Trong không gian Oxyz, cho hình hộp $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$, với $A(1; - 1;3),B(0;2;4),D(2; - 1;1),{A^\prime }(0;1;2)$.

a) Tìm tọa độ các điểm $C,{B^\prime },{D^\prime }$.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Question

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$, với $A(1; - 1;3),B(0;2;4),D(2; - 1;1),{A^\prime }(0;1;2)$.

a) Tìm tọa độ các điểm $C,{B^\prime },{D^\prime }$.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Accepted Answer

a) Ta có ( overrightarrow {AD} = (1;0; - 2), overrightarrow {A{A^ prime }} = ( - 1;2; - 1), overrightarrow {AB} = ( - 1;3;1) ) Vi ABCD là hình bình hành nên ( overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 1} {{y_C} - 2 = 0} {{z_C} - 4 = - 2} end{array} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 1} {{y_C} = 2} {{z_C} = 2} end{array}} right.} right. ). Vậy C(1; 2; 2). Vi ABB'A' là hình binh hành nên ( overrightarrow {A{A^ prime }} = overrightarrow {B{B^ prime }} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{B^ prime }}} = - 1} {{y_{{B^ prime }}} - 2 = 2} {{z_{{C^ prime }}} - 4 = - 1} end{array}} right. ) ( Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{B^ prime }}} = - 1} {{y_{{B^ prime }}} = 4} {{z_{{C^ prime }}} = 3} end{array}} right. ). Vậy ({B^ prime }( - 1;4;3) ). Vi ADD'A' là hình bình hành nên ( overrightarrow {AD} = overrightarrow {{A^ prime }{D^ prime }} Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{D^ prime }}} = 1} {{y_{{D^ prime }}} - 1 = 0} {{z_{{D^ prime }}} - 2 = - 2} end{array}} right. ) ( Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{l}}{{x_{{D^ prime }}} = 1} {{y_{{D^ prime }}} = 1} {{z_{{D^ prime }}} = 0} end{array}} right. ). Vậy ({D^ prime }(1;1;0) ). b) Ta có: ( overrightarrow {C{B^ prime }} = ( - 2;2;1), overrightarrow {C{D^ prime }} = (0; - 1; - 2) ) Vi mặt phẳng (CB' ( left. {{D^ prime }} right) ) có cặp vectơ chỉ phương là ( overrightarrow {C{B^ prime }} , overrightarrow {C{D^ prime }} ) nên có một vectơ pháp tuyến là: ( vec n = left[ { overrightarrow {C{B^ prime }} , overrightarrow {C{D^ prime }} } right] = left( { left| { begin{array}{*{20}{c}}2&1 { - 1}&{ - 2} end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2} { - 2}&0 end{array}} right|; left| { begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2 0&{ - 1} end{array}} right|} right) = ( - 3; - 4;2){ rm{. }} ) Mặt phẳng (CB'D') đi qua điểm ({ rm{C}}(1;2;2) ) và nhận ( vec n = ( - 3; - 4;2) ) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là: ( - 3(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 2) = 0 Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0.{ rm{ }} )

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\), với \(A(1; - 1;3),B(0;2;4),D(2; - 1;1),{A^\prime }(0;1;2)\).a) Tìm tọa độ các điểm \(C,{B^\prime },{D^\prime }\).b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\), với \(A(1; - 1;3),B(0;2;4),D(2; - 1;1),{A^\prime }(0;1;2)\).

a) Tìm tọa độ các điểm \(C,{B^\prime },{D^\prime }\).

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').