Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi truoờng hợp sau:

a) d: $\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}$;

b) $d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 9 - 10t}\{y = 7 - 10t}\{z = 15 + 5t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 23 + 2t}\{y = 57 + t}\{z = 19 - 5t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 24 + {t^\prime }}\{y = 6 + {t^\prime }}\{z = {t^\prime }}\end{array}} \right.$

Question

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi truoờng hợp sau:

a) d: $\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}$;

b) $d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 9 - 10t}\{y = 7 - 10t}\{z = 15 + 5t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 23 + 2t}\{y = 57 + t}\{z = 19 - 5t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 24 + {t^\prime }}\{y = 6 + {t^\prime }}\{z = {t^\prime }}\end{array}} \right.$

Accepted Answer

a) Đường thẳng d và ({{ rm{d}}^ prime } ) có vectơ chỉ phương lần lượt là ( vec a = (3;5;4), overrightarrow {{a^ prime }} = (2;5; - 4) ) Ta có ( cos left( {d,{d^ prime }} right) = frac{{|3 cdot 2 + 5.5 + 4 cdot ( - 4)|}}{{ sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} cdot sqrt {{2^2} + {5^2} + {{( - 4)}^2}} }} = frac{{15}}{{15 sqrt {10} }} = frac{1}{{ sqrt {10} }} ). Suy ra d,d'≈71,57° b) Đường thẳng d và ({{ rm{d}}^ prime } ) có vectơ chỉ phương lần lượt là ( vec a = (3;6;6), overrightarrow {{a^ prime }} = ( - 10; - 10;5) ) Ta có ( cos left( {d,{d^ prime }} right) = frac{{|3 cdot ( - 10) + 6 cdot ( - 10) + 6 cdot 5|}}{{ sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} cdot sqrt {{{( - 10)}^2} + {{( - 10)}^2} + {5^2}} }} = frac{{60}}{{135}} = frac{4}{9} ). Suy ra d,d'≈63,61° c) Đường thẳng d và ({{ rm{d}}^ prime } ) có vectơ chỉ phương lần lượt là ( vec a = (2;1; - 5), overrightarrow {{a^ prime }} = (1;1;1) ) Ta có ( cos left( {d,{d^ prime }} right) = frac{{|2 cdot 1 + 1 cdot 1 + ( - 5) cdot 1|}}{{ sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 5)}^2}} cdot sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = frac{2}{{3 sqrt {10} }} ). Suy ra d,d'≈77,83°