Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác $100\% $. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A , cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm ${\rm{Al\`a }}70\% $, còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là $10\% $. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics - Understanding why and how, Springer, 2005). Hỏi khi một con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A thì xác suất để nó bị mắc bệnh bò điên là bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Xét các biến cố: M: "Con bò ở Hà Lan bị bệnh bò điên"; D: "Con bò ở Hà Lan có phản ứng dương tính với xét nghiệm A ". Theo giả thiết, ta có: ({ rm{P}}(M) = 0,000013;{ rm{P}}(D mid M) = 0,7;{ rm{P}}(D mid bar M) = 0,1 ). Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: ({ rm{P}}(D) = { rm{P}}(M) cdot { rm{P}}(D mid M) + { rm{P}}( bar M) cdot { rm{P}}(D mid bar M) = 0,000013 cdot 0,7 + (1 - 0,000013) cdot 0,1 ) ( = 0,1000078. ) Theo công thức Bayes, ta có: (P(M mid D) = frac{{{ rm{P}}(M) cdot { rm{P}}(D mid M)}}{{{ rm{P}}(D)}} = frac{{0,000013 cdot 0,7}}{{0,1000078}} = frac{{91}}{{1000078}}. ) Vậy xác suất để một con bò Hà Lan bị bệnh bò điên nếu nó phản ứng dương tính với xét nghiệm A là ( frac{{91}}{{1000078}} ).