Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = {x^3} + 3{x^2} + {m^2} - 5$ trên đoạn $\left[ { - 1\,;\,2} \right]$ bằng 19.

Question

Accepted Answer

Ta có [f(x) = {x^3} + 3{x^2} + {m^2} - 5 ]. [f'(x) = 3{x^2} + 6x ]. [f'(x) = 0 Leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0 x = - 2 end{array} right. ]. Ta có: (f left( 0 right) = {m^2} - 5 ), (f left( { - 1} right) = {m^2} - 3 ), (f left( 2 right) = {m^2} + 15 ) Do (f left( x right) ) liên tục trên đoạn [ left[ { - 1 ,; ,2} right] ] khi đó: ( mathop { max } limits_{x in left[ { - 1;2} right]} f left( x right) = max left { {f left( 0 right),f left( { - 1} right),f left( 2 right)} right } = f left( 2 right) = {m^2} + 15 ) Suy ra [f(x) ] đạt GTLN tại [x = 2 ]. Khi đó [{m^2} + 15 = 19 Leftrightarrow {m^2} = 4 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = 2 m = - 2 end{array} right. ].

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} + {m^2} - 5\) trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,2} \right]\) bằng 19.