Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$. Cho biết $A(0;0;0)$, $B(1;0;0),D(0;5;0),{A^\prime }(0;0;3)$. Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng AC và $B{A^\prime }$;

b) hai mă̆t phằng $\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right)$ và $\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)$;

c) đường thẳng $A{C^\prime }$ và mặt phẳng $\left( {{A^\prime }BD} \right)$.

Question

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$. Cho biết $A(0;0;0)$, $B(1;0;0),D(0;5;0),{A^\prime }(0;0;3)$. Tính góc giữa:

a) hai đường thẳng AC và $B{A^\prime }$;

b) hai mă̆t phằng $\left( {B{B^\prime }{D^\prime }D} \right)$ và $\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)$;

c) đường thẳng $A{C^\prime }$ và mặt phẳng $\left( {{A^\prime }BD} \right)$.

Accepted Answer

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với (O ) trùng với (A ). Ta có ({A^ prime }(0;0;3),B(1;0;0),A(0;0;0),C(1;5;0),{B^ prime }(1;0;3),D(0;5;0),{C^ prime }(1;5;3) ) a) Đường thẳng AC nhận ( overrightarrow {AC} = (1;5;0) ) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng ({ rm{B}}{{ rm{A}}^ prime } ) nhận ( overrightarrow {B{A^ prime }} = ( - 1;0;3) ) làm vectơ chỉ phương. Khi đó ( cos left( {AC,B{A^ prime }} right) = frac{{|1.( - 1) + 5.0 + 0.3|}}{{ sqrt {{1^2} + {5^2}} cdot sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2}} }} = frac{1}{{2 sqrt {65} }} ). Suy ra AC,BA'≈86,44°. b) Ta có ( overrightarrow {B{B^ prime }} = (0;0;3), overrightarrow {BD} = ( - 1;5;0), overrightarrow {AC} = (1;5;0), overrightarrow {A{A^ prime }} = (0;0;3) ) Ta có ( left[ { overrightarrow {B{B^ prime }} , overrightarrow {BD} } right] = ( - 15; - 3;0), left[ { overrightarrow {AC} , overrightarrow {A{A^ prime }} } right] = (15; - 3;0) ). Mặt phẳng (BB'D'D) nhận ( vec n = - frac{1}{3} left[ { overrightarrow {B{B^ prime }} , overrightarrow {BD} } right] = (5;1;0) ) làm vectơ pháp tuyến. Mặt phẳng (AA'C'C) nhận ( overrightarrow {{n^ prime }} = frac{1}{3} left[ { overrightarrow {AC} , overrightarrow {A{A^ prime }} } right] = (5; - 1;0) ) làm vectơ pháp tuyến. Khi đó ( cos left( { left( {B{B^ prime }{D^ prime }D} right), left( {A{A^ prime }{C^ prime }C} right)} right) = frac{{|5 cdot 5 + 1 cdot ( - 1) + 0.0|}}{{ sqrt {{5^2} + 1} cdot sqrt {{5^2} + 1} }} = frac{{24}}{{26}} = frac{{12}}{{13}} ). c) Ta có ( overrightarrow {A{C^ prime }} = (1;5;3), quad overrightarrow {{A^ prime }B} = (1;0; - 3), overrightarrow {{A^ prime }D} = (0;5; - 3) ), ( left[ { overrightarrow {{A^ prime }B} , overrightarrow {{A^ prime }D} } right] = (15;3;5) ). Đường thẳng AC ' nhận ( overrightarrow {A{C^ prime }} = (1;5;3) ) làm vectơ chỉ phương. Mặt phẳng (A'BD) nhận ( vec n = left[ { overrightarrow {{A^ prime }B} , overrightarrow {{A^ prime }D} } right] = (15;3;5) ) làm vectơ pháp tuyến. Ta có ( sin left( {A{C^ prime }, left( {{A^ prime }BD} right)} right) = frac{{|1.15 + 5.3 + 3.5|}}{{ sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} cdot sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = frac{{45}}{{7 sqrt {185} }} ). Suy ra AC',A'BD≈28,21°