Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 2025 = 0$.

**a) **Số đo góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $90^\circ $.

**b)** Biết hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $H\left( {3; - 1;2} \right)$, $\alpha $là số đo góc giữa mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và đường thẳng $\Delta $, khi đó ${\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{14}}$.

**c) **Đường thẳng ${d_1}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( {Oxy} \right)$. Gọi $\beta $ là góc giữa ${d_1}$ và mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$. Khi đó $\beta 30^\circ $.

**d) **Đường thẳng ${d_2}$ vuông góc với $\left( P \right)$ tạo với $\left( Q \right):x + my - 3 = 0$ một góc $30^\circ $. Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ bằng $\frac{{ - 8}}{5}$.

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - z + 2025 = 0$.

**a) **Số đo góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $90^\circ $.

**b)** Biết hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $H\left( {3; - 1;2} \right)$, $\alpha $là số đo góc giữa mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và đường thẳng $\Delta $, khi đó ${\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{14}}$.

**c) **Đường thẳng ${d_1}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( {Oxy} \right)$. Gọi $\beta $ là góc giữa ${d_1}$ và mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$. Khi đó $\beta > 30^\circ $.

**d) **Đường thẳng ${d_2}$ vuông góc với $\left( P \right)$ tạo với $\left( Q \right):x + my - 3 = 0$ một góc $30^\circ $. Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ bằng $\frac{{ - 8}}{5}$.

Accepted Answer

a) Ta có ( Delta : frac{x}{{ - 1}} = frac{{y + 3}}{2} = frac{{z - 2}}{3} ) có vectơ chỉ phương là ( vec u = left( { - 1;2;3} right) ). Mặt phẳng ( left( P right):x + 2y - z + 2025 = 0 ) có vectơ pháp tuyến là ( vec v = left( {1;2; - 1} right) ). Ta có ( sin left( { Delta , left( P right)} right) = left| { cos left( { vec u, vec v} right)} right| = frac{{ left| { left( { - 1} right) cdot 1 + 2 cdot 2 + 3 cdot left( { - 1} right)} right|}}{{ sqrt {{{ left( { - 1} right)}^2} + {2^2} + {3^2}} cdot sqrt {{1^2} + {2^2} + {{ left( { - 1} right)}^2}} }} = 0 ). Suy ra số đo góc giữa đường thẳng ( Delta ) và mặt phẳng ( left( P right) ) bằng (0^ circ ). b) Hình chiếu của (O ) lên mặt phẳng ( left( alpha right) ) là (H left( {3; - 1;2} right) ) nên một vectơ pháp tuyến của ( left( alpha right) ) là ( overrightarrow {OH} = left( {3; - 1;2} right) ). Ta có ( sin alpha = left| { cos left( { vec u, overrightarrow {OH} } right)} right| = frac{{ left| { - 3 - 2 + 6} right|}}{{14}} = frac{1}{{14}} ). Suy ra ({ rm{cos}} alpha = frac{{ sqrt {195} }}{{14}} ). c) Mặt phẳng ( left( {Oxy} right) ) có vectơ pháp tuyến là ( vec k = left( {0;0;1} right) ). Đường thẳng ({d_1} ) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( left( P right) ) và ( left( {Oxy} right) ). Suy ra vectơ chỉ phương của ({d_1} ) là ( left[ { vec k, vec v} right] = left( { - 2 ,; ,1 ,; ,0} right) = vec a ). Mặt phẳng [ left( {Oxz} right) ] có vectơ pháp tuyến là ( vec j = left( {0;1;0} right) ). Ta có ( sin beta = left| { cos left( { vec a, vec j} right)} right| = frac{1}{{ sqrt 5 }} Rightarrow beta approx 27^ circ < 30^ circ ). d) Đường thẳng ({d_2} )vuông góc với ( left( P right) ) nên có vectơ chỉ phương là ( vec v = left( {1;2; - 1} right) ). Mặt phẳng [ left( Q right):x + my - 3 = 0 ] có vectơ pháp tuyến là ({ vec n_{ left( Q right)}} = left( {1;m;0} right) ). Ta có ( sin left( {{d_2}, left( Q right)} right) = left| { cos left( {{{ vec n}_{ left( Q right)}}, vec v} right)} right| = frac{{ left| {1 + 2m} right|}}{{ sqrt 6 cdot sqrt {{m^2} + 1} }} = sin 30^ circ = frac{1}{2} ) ( Leftrightarrow 2 left| {1 + 2m} right| = sqrt 6 cdot sqrt {{m^2} + 1} ) ( Leftrightarrow 2 left( {1 + 4m + 4{m^2}} right) = 3 left( {{m^2} + 1} right) ) ( Leftrightarrow 5{m^2} + 8m - 1 = 0 Leftrightarrow m = frac{{ - 4 pm sqrt {21} }}{5} ). Tổng tất cả các giá trị của tham số (m ) bằng ( frac{{ - 8}}{5} ). Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.