (AB,SD ). Tam giác (ACD ) vuông tại (D ) nên (AD = sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a ). Tam giác (SAD ) vuông tại (A ) có đường cao (AK ) nên ( frac{1}{{A{K^2}}} = frac{1}{{S{A^2}}} + frac{1}{{A{D^2}}} Rightarrow AK = frac{{SA cdot AD}}{{ sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = frac{{2a cdot a}}{{ sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = frac{{2a sqrt 5 }}{5}{ rm{. }} ) Vậy (d(AB,SD) = AK = frac{{2a sqrt 5 }}{5} ). c) Diện tích đáy hình chóp là: ({S_{ABCD}} = a cdot a sqrt 2 = {a^2} sqrt 2 ). Thể tích khối chóp cần tìm là: ({V_{S.ABCD}} = frac{1}{3}SA cdot {S_{ABCD}} = frac{1}{3} cdot 2a cdot {a^2} sqrt 2 = frac{{2 sqrt 2 {a^3}}}{3}{ rm{ }} )(đơn vị thể tích). Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.