Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow {AS} $.$\overrightarrow {BC} $

b) $\overrightarrow {AS} $.$\overrightarrow {AC} $

c) $\overrightarrow {AS} $.$\overrightarrow {BD} $

d) $\overrightarrow {AS} $.$\overrightarrow {CD} $

Question

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow {AS} $.$\overrightarrow {BC} $

b) $\overrightarrow {AS} $.$\overrightarrow {AC} $

c) $\overrightarrow {AS} $.$\overrightarrow {BD} $

d) $\overrightarrow {AS} $.$\overrightarrow {CD} $

Accepted Answer

a) Tam giác SAD có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra SAD=60°. Tứ giác ABCD là hình vuông nên ( overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} ), suy ra (AS→,BC→)=(AS→,AD→)=SAD=60°. Do đó AS→⋅BC→=|AS→|⋅|BC→|⋅cos60°=a⋅a⋅12=a22 b) Tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là a nên độ dài đường chéo AC là ( sqrt 2 a ). Tam giác SAC có (SA = SC = a ) và (AC = sqrt 2 a ) nên tam giác SAC vuông cân tại (S ), suy ra SAC=45°. Do đó AS→⋅AC→=|AS→|⋅|AC→|⋅cosSAC=a⋅2a⋅22=a2. c) Gọi ({ rm{O}} ) là giạo điểm của hai đường chéo ({ rm{AC}} ) và ({ rm{BD}} ) trong hình vuông ({ rm{ABCD}} ). Do đó, ({ rm{O}} ) là trung diểm của ({ rm{BD}},{ rm{O}} ) là trung diếm của ({ rm{AC}} ). Tứ giác ({ rm{ABCD}} ) là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo ({ rm{BD}} ) là a2⇒OB=a22 Gọi ({ rm{E}} ) là trung điểm của ({ rm{SC}} ). Mà ({ rm{O}} ) là trung diểm của ({ rm{AC}} ) nên ({ rm{OE}} ) là đường trung bình của tam giác ({ rm{SAC}} ), do đó, ({ rm{OE}}//{ rm{SA}},OE = frac{1}{2}SA = frac{a}{2} ). Suy ra: ( overrightarrow {AS} = 2 overrightarrow {OE} ) Vì ({ rm{O}} ) là trung diểm của ({ rm{BD}} ) nên ( overrightarrow {BD} = 2 overrightarrow {OB} ) Vì tam giác SBC có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SBC là tam giác đều. Do đó, $B E$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ({ rm{SBC}} ). Do đó, (EB = frac{{a sqrt 3 }}{2} ). Ta có: (O{E^2} + O{B^2} = frac{{{a^2}}}{4} + frac{{{a^2}}}{2} = frac{{3{a^2}}}{4} = E{B^2} ) nên EOB vuông tại ({ rm{O}} ). Do đó, ( overrightarrow {OE} bot overrightarrow {OB} ) Ta có: ( overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {BD} = 2 overrightarrow {OE} cdot ( - 2 overrightarrow {OB} ) = - 4 overrightarrow {OE} cdot overrightarrow {OB} = 0 ) d) Tứ giác ABCD là hình vuông nên ( overrightarrow {CD} = overrightarrow {BA} ) Ta có: ( overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {CD} = overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {BA} = - overrightarrow {AS} cdot overrightarrow {AB} = - | overrightarrow {AS} | cdot | overrightarrow {AB} | cos ( overrightarrow {AS} , overrightarrow {AB} ) = - | overrightarrow {AS} | cdot | overrightarrow {AB} | cos SAB ) Vì tam giác ({ rm{SAB}} ) có ba cạnh bằng nhau nên tam giác ({ rm{SAB}} ) dều, suy ra SAB=60° Suy ra: AS→⋅CD→=−|AS→|⋅|AB→|cosSAB=−a⋅a⋅cos60°=−a22