Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ khác $\overrightarrow 0 $. Lấy điểm O và vẽ các vec tơ $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b $. Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vec tơ $\overrightarrow {O'A'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {O'B'} = \overrightarrow b $

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} $

b) Áp dụng định lí cosin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao $\widehat {AOB} = \widehat {A'O'B'}$.

Question

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ khác $\overrightarrow 0 $. Lấy điểm O và vẽ các vec tơ $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b $. Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vec tơ $\overrightarrow {O'A'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {O'B'} = \overrightarrow b $

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} $

b) Áp dụng định lí cosin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao $\widehat {AOB} = \widehat {A'O'B'}$.

Accepted Answer

a) Ta có: ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {AO} + overrightarrow {OB} ; overrightarrow {{A^ prime }{B^ prime }} = overrightarrow {{A^ prime }{O^ prime }} + overrightarrow {{O^ prime }{B^ prime }} ) Mà ( overrightarrow {OA} = vec a, overrightarrow {OB} = vec b, overrightarrow {{O^ prime }{A^ prime }} = vec a, overrightarrow {{O^ prime }{B^ prime }} = vec b Rightarrow overrightarrow {AO} = overrightarrow {{A^ prime }{O^ prime }} ; overrightarrow {OB} = overrightarrow {{O^ prime }{B^ prime }} ) Do đó, ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {{A^ prime }{B^ prime }} ) b) Áp dụng định lí côsin vào tam giác AOB ta có: ( cos AOB = frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA cdot OB}} ) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ({{ rm{A}}^ prime }{A^ prime }{B^ prime } ) ta có: ( cos {A^ prime }{O^ prime }{B^ prime } = frac{{{O^ prime }{A^{ prime 2}} + {O^ prime }{B^2} - {A^ prime }{B^2}}}{{2 cdot {O^ prime }{A^ prime } cdot {O^ prime }{B^ prime }}} ) vi ( overrightarrow {AB} = overrightarrow {{A^ prime }{B^ prime }} Rightarrow AB = {A^ prime }{B^ prime }, overrightarrow {AO} = overrightarrow {{A^ prime }{O^ prime }} Rightarrow OA = {O^ prime }{A^ prime }; overrightarrow {OB} = overrightarrow {{O^ prime }{B^ prime }} Rightarrow OB = {O^ prime }{B^ prime } ) Do đó, ( cos AOB = cos {A^ prime }{O^ prime }{B^ prime } Rightarrow AOB = {A^ prime }{O^ prime }{B^ prime } )