Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0$;

b) $(P):x + y + 24 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):y + z + 24 = 0$;

c) $(P):2x + 4y - z + 23 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x + 5y + 26z + 2025 = 0$.

Question

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0$;

b) $(P):x + y + 24 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):y + z + 24 = 0$;

c) $(P):2x + 4y - z + 23 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x + 5y + 26z + 2025 = 0$.

Accepted Answer

a) ((P) ) và ( left( {{P^ prime }} right) ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là ( vec n = (1;1; - 2),{ vec n^ prime } = (3; - 5;1) ). Ta có ( cos left( {(P), left( {{P^ prime }} right)} right) = frac{{|1.3 + 1 cdot ( - 5) + ( - 2) cdot 1|}}{{ sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} cdot sqrt {{3^2} + {{( - 5)}^2} + {1^2}} }} = frac{4}{{ sqrt {210} }} ). Suy ra (P),P'≈73°59'. b) ((P) ) và ( left( {{P^ prime }} right) ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là ( vec n = (1;1;0),{ vec n^ prime } = (0;1;1) ). Ta có ( cos left( {(P), left( {{P^ prime }} right)} right) = frac{{|1.0 + 1 cdot 1 + 0.1|}}{{ sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} cdot sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = frac{1}{2} ). Suy ra (P),P'=60°. c) ((P) ) và ( left( {{P^ prime }} right) ) có vectơ pháp tuyến lần lượt là ( vec n = (2;4; - 1),{ vec n^ prime } = (3;5;26) ). Ta có ( cos left( {(P), left( {{P^ prime }} right)} right) = frac{{|2.3 + 4 cdot 5 + ( - 1) cdot 26|}}{{ sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 1)}^2}} cdot sqrt {{3^2} + {5^2} + {{26}^2}} }} = 0 ). Suy ra (P),P'=90°