Một công ty thiết kế mẫu huy hiệu để tặng cho khách hàng thân thiết của mình (xem hình vẽ bên). Trong đó $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $4\,{\rm{cm}}$, các đường cong $AOD$ và $BOC$ là một phần của các parabol đỉnh $O$. Với hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) thì điểm $A$ có tung độ bằng $1$. Biết phần tô đậm trong hình vẽ được phủ vàng với chi phí $1$ một triệu đồng/$1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, phần còn lại được phủ bạc với chi phí 300 nghìn đồng/$1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, các chi phí còn lại là 500 nghìn đồng.

![c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/1-1750141403.png)

**a) **Parabol chứa đường cong $AOD$ có phương trình là $y = \frac{1}{{16}}{x^2}$.

**b) **Parabol chứa đường cong $BOC$ có phương trình là $y = - \frac{3}{4}{x^2}$.

**c) **Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ lớn hơn $5,5\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.

**d) **Chí sản xuất $1$ chiếc huy hiệu trên nhỏ hơn $9$ triệu đồng.

Question

Một công ty thiết kế mẫu huy hiệu để tặng cho khách hàng thân thiết của mình (xem hình vẽ bên). Trong đó $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $4\,{\rm{cm}}$, các đường cong $AOD$ và $BOC$ là một phần của các parabol đỉnh $O$. Với hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) thì điểm $A$ có tung độ bằng $1$. Biết phần tô đậm trong hình vẽ được phủ vàng với chi phí $1$ một triệu đồng/$1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, phần còn lại được phủ bạc với chi phí 300 nghìn đồng/$1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, các chi phí còn lại là 500 nghìn đồng.

c (ảnh 1)

a) Parabol chứa đường cong $AOD$ có phương trình là $y = \frac{1}{{16}}{x^2}$.

b) Parabol chứa đường cong $BOC$ có phương trình là $y = - \frac{3}{4}{x^2}$.

c) Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ lớn hơn $5,5\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.

d) Chí sản xuất $1$ chiếc huy hiệu trên nhỏ hơn $9$ triệu đồng.

![c (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/1-1750141403.png)

**a) **Parabol chứa đường cong $AOD$ có phương trình là $y = \frac{1}{{16}}{x^2}$.

**b) **Parabol chứa đường cong $BOC$ có phương trình là $y = - \frac{3}{4}{x^2}$.

**c) **Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ lớn hơn $5,5\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.

**d) **Chí sản xuất $1$ chiếc huy hiệu trên nhỏ hơn $9$ triệu đồng.

Accepted Answer

Vì (ABCD ) là hình vuông có cạnh bằng (4 ,{ rm{cm}} ) và điểm (A ) có tung độ bằng (1 ) nên điểm (B ) có tung độ bằng ( - 3 ). Ta có hình vẽ sau: Gọi parabol chứa đường cong (AOD ) có phương trình là (y = a{x^2} ). Vì parabol đi qua điểm (A left( { - 2;1} right) ) nên ta có: (1 = a cdot { left( { - 2} right)^2} Leftrightarrow a = frac{1}{4} ) ( Rightarrow y = frac{1}{4}{x^2} ). Gọi parabol chứa đường cong (BOC ) có phương trình là (y = a'{x^2} ). Vì parabol đi qua điểm (C left( {2; - 3} right) ) nên ta có: ( - 3 = a cdot {2^2} Leftrightarrow a = - frac{3}{4} ) ( Rightarrow y = - frac{3}{4}{x^2} ). Phần tô đậm (AOB ) được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số (y = frac{1}{4}{x^2} ), (y = - frac{3}{4}{x^2} ) và hai đường thẳng (x = - 2 ), (x = 0 ) nên có diện tích là ({S_1} = int limits_{ - 2}^0 { left[ { frac{1}{4}{x^2} - left( { - frac{3}{4}} right){x^2}} right]{ rm{d}}x} = frac{8}{3} , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} ). Phần tô đậm (COD ) được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số (y = frac{1}{4}{x^2} ), (y = - frac{3}{4}{x^2} ) và hai đường thẳng (x = 0 ), (x = 2 ) nên có diện tích là ({S_2} = int limits_0^2 { left[ { frac{1}{4}{x^2} - left( { - frac{3}{4}} right){x^2}} right]{ rm{d}}x} = frac{8}{3} , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} ). Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ là [S = {S_1} + {S_2} = frac{8}{3} + frac{8}{3} = frac{{16}}{3} , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} < 5,5 , ,({ rm{c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}) ]. Diện tích hình vuông (ABCD ) là ({S_{ABCD}} = {4^2} = 16 , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} ). Diện tích phần không tô đậm là ({S_k} = 16 - frac{{16}}{3} = frac{{32}}{3} , ,{ rm{(c}}{{ rm{m}}^{ rm{2}}}{ rm{)}} ). Tổng chi phí để làm chiếc huy hiệu: (T = 1 ,000 ,000 cdot frac{{16}}{3} + 300 ,000 cdot frac{{32}}{3} + 500 ,000 approx 9 ,033 ,333 ) (đồng). Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.