Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ $40^\circ $ Bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

$d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12$ với $t \in \mathbb{Z}$ và $0

Question

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ $40^\circ $ Bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

$d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12$ với $t \in \mathbb{Z}$ và $0 < t \le 365$.

**a)** Tập giá trị của hàm số $d\left( t \right)$ là $\left[ {9;15} \right].$

**b)** Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào một ngày duy nhất trong năm.

**c)** Vào ngày thứ 353 trong năm thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời.

**d)** Vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời.

Accepted Answer

Hướng dẫn giải a) Đ b) S c) Đ d) S a) Ta có: [ - 1 le sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] le 1 ] [ Leftrightarrow - 3 le 3 sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] le 3 ] [ Leftrightarrow 9 le 3 sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] + 12 le 15 ]. Do đó, tập giá trị của hàm số [d left( t right) ] là [ left[ {9;15} right]. ] b) Để thành phố có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì: [3 sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] + 12 = 12 ] [ Leftrightarrow sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] = 0 ] [ Leftrightarrow frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right) = k pi ] [ Leftrightarrow t - 80 = 182k,{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right) Leftrightarrow t = 80 + 182k{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right). ] Do [t in mathbb{Z} ] và [0 < t le 365 ] nên ta có: [ left { begin{array}{l}k in mathbb{Z} 0 < 80 + 182k le 365 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left { begin{array}{l}k in mathbb{Z} - frac{{40}}{{91}} < k le frac{{285}}{{182}} end{array} right. ] [ Leftrightarrow k in left { {0;1} right } ] Với [k = 0 ] thì [t = 80 + 182.0 = 80; ] Với [k = 1 ] thì [t = 80 + 182.1 = 262. ] Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm. c) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì [3 sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] + 12 = 9 ] [ Leftrightarrow sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right)} right] = - 1 ] [ Leftrightarrow frac{ pi }{{182}} left( {t - 80} right) = - frac{ pi }{2} + k2 pi ,{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right) ] [ Leftrightarrow t - 80 = - 91 + 364k,{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right) ] [ Leftrightarrow t = - 11 + 364k,{ rm{ }} left( {k in mathbb{Z}} right). ] Do [t in mathbb{Z} ] và [0 < t le 365 ] nên ta có: [ left { begin{array}{l}k in mathbb{Z} 0 < - 11 + 364k le 365 end{array} right. ] [ Leftrightarrow left { begin{array}{l}k in mathbb{Z} frac{{11}}{{364}} < k le frac{{94}}{{91}} end{array} right. ] [ Leftrightarrow k = 1 ]. Với [k = 1 ] thì [t = - 11 + 364 = 353. ] Vậy thành phố A có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm. d) Thay [t = 107 ] vào [d left( t right) ], ta được [d left( {107} right) = 3 sin left[ { frac{ pi }{{182}} left( {107 - 80} right)} right] + 12 approx 13,3 ] giờ. Do đó, vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A không có 15 giờ có ánh sáng mặt trời.