Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + {t_1}}\{y = 4 + \sqrt 3 {t_1}}\{z = 0}\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + \sqrt 3 {t_2}}\{y = 4 + {t_2}}\{z = 5}\end{array}\quad \left( {{t_1},{t_2}} \right.} \right.$ là tham số);

b) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\{y = 3 + t}\{z = 4 - t}\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{1}$.

Question

Tính góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + {t_1}}\{y = 4 + \sqrt 3 {t_1}}\{z = 0}\end{array}} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + \sqrt 3 {t_2}}\{y = 4 + {t_2}}\{z = 5}\end{array}\quad \left( {{t_1},{t_2}} \right.} \right.$ là tham số);

b) ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\{y = 3 + t}\{z = 4 - t}\end{array}} \right.$ ( $t$ là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{1}$.

Accepted Answer

a) Hai đường thắng ({ Delta _1} ) và ({ Delta _2} ) có vectơ chí phương lằn lượt là ( overrightarrow {{u_1}} = (1; sqrt 3 ;0), overrightarrow {{u_2}} = ( sqrt 3 ;1;0) ). Ta có: ( cos left( {{ Delta _1},{ Delta _2}} right) = frac{{|1 cdot sqrt 3 + sqrt 3 cdot 1 + 0 cdot 0|}}{{ sqrt {{1^2} + {{( sqrt 3 )}^2} + {0^2}} cdot sqrt {{{( sqrt 3 )}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = frac{{2 sqrt 3 }}{4} = frac{{ sqrt 3 }}{2} ). Suy ra Δ1,Δ2=30°. b) Hai đường thắng ({ Delta _1} ) và ({ Delta _2} ) có vectơ chí phương lằn lượt là ( overrightarrow {{u_1}} = (2;1; - 1), overrightarrow {{u_2}} = (3;1; - 2) ). Ta có: ( cos left( {{ Delta _1},{ Delta _2}} right) = frac{{|2 cdot 3 + 1 cdot 1 + ( - 1) cdot ( - 2)|}}{{ sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} cdot sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = frac{9}{{ sqrt 6 cdot sqrt {14} }} = frac{{3 sqrt {21} }}{{14}} ). Suy ra Δ1,Δ2≈11°. c) Hai đường thắng ({ Delta _1} ) và ({ Delta _2} ) có vectơ chí phương lần lượt là ( overrightarrow {{u_1}} = (1;1; - 1) ) và ( overrightarrow {{u_2}} = ( - 1;3;1) ). Ta có: ( cos left( {{ Delta _1},{ Delta _2}} right) = frac{{|1 cdot ( - 1) + 1 cdot 3 + ( - 1) cdot 1|}}{{ sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} cdot sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2} + {1^2}} }} = frac{1}{{ sqrt 3 cdot sqrt {11} }} = frac{{ sqrt {33} }}{{33}} ). Suy ra Δ1,Δ2≈80°